Reglare Adaptiva si Optimala - Cadre Didactice

UNIVERSITATEA DIN BACĂU
FACULTATEA DE INGINERIE
IULIAN FLORESCU PUIU GABRIEL
REGLARE ADAPTIVĂ
ŞI
OPTIMALĂ
NOTE DE CURS
PENTRU UZUL STUDENŢILOR
Editura ALMA MATER
Bacău 2007

2
Tiparul executat sub comanda nr...
UNIVERSITATEA din BACĂU
Str. Spiru Haret nr. 9 Bacău
UNIVERSITATEA BACĂU Apărut în anul 2007

PREFAŢĂ
Odată cu celelalte discipline ştiinţifice, mecanica fluidelor s-a dezvoltat rapid în ultimul
timp, numeroasele cercetări efectuate lărgind mult cunoştinţele asupra comportării fluidelor, cât
şi a numeroaselor probleme a căror rezolvare depinde de cunoaşterea acestora. Paralel a
crescut şi numărul aplicaţiilor în diverse ramuri ale tehnicii moderne, pentru a căror dezvoltare
cunoaşterea fenomenelor specifice fluidelor a devenit indispensabilă.
Lucrarea este rezultatul activităţii didactice şi ştiinţifice a autorului, profesor doctor
inginer în cadrul Catedrei de Energetică, Mecatronică şi Ştiinţa Calculatoarelor şi se bazează pe
concepţia unitară de predare a acestei discipline în toate universităţile tehnice din ţară.
Această lucrare încearcă să dea o prezentare a problemelor reprezentative ale
disciplinei, precum şi modulspecifi de rezolvare a lor.
Lucrarea cuprinde pe întinderea a 12 capitole probleme ale mecanicii fluidelor şi o anexă
cu aplicaţiiale principalelor capitole . Majoritatea capitolelor au un conţinut teoretic pronunţat
cu demonstraţii relativ simple şi punctate cu exemple tehnice aplicative.
Lucrarea se adresează în primul rând studenţilor facultăţilor cu profil mecanic şi
energetic şi are ca scop aprofundarea şi consolidarea sub aspect teoretic şi aplicativ a
cunoştinţelor legate de echilibrul sau mişcarea diferitelor tipuri de fluide. Totodată oferă soluţii
ştiinţifice pentru alegerea unor subiecte de cercetare aprofundată şi este folositoare specialiştilor
din industriile de profil.
Autorii
3

4
_______________________________________________________________________________________________

1.1.
1.2.
2.1.
2.2.
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
2.2.4.
2.2.5.
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
2.4.
2.5.
2.5.1.
2.5.2.
3.1.
3.2.
3.2.1.
3.2.2.
3.2.3.
3.3.
3.3.1.
3.3.2.
3.3.3.
3.4.
3.4.1.
3.5.
3.6.
Cuprins
Capitolul 1. Introducere
Generalităţi
Caracterul informaţiei apriorice
Capitolul 2. Sisteme adaptive
Introducere
Sisteme adaptive cu model de referinţă (SAMR)
Introducere
Urmărirea modelului
Metoda gradientului (Regula MIT)
Proiectarea SAMR pe baza teoriei stabilităţii
Procedura generală de sinteză a SAMR
Sisteme adaptive cu identificarea modelului
(sisteme adaptive cu autoacordare - SAA)
Regulatoare cu autoacordare indirectă
Regulatoare cu autoacordare directă
Reglarea adaptivă cu reacţie după stare
Probleme ale implementării algoritmilor adaptivi
Implementarea estimatorului
Implementarea regulatorului
Aplicaţii
Capitolul 3 Sisteme cu structură variabilă
Utilitatea sistemelor cu structură variabilă
Regimuri dinamice în sistemele cu structură variabilă
Regimurile dinamice ale unui obiect liniar de ordinul II
Regimul de comutare cu structură variabilă
Regimul de alunecare în sistemele cu structură variabilă
Mişcarea liberă în sistemele cu structură variabilă
Conducerea proporţională cu abaterea
Conducerea proporţionala cu abaterea şi derivatele ei
Conducerea proceselor integro-diferenţiatoare
Mişcarea forţată în sistemele cu structură variabilă
Analiza şi sinteza unui sistem de ordinul II în regim forţat
Sisteme extremale multivariabile
Optimizarea structurii, parametrilor şi programului
7
10
12
21
22
24
27
28
30
31
33
34
37
38
39
43
45
46
47
49
52
54
54
57
59
60
60
66
5

