Seminar categorii

Fie acum comutativa diagrama urmatoare
Ai
gi
−→ B ′
ιi ↓ ↓ β
A f
−→ B
(adica pp toate subobiectele transportate de f in B ′ ) unde β este un monomorfism.
Pentruaverifica caf transportasipeA ′ =
Ai inB ′ , definimγ :
Ai −→
gi(Ai)
prin γ(a) = gi(a) daca a ∈ Ai.
Aceasta functie γ este bine definita: daca a ∈ Ai ∩Aj, cum ιi si ιj sunt incluziunile
avem fιi(a) = fιj(a). Din comutativitatea diagramei anterioare fιi = βgi si fιj = βgj
de unde βgi(a) = βgj(a). Deducem in sfarsit gi(a) = gj(a) deoarece β mono.
In final, βγ(a) = βgi(a) = fιi(a) si cum ιi(a) = ι ′ (a) pt orice a ∈ A ′ (ambele sunt
incluziuni) rezulta chiar βγ(a) = fι(a) pt orice a ∈ A ′ =
Ai, deci f transporta A ′ in
B ′ .
8 Imagini (directe)
1. Ens are imagini epimorfe.
Daca f : A −→ B este o functie oarecare, fie f : A −→ f(A) functia definita ca si
f (adica f(a) = f(a), ∀a ∈ A), dar obtinuta (eventual) prin restrictia codomeniului si
i : f(A) −→ B aplicatia de incluziune. Atunci, f = i◦ f este descompunere mono-epi [se
va reveni la categorii exacte], si f(A) este chiar imaginea in sens categorial. [verificari...]
2. Grp are imagini
Fie f : G −→ G ′ un morfism de grupuri si f = i◦ f descompunerea, ca la 1 (Ens).
La fel imf = f(G) este imaginea in sens categorial. [verificari ...]
9 Imagini inverse
Daca f : B −→ C este o functie (in Ens) si A ⊂ C atunci patratul
−1
i∈I
f (A) ֒→ B
↓ ↓ f
f|−1
f (A)
A ֒→ C
este un produs fibrat in Ens. Aceast exemplu motiveaza conceptul de imagine inversa.
10 Zero obiecte
1. ∅ este obiect initial, iar multimile cu un singur obiect sunt obiecte finale in Ens.
[deci obiecte initiale nu sunt si finale, nici invers].
16
i∈I
i∈I
i∈I