Software matematic

84 Algebră liniară în MATLAB
C =
1 1
1 2
1 3
>> [Q,R]=qr(C)
Q =
-0.5774 0.7071 0.4082
-0.5774 0.0000 -0.8165
-0.5774
R =
-0.7071 0.4082
-1.7321 -3.4641
0 -1.4142
0 0
Factorizarea economică QR produce o matrice rectangulară m × n Q cu coloane
ortonormale s¸i o matrice pătratică superior triunghiulară R, de dimensiune n × n.
Exemplu
>> [Q,R]=qr(C,0)
Q =
-0.5774 0.7071
-0.5774 0.0000
-0.5774 -0.7071
R =
-1.7321 -3.4641
0 -1.4142
Pentru matrice dreptunghiulare mari, cu m ≫ n, câs¸tigul de timp s¸i memorie poate
fi important.
În contrast cu factorizarea LU, factorizarea QR nu necesită pivotare sau permutări.
O factorizare QR cu pivotare pe coloane are formaAP = QR, undeP este o
matrice de permutare. Strategia de pivotare utilizată produce un factorRale cărui elemente
diagonale verifică |r11| ≥ |r22| ≥ ··· ≥ |rnn|. Pivotarea pe coloane este utilă
pentru detectarea singularităt¸ilor sau deficient¸elor de rang; detectarea se realizează
prin examinarea elementelor diagonale. Dacă A este apropiată de o matrice de rang
r < n, atunci ultimele n − r elemente ale lui R vor avea ordinul eps*norm(A).
Pivotarea se indică printr-un al treilea parametru de ies¸ire, care este o matrice de
permutare:
>> [Q,R,P]=qr(C)
Q =
-0.2673 0.8729 0.4082
-0.5345 0.2182 -0.8165
-0.8018 -0.4364 0.4082