Software matematic

126 Funct¸ii de funct¸ii
Vom alege vectorul de pornire x (0) = [0.5,0.5,0.5] T s¸i precizia 10 −9 s¸i pentru
x. Comenzile MATLAB s¸i rezultatul lor se dau mai jos
>> os=optimset(’Display’,’final’,’TolX’,1e-9,’TolFun’,1e-9);
>> [xm,fval]=fminsearch(@fminob,[0.5,0.5,0.5]’,os)
Optimization terminated:
the current x satisfies the termination criteria using
OPTIONS.TolX of 1.000000e-009 and F(X) satisfies the
convergence criteria using OPTIONS.TolFun of 1.000000e-009
xm =
0.49999999959246
0.00000000001815
-0.52359877559440
fval =
1.987081116616629e-018
Comparativ cu rezolvările bazate pe metoda lui Newton sau metoda lui Broyden, se
constată că timpul de execut¸ie este mai lung s¸i precizia nu este la fel de bună (s¸i
datorită aspectului mai complicat al funct¸iei obiectiv). Aproximanta obt¸inută astfel
poate fi folosită ca vector de pornire pentru metoda lui Newton. ♦
Funct¸ia fminsearch se bazează pe varianta Nelder-Mead a algoritmului simplex.
Algoritmul este lent, dar are avantajul că nu utilizează derivate s¸i este insensibil
la discontinuităt¸i ale funct¸iei. Toolbox-ul Optimization cont¸ine metode mai sofisticate
de minimizare.
Probleme
Problema 5.1. Să se aproximeze
1
0
sinx
x dx,
folosind o cuadratură adaptivă s¸i metoda lui Romberg. Ce probleme pot să apară? Să
se compare rezultatul cu cel furnizat de quad sau quadl.
Problema 5.2. Pornind de la o integrală convenabilă, să se aproximeze π cu 8 zecimale
exacte, folosind metoda lui Romberg s¸i o cuadratură adaptivă.
Problema 5.3. Aproximat¸i
1
−1
2
dx
1+x 2
folosind formula trapezelor s¸i formula repetată a lui Simpson, pentru diverse valori
ale lui n. Cum variază precizia odată cu n? Reprezentat¸i grafic.