6
3.6.1.
3.7.
3.7.1.
3.7.2.
3.7.3.
4.1.
sistemele automate moderne
Optimizarea parametrică
Exemple de sisteme optimale şi adaptive
Exemple de sisteme optimale
Exemple de sisteme optimale adaptive
Exemple de sisteme adaptive
Capitolul 4 Siguranţa în funcţionare a sistemelor
Noţiuni fundamentale ale teoriei statistice a
siguranţei în funcţionare
Capitolul 5 Lucrări de laborator
Mediul de simulare matlab-simulink; bibliotecile
Standard simulink
Biblioteca power system blockset.
Elemente, facilităţi, utilizare
Simularea unui circuit redresor şi filtru lc
Modelarea şi simularea sistemelor electromecanice
Simularea unui braţ manipulator
Bibliografie
67
68
71
71
73
74
76
78
82
89
89
95
101
106
112

Capitolul 1. Introducere
1.1. Generalităţi
În general, cunoscându-se caracteristicile mecanice ale maşinii şi motorului se pot
studia regimurile tranzitorii mecanice ale sistemului (pornire, frânare, reversiune), prin
rezolvarea ecuaţiei mişcării. Relaţiile M = f(t, c1) şi n = f(t, c2), în care c1 şi c2 sunt constante
determinate din condiţiile iniţiale, cum şi relaţia duratei procesului tranzitoriu t = f(M, Ms, n,
2
GD ), servesc atât la alegerea corecta a motoarelor, şi a schemei lor de comanda, cât şi a
metodelor de reducere a consumului de energie în timpul pornirii, frânării sau reglării vitezei
(fapt important în special la acţionările de mare putere cu reglaj des al vitezei, cum şi la cele cu
funcţionare intermitentă).
La determinarea parametrilor regimului staţionar al acţionarii se foloseşte caracteristica
mecanică totală, obţinută prin însumarea caracteristicilor mecanice ale motorului sau maşinii.
Condiţiile de stabilitate rezultă:
dn
la n>nregim, < 0 si Mtot0
dt
sau
la Mtot 0 se obţine funcţionarea instabilă
dM
unde β = este coeficientul de rigiditate, definit ca derivata cuplului în raport cu timpul în
dn
fiecare punct al caracteristicii mecanice. Rigiditatea caracteristicii diferă atât la maşinile de lucru,
cât şi la maşinile de antrenare. Astfel motoarele electrice au caracteristici absolut rigide ( β →∞,
pentru motorul sincron), rigide ( β < 0 , pentru motorul în derivaţie şi motorul asincron), suple
( β > 0 , pentru motorul la care viteza variază apreciabil).
Aşadar, - pentru asigurarea stabilităţii - motoarele de acţionare trebuie să aibă, la viteza
de regim şi cuplu de date, caracteristici mecanice de forma corespunzătoare caracteristicii
mecanice a maşinii. Astfel, de exemplu, la acţionările electrice cu caracteristici mecanice rigide (
maşini-unelte de prelucrare prin aşchiere, etc.) se folosesc motoare asincrone cu rotor în colivie,
motoare derivate şi motoare sincrone, iar la cele cu caracteristici mecanice suple (tracţiune,
maşini de ridicat), - motoare serie.
La baza alegerii puterii motoarelor stau diagrame de sarcina Ms = f(t) ale maşinii
asincrone; corectitudinea alegerii se verifica prin calculul uniformităţii încărcării, al întârzierii, la
capacităţii de suprasarcina, al cuplului de pornire, etc. Încălzirea motorului depinde de regimul de
funcţionare al maşinii, care poate fi în regim de durata, în care temperatura motorului atinge o
valoare de regim; regim de scurtă durată, în care temperatura motorului atinge o valoare
admisibila şi în timpul pauzei motorul se răceşte pana la temperatura mediului ambiant; regim
intermitent, cu porniri şi opriri frecvente, în care temperatura motorului nu atinge o valoare de
regim şi pauza nu e suficientă pentru ca motorul să se răcească până la temperatura mediului
ambiant (de ex. la ascensoare şi macarale). Pentru serviciul de durata şi cu sarcina constantă sau
puţin variabilă, puterea motorului trebuie să corespundă sarcinii maşinii antrenate. Pentru serviciu
7

