Seminar categorii

Definitie. UnmonoE e
−→ Aintr-ocategorieC senumestemonoregular(sausubobiect
regular)dacaexistaoperechedemorfismef,g ptcare(E,e) ∼ = Equ(f,g)egalizator. Dual,
definim epi regular.
Propozitie. Daca
P
p1
−→ A
p2 ↓ ↓ f
A f
−→ B
este un produs fibrat, atunci f este epi regular ddaca (f,B) ∼ = Coequ(p1,p2).
Demo =⇒ Daca f este epi regular, fie (f,B) = Coequ(q1,q2) cu Q q1
⇉ A. Diagrama
q2
fiind produs fibratm exista unic h : Q −→ P cu q1 = p1 ◦h,q2 = p2 ◦h. Desigur avem si
f ◦p1 = f ◦p2; daca g ◦p1 = g ◦p2 atunci g ◦p1 ◦h = g ◦p2 ◦h si deci g ◦q1 = g ◦q2.
Din definitia coegalizatorului exista unic k : g = k ◦f si deci (f,B) ∼ = Coequ(p1,p2).
⇐= ...
Exercitiu. Daca C are produse fibrate, sunt echivalente:
(i) orice epimorfism in C este regular,
(ii) daca e este epi in C si diagrama
· −→ ·
↓ ↓ e
e
· −→ ·
este produs fibrat, atunci aceasta este si suma fibrata.
6’. In Ens si Top produs fibrat de epi este epi.
In Grp, R-Mod, Lat, Rng si Mon, produs fibrat de epi regular este epi regular.
Observatie. In Ens, Grp, R-Mod, epi regular ≡ epi (orice epi este regular)
7. Exemple de sume fibrate in Top.
Un spatiu de adjunctie este o constructie frecventa in topologie in care un spatiu
topologic este atasat sau ”lipit” peste altul. Mai precis, fie X si Y spatii topologice cu
A un subspatiu al lui Y. Fie f : A → X o functie continua (numita eventual functia de
atasare). Spatiul de adjunctie X ∪f Y este format pe reuniunea disjuncta a lui X si Y
identificind x cu f(x) pentru fiecare x ∈ A. Schematic,
X ∪f Y = X Y/{f(A) ∽ A}.
O alta notatie este X+f Y. Intuitiv, privim pe Y ca fiind lipit peste X via functia f.
Ca si multime, X ∪f Y consta din reuniunea disjuncta a lui X si (Y −A). Topologia
insa, este daca de constructia cât (factor). Daca A este un subspatiu inchis al lui Y, se
poate arata ca functia X → X∪f Y este o scufundare inchisa iar (Y −A) → X∪f Y este
o scufundare deschisa.
Exemple. Daca A este un spatiu cu un singur element atunci adjunctia este suma
wedge a lui X si Y.
14