Software matematic

80 Algebră liniară în MATLAB
3.1.1. Sisteme pătratice
Dacă A este o matrice pătratică nesingulară de ordinul n, atunci A\b este solut¸ia
sistemului Ax=b, calculată prin factorizare LU cu pivotare part¸ială. În timpul rezolvării,
MATLAB calculează rcond(A) s¸i tipăres¸te un mesaj de avertisment dacă
rezultatul este mai mic decât eps:
x = hilb(15)\ones(15,1)
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
Results may be inaccurate. RCOND = 1.543404e-018.
3.1.2. Sisteme supradeterminate
Dacă m > n, în general sistemul Ax = b nu are nici o solut¸ie. Expresia MA-
TLAB A\b calculează solut¸ia sistemului în sensul celor mai mici pătrate, adică minimizează
norma euclidiană a reziduului (adică norm(A*x-b)) peste tot¸i vectorii
x. DacăAare rang maximm, atunci solut¸ia este unică. DacăAare rangul k mai mic
decât m (în acest caz spunem că A este deficientă de rang), A\b calculează o solut¸ie
de bază cu cel mult k elemente nenule (k este determinat s¸i x este calculat utilizând
factorizarea QR cu pivotare pe coloană). În ultimul caz MATLAB dă un mesaj de
avertisment.
Solut¸ia se mai poate calcula s¸i cu x min=pinv(A)*b, unde pinv(A) este
pseudo-inversa lui A. Dacă A este deficientă de rang, x min este solut¸ia unică de
normă euclidiană minimală. Vom reveni asupra acestui tip de sisteme în capitolul
următor.
Pseudo-inversa Moore-Penrose a lui A, notată cu A + generalizează not¸iunea de
inversă pentru matrice dreptunghiulare s¸i deficiente de rang. Pseudo-inversa A + a lui
A este matricea unică care satisface condit¸iile
AA + A = A, A + AA + = A + , (A + A) + = A + A, (AA + ) + = AA + .
Vom ilustra cu următoarele exemple:
>> Y=pinv(ones(3))
Y =
0.1111 0.1111 0.1111
0.1111 0.1111 0.1111
0.1111 0.1111 0.1111
>> A=[0 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 2 0]
A =
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0
>> pinv(A)