Software matematic

6.5. Tratarea evenimentelor 145
unde A este o matrice N ×N s¸i v este un vector N ×1 cu
⎡ ⎤ ⎡
0 1 −2 1
⎢
⎢−1
0 1 ⎥ ⎢
⎥ ⎢ 1 −2 1
⎢
A = r1
⎢ . .. . .. . ..
⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥+r2
⎢ . .. . ..
⎢
⎢
⎣
. .. . ..
⎥ ⎢
1⎦
⎣
. ..
−1 0
⎤
⎥
. ..
⎥
⎥,
. ..
⎥
1 ⎦
1 −2
v = [r1 −r2,0,...,0,r1 +r2] T , r1 = −a/(2∆x) s¸i r2 = b/∆x 2 . Aici a, b s¸i ∆x
sunt parametrii cu valorilea = 1,b = 5×10 −2 s¸i∆x = 1/(N +1). Acest sistem de
ecuat¸ii diferent¸iale ordinare apare la semidiscretizarea prin metoda liniilor a ecuat¸iei
cu derivate part¸iale
∂ ∂ ∂2
u(x,t)+a u(x,t) = b
∂t ∂x ∂x2u(x,t)+u(x,t)(1−u(x,t)), 0 ≤ x ≤ 1,
cu condit¸iile pe frontieră de tip Dirichlet u(0,t) = u(1,t) = 1. Această ecuat¸ie
cu derivate part¸iale poate fi rezolvată s¸i direct cu pdepe. Componenta yj(t) a
sistemului de ecuat¸ii diferent¸iale ordinare aproximează u(j∆x,t). Presupunem că
ecuat¸ia cu derivate part¸iale verifică condit¸iile u(x,0) = (1 + cos2πx)/2, pentru
care se poate arăta că u(x,t) tinde către starea de echilibru u(x,t) ≡ 1 când
t → ∞. Condit¸ia init¸ială corespunzătoare pentru ecuat¸ia diferent¸ială ordinară este
(y0)j = (1+cos(2πj/(N +1)))/2. Jacobianul pentru ecuat¸ia diferent¸ială ordinară
are forma A + I − 2diag(y(t)), unde I este matricea identică. Sursa MATLAB 6.2
cont¸ine o funct¸ie care implementează s¸i rezolvă sistemul (6.4.2) utilizând ode15s.
Utilizarea subfunct¸iilor s¸i a tipurilor function handle face posibil ca întreg codul să fie
cont¸inut într-un singur fis¸ier, numit rcd.m. S-a luat N = 40 s¸it ∈ [0,2]. Subfunct¸ia
jacobian evaluează jacobianul, jpattern dă s¸ablonul de raritate al jacobianului
sub forma unei matrice rare cu elemente 0 s¸i 1 s¸i f codifică membrul drept al
ecuat¸iei diferent¸iale. A j-a coloană a matricei de ies¸ire y cont¸ine aproximarea lui
yj(t); matricea U a fost creată adăugând o coloană de 1 la fiecare capăt al lui y, conform
condit¸iilor pe frontieră pentru ecuat¸ia cu derivate part¸iale. Graficul produs de
rcd apare în figura 6.9.
6.5. Tratarea evenimentelor
În multe situat¸ii, determinarea ultimei valori tfinal a lui tspan este un aspect
important al problemei. Un exemplu este căderea unui corp asupra căruia act¸ionează
fort¸a gravitat¸ională s¸i rezistent¸a aerului. Când atinge el pământul? Un alt exemplu
este problema celor două corpuri, adică determinarea orbitei unui corp supus atract¸iei