Software matematic

120 Funct¸ii de funct¸ii
function y=xsin(x) y=x.*sin(x);
Aproximanta se obt¸ine astfel:
>> quad(@xsin,0,pi)
ans =
3.1416
Rutina quad este o implementare a unei cuadraturi adaptive de tip Simpson, as¸a
cum se descrie în sect¸iunea ?? sau în [15]. quadl este mai precisă s¸i se bazează pe
o cuadratură de tip Gauss-Lobatto cu 4 puncte (s¸i grad de exactitate 5) s¸i o extensie
a ei de tip Kronrod cu 7 puncte (s¸i grad de exactitate 9), ambele descrise în [3]. Cuadratura
este adaptivă. Ambele funct¸ii dau mesaje de avertisment dacă subintervalele
devin prea mici sau dacă s-au făcut excesiv de multe evaluări. Astfel de mesaje indică
posibile singularităt¸i.
Pentru a ilustra modul de lucru al lui quad s¸i quadl vom aproxima integrala
1
0
1
(x−0.3) 2 +0.01 +
1
(x−0.09) 2 +0.04 −6
dx.
Integrandul este funct¸ia MATLAB humps, folosită la testarea rutinelor de integrare
numerică sau de demo-urile din MATLAB. Vom aplica quad acestei funct¸ii cu
tol=1e-4. Figura 5.1 reprezintă integrandul s¸i marchează punctele de pe axa x
în care se evaluează integrandul; cercurile corespund valorilor integrandului. Figura
arată că subintervalele sunt mai mici acolo unde integrandul variază mai rapid. Ea
a fost obt¸inută modificând funct¸ia quad din MATLAB. Următorul exemplu aproximează
integralele lui Fresnel
x(t) =
t
0
cos(u 2 )du, y(t) =
t
0
sin(u 2 )du.
Acestea sunt ecuat¸iile parametrice ale unei curbe, numită spirala lui Fresnel. Ea a fost
reprezentată în figura 5.2, considerând 1000 de puncte t echidistante din intervalul
[−4π,4π]. Din motive de eficient¸ă, vom exploata simetria s¸i vom evita integrarea
repetată pe[0,t], integrând pe fiecare subinterval s¸i evaluând integralele cu cumsum:
n = 1000; x = zeros(1,n); y = x;
i1 = inline(’cos(x.ˆ2)’); i2 = inline(’sin(x.ˆ2)’);
t=linspace(0,4*pi,n);
for i=1:n-1
x(i) = quadl(i1,t(i),t(i+1),1e-3);
y(i) = quadl(i2,t(i),t(i+1),1e-3);
end
x = cumsum(x); y = cumsum(y);
plot([-x(end:-1:1),0,x], [-y(end:-1:1),0,y])
axis equal