8
de durată şi cu sarcină variabilă, puterea motorului electric se determină, de obicei, considerând
curentul echivalent, adică un curent care ar produce aceleaşi pierderi şi aceeaşi încălzire ca şi
curentul real absorbit, a cărui expresie este:
∑l
k tk
Ie =
∑t
k
2
în care Ik este curentul real absorbit de motor în timpul tk, conform diagramei de sarcina I= fn(t),
iar tk e durata totală a ciclului de variaţie a sarcinii; uneori se foloseşte şi cuplul echivalent
∑ M k tk
Me =
∑t
k
2
sau puterea echivalentă
∑ Pk tk
Pe =
∑t
k
2
unde Mk şi Pk sunt cuplul şi puterea corespunzătoare duratei tk. Pentru serviciile de scurtă durată
sau intermitent, puterea motorului se determina pe baza curentului echivalent sau a pierderilor
reale, ultima metoda fiind recomandată la acţionări cu circa 600...800 de conectări pe oră.
Acţionările se clasifică după posibilitatea de variaţie forţată a vitezei în:
- acţionări nereglabile, la care viteza nu poate fi modificată prin comenzi manuale
sau automate de trecere a motorului de la funcţionarea pe caracteristica naturală, corespunzătoare
vitezei nominale, pe o caracteristică artificială, corespunzătoare noii viteze de regim.
- acţionări reglabile, la care viteza poate fi modificată. La acţionările neelectrice,
viteza se reglează, de obicei, prin intermediul lanţului cinematic (transmisiunea); la acţionări
electrice moderne, viteza se realizează prin modificarea parametrilor electrici ai motorului. Ca
motoare electrice în acţionările reglabile se folosesc în special motorul derivaţie de curent
continuu, la care reglajul se realizează prin variaţia rezistenţei rotorice, a fusului de excitaţie sau a
tensiunii de alimentare, şi motorul asincron trifazat cu inele colectoare, la care reglajul se
realizează prin varierea rezistenţei rotorice, schimbarea numărului de poli, modificarea frecvenţei
de alimentare.
Sistemele tehnice moderne, cum sunt vehiculele, maşinile de ridicat şi de transport,
maşinile-unelte de prelucrare a metalelor, maşinile din industria textilă, a hârtiei, etc. reclamă
acţionări reglabile, cu calităţi deosebite în ce priveşte intervalul de reglaj al vitezei ⎟ ⎛ nmax
⎞
⎜ ,
⎝ nmin
⎠
continuitatea reglajului, randamentul reglajului, variaţia cuplului admisibil în intervalul de reglaj,
nmax
etc. Astfel, la maşinile-unelte de aşchiere e necesar un raport = 4 / 1...
40 / 1,
iar la unele
nmin
nmax
laminoare = 100 / 1...
20 / 1;
de asemenea, laminoarele puternice, rabotezele, frezele, maşinile
nmin
de ridicat, etc. reclamă un număr cât mai mare de trepte de viteza într-un interval anumit de
viteze, adică o cat mai mare continuitate a reglajului.
Sistemele moderne de reglaj în acţionările electrice au permis obţinerea unor
performanţe însemnate. Astfel, alimentarea motorului derivaţie cu tensiune variabilă de la un
generator propriu (grupul generator-motor) permite un interval de reglaj total până la 120/1,
renunţarea la elementele mecanice de comandă, o mare continuitate a reglajului, pierderi mici de

