Seminar categorii

Desigur pN ◦f = 0 (notatie pt morfismul trivial: 0(g) = eG ′ pt orice g ∈ G) si daca
pt un p ′ : G ′ −→ H avem p ′ ◦f = 0 deducem ca imf ≤ kerp ′ = M (nucleu luat in sensul
teoriei grupurilor) care este subgrup normal (care include imf) . Deci N ≤ M si ramine
sa se utilizeze teorema de factorizare prin surjectii:
Fie G, G ′ si G ′′ grupuri si f : G −→ G ′ , g : G −→ G ′′ morfisme de grupuri. Daca
g surjectiva si kerg ⊆ kerf exista unic un morfism de grupuri h care face comutativ
triunghiul
G
g ↓ ր h
G ′′
f
−→ G ′
in cazul particular f = p ′ si g = pN : G ′ −→ G ′ /N .
12 Normalitate
1. Demonstrati ca (mai general decit Prop. 14.3, B.Mitchell):
Intr-o categorie normala cu egalizatori, un morfism este epi ddaca are coker = 0.
Demo = =⇒ clar.
⇐= Fie α : A −→ B pentru care f,g : B ⇉ D cu fα = gα. Daca (E,u) = Equ(f,g)
atunci avem diagrama
A B h
−→ G
γ ց ր u
E
cu h conucleul lui α. Categoria fiind normala u = ker(h) (...) si atunci hu = 0 implica
huγ = hα = 0. Cum cokerα = 0 rezulta h = 0BG si cum u = ker(h) deducem u = 1B si
E = B. Dar u = Equ(f,g)deci f = g.
2. Aratati ca orice categorie normala este echilibrata.
[S-a demonstrat la curs].
13 Categorii exacte
1. Au loc urmatoarele:
Categoria normala conormala
R−Mod + +
Grp − +
pEns + −
Mon − −
pTop + −
unde pEns (pTop) este categoria multimilor (spatiilor topologice) punctate.
...
2. Subcategoria plina a lui Ab care contine toate grupurile abeliene de ordin cel mult
27 este exacta.
19