You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Desigur pN ◦f = 0 (notatie pt morfismul trivial: 0(g) = eG ′ pt orice g ∈ G) si daca<br />
pt un p ′ : G ′ −→ H avem p ′ ◦f = 0 deducem ca imf ≤ kerp ′ = M (nucleu luat in sensul<br />
teoriei grupurilor) care este subgrup normal (care include imf) . Deci N ≤ M si ramine<br />
sa se utilizeze teorema de factorizare prin surjectii:<br />
Fie G, G ′ si G ′′ grupuri si f : G −→ G ′ , g : G −→ G ′′ morfisme de grupuri. Daca<br />
g surjectiva si kerg ⊆ kerf exista unic un morfism de grupuri h care face comutativ<br />
triunghiul<br />
G<br />
g ↓ ր h<br />
G ′′<br />
f<br />
−→ G ′<br />
in cazul particular f = p ′ si g = pN : G ′ −→ G ′ /N .<br />
12 Normalitate<br />
1. Demonstrati ca (mai general decit Prop. 14.3, B.Mitchell):<br />
Intr-o categorie normala cu egalizatori, un morfism este epi ddaca are coker = 0.<br />
Demo = =⇒ clar.<br />
⇐= Fie α : A −→ B pentru care f,g : B ⇉ D cu fα = gα. Daca (E,u) = Equ(f,g)<br />
atunci avem diagrama<br />
A B h<br />
−→ G<br />
γ ց ր u<br />
E<br />
cu h conucleul lui α. Categoria fiind normala u = ker(h) (...) si atunci hu = 0 implica<br />
huγ = hα = 0. Cum cokerα = 0 rezulta h = 0BG si cum u = ker(h) deducem u = 1B si<br />
E = B. Dar u = Equ(f,g)deci f = g.<br />
2. Aratati ca orice categorie normala este echilibrata.<br />
[S-a demonstrat la curs].<br />
13 Categorii exacte<br />
1. Au loc urmatoarele:<br />
Categoria normala conormala<br />
R−Mod + +<br />
Grp − +<br />
pEns + −<br />
Mon − −<br />
pTop + −<br />
unde pEns (pTop) este categoria multimilor (spatiilor topologice) punctate.<br />
...<br />
2. Subcategoria plina a lui Ab care contine toate grupurile abeliene de ordin cel mult<br />
27 este exacta.<br />
19