You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
5 Produse (sume) fibrate<br />
1. Ens are produse si sume fibrate.<br />
Demo = Produse fibrate: pentru multimi A,B,C consideram f : A −→ C si g :<br />
B −→ C functii. Daca P = {(a,b) ∈ A×B|f(a) = g(b)} atunci pentru p : A×B −→ A,<br />
p(a,b) = a respectiv p ′ : A×B −→ B, p(a,b) = b este (clar) comutativa diagrama<br />
p<br />
P −→ A<br />
p ′ ↓ ↓ f .<br />
g<br />
B −→ C<br />
Mai departe, fie comutativa urmatoarea diagrama<br />
X u<br />
−→ A<br />
u ′ ↓ ↓ f<br />
g<br />
B −→ C<br />
de multimi si functii. Definim α : X −→ P prin α(x) = (u(x),u ′ (x)) Atunci pα(x) =<br />
p(u(x), u ′ (x)) = u(x) si analog p ′ α(x) = p ′ (u(x),u ′ (x)) = u ′ (x). Deci pα = u si p ′ α = u ′ .<br />
Ramine de verificat unicitatea lui α: fie β : X −→ P o alta functie cu proprietatea<br />
pβ = u si p ′ β = u ′ Atunci pβ(x) = u(x) si p ′ β(x) = u ′ (x) adica b(x) = (u(x),u ′ (x)) =<br />
α(x).<br />
Sume fibrate: pt doua morfisme f : A −→ B si g : A −→ C. Consideram reuniunea<br />
disjuncta B ◦<br />
∪ C ca reuniunea a 2 multimi disjuncte izomorfe in Ens cu B si C. De<br />
exemplu B ◦<br />
∪C = ({1}×B)∪({2}×C), si definim pe reuniunea disjuncta relatia binara<br />
ρ astfel: (1,b)ρ(2,c) ddaca exista a ∈ cu f(a) = b si g(a) = c. Apoi luam ρ cea mai<br />
mica echivalenta pe B ◦<br />
∪ C pt care avem ρ ⊆ ρ si Q = (B ◦<br />
∪ C)/ρ. Daca h : B −→ Q<br />
si k : C −→ Q sunt proiectiile (adica h(b) = (1,b) respectiv k(c) = (2,c)) (Q,h,k) este<br />
suma fibrata.<br />
Este comutativa diagrama<br />
A f<br />
−→ B<br />
g ↓ ↓ h<br />
k<br />
C −→ Q<br />
si se verifica si restul (Purdea, vol. 2, p. 30-31).<br />
2. a) Produsul fibrat al unei retractii este o retractie.<br />
Demo = Daca este produs fibrat diagrama<br />
r<br />
P −→ A<br />
s ↓ ↓ f<br />
g<br />
B −→ C<br />
si exista f1 : C −→ A cu f ◦f1 = 1C atunci este comutativa si diagrama<br />
B f1◦g<br />
−→ A<br />
1B ↓ ↓ f<br />
g<br />
B −→ C<br />
11