energie, etc.; în prezent, la motoarele de curent continuu s-au mărit intervalul de reglaj al vitezei,
rapiditatea acţiunii şi randamentul acţionării prin alimentarea de la mutatoare ionice comandate.
Motoarele de curent alternativ nu permit un interval prea mare de reglare al vitezei şi
nici o continuitate a comenzii ca grupul generator- motor, dar sunt mai simple constructiv şi mai
economice în exploatare. Rezultate mai bune în aceasta privinţă dau motoarele asincrone cu
frecvenţă variabilă ( alimentate prin convertizoare) sau schemele cu motoare asincrone cuplate în
carcasă.
După comportarea în serviciile tranzitorii cauzate de perturbaţii sau de comenzi,
acţionările se clasifică în modul următor :
- acţionarea static stabilă, la care sistemul revine în starea iniţială de serviciu staţionar,
după ce a încetat perturbaţia pe care a suferit-o.
- acţionare dinamic stabilă, la care sistemul trece dintr-o stare de serviciu staţionar în
alta, serviciul tranzitoriu fiind de durată finită şi aperiodic sau oscilatoriu amortizat.
Transmisiunea, care e mecanismul prin intermediul căruia se comunică mişcarea de la
motorul de antrenare la sistemul tehnic antrenat, poate fi : mecanică, dacă cuprinde elemente
rigide, flexibile sau elastice ; hidraulică sau pneumatică, dacă cuprinde şi elemente fluide ;
electrică, dacă cuprinde şi elemente sau dispozitive electomagnetice sau electronice.
Echipamentul de comandă permite stabilirea unui anumit regim de funcţionare :
pornirea, frânarea, reversiunea, reglarea vitezei, etc. Comenzile manuale sau automate se exercită
asupra sursei de alimentare cu energie, asupra parametrilor motorului sau transmisiunii. Comanda
poate fi realizată prin mijloace mecanice, pneumatice, hidraulice sau electrice. Acţionările
electrice moderne au comandă electrică automată, care se realizează prin: automatizarea în
circuit deschis, folosind un aparataj cu relee şi contactoare ( cea mai răspândită în prezent);
automatizarea în circuit închis, folosind maşini electrice amplificatoare, care permit comandă
continuă; automatizarea iono-electronică, folosind mutatoare ionice şi tuburi electronice.
La alegerea sistemului de comandă trebuie să se ţină seama de următoarele criterii :
- condiţiile proprii ale acţionării (durata pornirii, acceleraţiile maxime admisibile,
frecvenţa pornirilor, indicii reglajului de viteză, felul frânării, durata frânării, exactitatea
opririi),
- condiţiile de emitere a impulsiilor de comandă (amplasarea postului de impuls, gradul
de automatizare, mijloacele de semnalizare, etc.), condiţiile de protecţie şi de siguranţă a
funcţionării, ( dispozitive de protecţie contra funcţionării nepotrivite, protecţia la
depăşirea valorilor limită ale parametrilor cinematici, blocarea contra comenzilor
greşite),
- condiţiile de funcţionare în ansamblul procesului de producţie ( legăturile funcţionale
între mecanisme, automatizarea complexă).
În al treilea rând, pornind de la scopul adoptat şi luând în considerare restricţiile
impuse, trebuie elaborată şi realizată soluţia care asigură optimizarea, respectiv permite obţinerea
celui mai bun sistem – în conformitate cu criteriul de comparaţie stabilit – în condiţiile date.
Această clasă de probleme ocupă o poziţie centrală în cazul optimizării.
Optimizarea sistemelor automate are o mare importanţă practică, deoarece permite cea
mai raţională şi eficientă utilizare a elementelor şi ansamblurilor fabricate curent de industrie
pentru a fi folosite în componenţa sistemelor automate. Aceste elemente, de regulă tipizate, sunt
supuse unor restricţii, iar prin intermediul optimizării se obţine cel mai bun sistem posibil cu
elementele respective, care sunt astfel folosite la capacitatea lor maximă . Această soluţie,
reprezentând folosirea optimă a unor elemente realizate printr-o tehnologie relativ simplă şi
9

