Seminar categorii

Din definitia produsului fibrat exista s1 : B −→ P pt care s◦s1 = 1B qed.
b) Produsul fibrat al unei sectiuni nu este in general o sectiune.
Observatie. Intrucit produs fibrat de mono este mono, contraexemplul trebuie dat
intr-o categorie in care nu orice mono este sectiune.
Contraexemplu: in Top consideram diagrama
r
{∗}×(0,1) −→ {∗}
s ↓ ↓ f
g
[0,1] −→ {a,b}
unde r este proiectia, f(∗) = a, s(∗,x) = x pt orice x ∈ (0,1), si
a daca x ∈ (0,1)
g(x) =
, impreuna cu topologia naturala de pe axa reala respec-
b daca x = 0 sau 1
tiv topologiile produs, iar {a,b} se ia cu topologia indiscreta.
Atunci diagrama este comutativa si toate functiile sunt continue. Apoi {∗}×(0,1) =
{(∗,x) ∈ {∗} × [0,1]|f(x) = g(x)} cu topologia relativa, este produs fibrat. Functia f
este sectiune, fiind morfism de la obiectul final din Top.
Totusi s : {∗} × (0,1) −→ [0,1] nu este sectiune: s1 : [0,1] −→ {∗} × (0,1) ar fi o
retracta ddaca s1(x) = (∗,x) pt orice x ∈ (0,1). Dar atunci s1 este necesar discontinua
in 0,1.
3. Sa se arate ca urmatoarele sunt produse fibrate in Ens:
(i) pentru A,B submultimi ale lui C
(ii) pentru f : B −→ C si A ⊆ C
A∩B −→ A
↓ ↓
B −→ C
f−1 (A) −→ B
f| f−1 (A) ↓ ↓ f
A g
.
−→ C
4. Teorema. Daca T este obiect final, sunt echivalente
(1) Este produs fibrat diagrama
(2) (P,pA,pB) este produsul lui A si B.
pA
P −→ A
pB ↓ ↓
B −→ T
Consecinta. Daca o categorie C are obiect final si produse fibrate atunci C are si
produse finite.
12