Software matematic

6.6. Ecuat¸ii implicite 161
Problema 6.11. Un dop de lungime L este pe punctul de a fi expulzat dintr-o sticlă
ce cont¸ine un lichid în fermentat¸ie. Ecuat¸iile de mis¸care a dopului sunt
dv
dt =
1+
x −γ RT qx
g(1+q) d + 100 −1+ L(1+q) , x < L;
0, x ≥ L
dx
= v,
dt
unde
g accelerat¸ia gravitat¸ională;
q raportul frecare-greutate al dopului;
x deplasarea dopului în gâtul sticlei;
t timpul;
d lungimea gâtului sticlei
R rata procentuală cu care presiunea cres¸te;
γ constanta adiabatică pentru gazul din sticlă (γ = 1.4).
Condit¸iile init¸iale sunt x(0) = x ′ (0) = 0. Atât timp cât x < L dopul este încă în
sticlă, dar el părăses¸te sticla când x = L. Integrat¸i ecuat¸iile de mis¸care cu DORPRI5
(tabela ??) s¸i tolerant¸a 0.000001 pentru a găsi momentul la care dopul este aruncat.
Determinat¸i de asemenea viteza de expulzare când
q = 20, L = 3.75cm, d = 5cm, R = 4.
Problema 6.12. Un model simplu al bătăilor inimii umane este dat de
εx ′ = −(x 3 −Ax+c),
c ′ = x,
unde x este deplasarea de la echilibru a fibrei musculare, c(t) este concentrat¸ia unui
control chimic, iar ε s¸i A sunt constante pozitive. Se as¸teaptă ca solut¸iile să fie periodice.
Aceasta se poate vedea reprezentând solut¸ia în planul fazelor (x pe abscisă, c
pe ordonată), trebuind să se obt¸ină o curbă închisă. Presupunem căε = 1 s¸i A = 3.
(a) Calculat¸i x(t) s¸i c(t), pentru 0 ≤ t ≤ 12 s¸i valorile init¸iale x(0) = 0.1,
c(0) = 0.1. Reprezentat¸i ies¸irea în planul fazelor. Cam cât este perioada?