Software matematic

134 Ecuat¸ii diferent¸iale în MATLAB
Să considerăm acum ecuat¸ia pendulului simplu [2, sect¸iunea 1.4]:
d2 dt2θ(t) = −g
L sinθ(t),
unde g este accelerat¸ia gravitat¸ională s¸i L este lungimea pendulului. Această ecuat¸ie
de ordinul al doilea se poate transforma într-un sistem de ecuat¸ii de ordinul I, introducând
necunoscutele y1(t) = θ(t) s¸i y2(t) = dθ(t)/dt:
d
dt y1(t) = y2(t),
d
dt y2(t) = − g
L siny1(t).
Aceste ecuat¸ii sunt codificate în fis¸ierul pend.m, dat în continuare:
function yp=pend(t,y,g,L)
%PEND - pendul simplu
%g - acceleratia gravitationala, L - lungimea
yp=[y(2); -g/L*sin(y(1))];
Aici, g s¸i L sunt parametrii suplimentari care vor fi furnizat¸i lui pend de către rezolvitor.
Vom calcula solut¸ia pentru t ∈ [0,10] s¸i trei condit¸ii init¸iale diferite.
g=10; L=10;
tspan = [0,10];
yazero = [1; 1]; ybzero = [-5; 2];
yczero = [5; -2];
[ta,ya] = ode45(@pend,tspan,yazero,[],g,L);
[tb,yb] = ode45(@pend,tspan,ybzero,[],g,L);
[tc,yc] = ode45(@pend,tspan,yczero,[],g,L);
În apelurile de forma
[ta,ya] = ode45(@pend,tspan,yazero,[],g,L);
[] reprezintă opt¸iunile, iar următorii sunt parametrii suplimentari care vor fi
transmis¸i membrului drept. Pentru a obt¸ine grafice de fază vom reprezenta pe y2(t)
în funct¸ie de y1(t). Este sugestiv să reprezentăm pe acelas¸i grafic s¸i câmpul de vectori
cu quiver. Săget¸ile generate de quiver au direct¸ia gradientului [y2,−siny1]
s¸i lungimea proport¸ională cu norma euclidiană a acestui vector. Imaginea obt¸inută
apare în figura 6.2.
[y1,y2] = meshgrid(-5:0.5:5,-3:0.5:3);
Dy1Dt = y2; Dy2Dt = -sin(y1);
quiver(y1,y2,Dy1Dt,Dy2Dt)
hold on
plot(ya(:,1),ya(:,2),yb(:,1),yb(:,2),yc(:,1),yc(:,2))
axis equal, axis([-5,5,-3,3])
xlabel y_1(t), ylabel y_2(t), hold off