Seminar categorii

5 Produse (sume) fibrate
1. Ens are produse si sume fibrate.
Demo = Produse fibrate: pentru multimi A,B,C consideram f : A −→ C si g :
B −→ C functii. Daca P = {(a,b) ∈ A×B|f(a) = g(b)} atunci pentru p : A×B −→ A,
p(a,b) = a respectiv p ′ : A×B −→ B, p(a,b) = b este (clar) comutativa diagrama
p
P −→ A
p ′ ↓ ↓ f .
g
B −→ C
Mai departe, fie comutativa urmatoarea diagrama
X u
−→ A
u ′ ↓ ↓ f
g
B −→ C
de multimi si functii. Definim α : X −→ P prin α(x) = (u(x),u ′ (x)) Atunci pα(x) =
p(u(x), u ′ (x)) = u(x) si analog p ′ α(x) = p ′ (u(x),u ′ (x)) = u ′ (x). Deci pα = u si p ′ α = u ′ .
Ramine de verificat unicitatea lui α: fie β : X −→ P o alta functie cu proprietatea
pβ = u si p ′ β = u ′ Atunci pβ(x) = u(x) si p ′ β(x) = u ′ (x) adica b(x) = (u(x),u ′ (x)) =
α(x).
Sume fibrate: pt doua morfisme f : A −→ B si g : A −→ C. Consideram reuniunea
disjuncta B ◦
∪ C ca reuniunea a 2 multimi disjuncte izomorfe in Ens cu B si C. De
exemplu B ◦
∪C = ({1}×B)∪({2}×C), si definim pe reuniunea disjuncta relatia binara
ρ astfel: (1,b)ρ(2,c) ddaca exista a ∈ cu f(a) = b si g(a) = c. Apoi luam ρ cea mai
mica echivalenta pe B ◦
∪ C pt care avem ρ ⊆ ρ si Q = (B ◦
∪ C)/ρ. Daca h : B −→ Q
si k : C −→ Q sunt proiectiile (adica h(b) = (1,b) respectiv k(c) = (2,c)) (Q,h,k) este
suma fibrata.
Este comutativa diagrama
A f
−→ B
g ↓ ↓ h
k
C −→ Q
si se verifica si restul (Purdea, vol. 2, p. 30-31).
2. a) Produsul fibrat al unei retractii este o retractie.
Demo = Daca este produs fibrat diagrama
r
P −→ A
s ↓ ↓ f
g
B −→ C
si exista f1 : C −→ A cu f ◦f1 = 1C atunci este comutativa si diagrama
B f1◦g
−→ A
1B ↓ ↓ f
g
B −→ C
11