Software matematic

3.3. Valori s¸i vectori proprii în MATLAB 101
Problema 3.7. Considerăm ecuat¸ia diferent¸ială ordinară
y ′′ (x)−p(x)y ′ (x)−q(x)y(x) = r(x), x ∈ [a,b]
cu condit¸iile pe frontieră y(a) = α, y(b) = β. Presupunem că q(x) ≥ q > 0.
Pentru a rezolva ecuat¸ia numeric, o vom discretiza, căutând solut¸iile sale pe punctele
echidistante xi = a + ih, i = 0,...,N − 1, unde h = (b − a)/(N + 1). Definim
pi = p(xi), qi = q(xi), ri = r(xi) s¸i yi ≈ y(xi). Utilizând aproximat¸iile
s¸i
y ′ (xi) ≈ yi+1 −yi
2h
y ′′ (xi) ≈ yi+1 −2yi +yi−1
h 2
s¸i t¸inând cont că y0 = α s¸i yN+1 = β, se ajunge la un sistem liniar tridiagonal.
(a) Scriet¸i sistemul la care se ajunge prin discretizare s¸i studiat¸i proprietăt¸ile sale.
(b) Scriet¸i o funct¸ie MATLAB care rezolvă numeric ecuat¸ia diferent¸ială cu condit¸ii
pe frontieră bazată pe ideea de mai sus. Sistemul se va rezolva printr-o metodă
directă s¸i una iterativă (dacă este posibil).
(c) Arătat¸i că sistemul poate fi transformat într-un sistem echivalent a cărui matrice
este simetrică s¸i pozitiv definită. Să se implementeze s¸i această variantă.
(d) Exploatat¸i raritatea matricei sistemului.
Testat¸i pentru problema
cu solut¸ia exactă
unde
y ′′ = − 2
x y′ + 2 sin(lnx)
x2y +
x2 , x ∈ [1,2], y(1) = 1, y(2) = 2,
y = c1x+ c2 3 1
− sin(lnx)−
x2 10 10 cos(lnx),
c2 = 1
70 [8−12sin(ln2)−4cos(ln2)],
c1 = 11
10 −c2.