10
ieftină, este mult mai avantajoasă din punct de vedere tehnico-economic decât o soluţie care ar
prevedea realizarea unor elemente deosebit de perfecţionate şi supuse în mai mică măsură
limitărilor, deoarece pentru asemenea elemente tehnologia ar fi complicată şi preţul de cost ar
creşte considerabil.
Prezenta lucrare îşi propune să trateze principalele categorii de sisteme automate care
permit realizarea optimizării şi anume sistemele adaptive şi optimale. Întrucât studiul acestor
sisteme implică larga folosire a unui aparat matematic dezvoltat, iar realizarea practică a
sistemelor menţionate necesită rezolvarea unor numeroase probleme tehnice, în lucrare sunt
tratate ambele aspecte – matematic şi tehnic. Pentru a fi cât mai utilă atât cercetătorilor
teoreticieni, cât şi inginerilor, în unele cazuri nu mai sunt prezentate demonstraţiile matematice,
iar în alte cazuri sunt simplificate detaliile tehnice, făcându-se trimiterile corespunzătoare la
literatura de specialitate.
1.2. Caracterul informaţiei apriorice.
Un sistem automat realizează o anumită dependenţă dorită între mărimile sale de ieşire
şi de intrare. În cazul optimizării sistemului, acesta este astfel proiectat încât să fie asigurată o
funcţionare optimă în conformitate cu criteriul de calitate ales.
În proiectarea unui sistem automat se porneşte de la un ansamblu de date iniţiale, care
cuprind caracteristicile instalaţiei tehnologice supuse automatizării şi ale semnalelor care
acţionează din exterior, precum şi performanţele impuse sistemului proiectat; ca rezultat al
proiectării se obţine blocul regulatorului automat, respectiv se obţin caracteristicile, structura şi
valorile parametrilor acestui bloc.
Datele iniţiale referitoare la instalaţia tehnologică şi semnalele care acţionează din
exterior asupra sistemului automat formează informaţia apriorică referitoare la sistem (denumită
uneori şi informaţie iniţială). În funcţionarea sistemului are loc măsurarea unor mărimi,
rezultatele acestor măsurări determinând modul de acţionare a sistemului automat ( de exemplu,
în sistemele de reglare mărimea de ieşire este permanent măsurată şi transmisă prin intermediul
reacţiei principale la elementul de comparaţie); datele obţinute prin măsurarea anumitor mărimi
în cursul funcţionării sistemului formează informaţia curentă .
În unele cazuri din practică sunt cunoscute cu un grad de precizie suficient de ridicat
caracteristicile instalaţiei tehnologice şi ale semnalelor care acţionează din exterior asupra
sistemului; aceste caracteristici pot fi deci formulate matematic, sub formă deterministică sau sub
formă statistică. În asemenea cazuri, informaţia apriorică este completă (sau suficientă).
În alte cazuri, anumite caracteristici ale instalaţiei sau semnalelor nu sunt cunoscute,
datorită faptului că nu sunt constante, ci variază în timp, sau datorită complexităţii instalaţiei; de
exemplu, factorul de amplificare al instalaţiei tehnologice poate fi modificat în limite largi de
acţiunea unor perturbări parametrice, sau pot avea loc modificări ale caracteristicilor statistice ale
mărimii de intrare a sistemului. În asemenea cazuri, informaţia apriorică este incompletă (sau
insuficientă).
Dacă informaţia apriorică este completă, atunci proiectarea blocului de reglare
poate include stabilirea pentru acest bloc a unui program de funcţionare care să asigure un extrem
al criteriului de calitate ales, în condiţiile restricţiilor existente; acest program este introdus încă
de la realizarea blocului de reglare, prin intermediul structurii şi parametrilor acestui bloc.
Sistemele automate din această categorie sunt denumite sisteme optimale.
Dacă informaţia apriorică este incompletă, datorită variaţiilor neprevăzute ale
caracteristicilor instalaţiei tehnologice sau ale semnalelor exterioare atunci pentru blocul de

eglare nu poate fi stabilit un program fix de funcţionare, ci este necesar să se introducă elemente
suplimentare cu rolul de a determina modificări ale caracteristicilor regulatorului care să
compenseze modificările neprevăzute ale caracteristicilor instalaţiei tehnologice sau ale
semnalelor exterioare. Asemenea sisteme automate sunt denumite sisteme adaptive şi au rolul de
a asigura o funcţionare optimă a sistemului în condiţiile variaţiilor neprevăzute menţionate.
După modul în care este formulat criteriul de apreciere a funcţionării optime, pot fi
deosebite diferite raporturi în care se găsesc sistemele optimale şi adaptive.
Într-una din variante, blocul de reglare este proiectat astfel încât să asigure o valoare
extremă a unui criteriu de calitate – cu respectarea unor restricţii existente – pentru anumite
caracteristici ale instalaţiei tehnologice sau ale semnalelor exterioare, sistemul fiind deci un
sistem optimal; în plus, sunt prevăzute elemente suplimentare de adaptare care sesizează variaţia
caracteristicilor instalaţiei tehnologice, sau a caracteristicilor unor semnale aplicate din exterior,
şi determină modificări corespunzătoare ale caracteristicilor blocului de reglare, astfel ca
funcţionarea sistemului în ansamblu să asigure şi în aceste condiţii un extrem al criteriului de
calitate ales, cu respectarea simultană a restricţiilor impuse. În acest caz, sistemul automat este un
sistem optimal cu adaptare, pentru care în prezenta lucrare va fi folosit termenul sistem optimal
adaptiv.
Într-o a doua variantă, sunt introduse în calcul numai variaţiile arbitrare ale
caracteristicilor instalaţiei tehnologice sau ale semnalelor aplicate din exterior, fără să fie
considerate şi anumite restricţii impuse, limitările existente fiind de asemenea de natură încât
importanţa lor pentru funcţionarea sistemului este mult mai redusă decât influenţa variaţiilor
neprevăzute ale caracteristicilor. În aceste cazuri, în componenţa sistemului sunt prevăzute
elemente de adaptare, care determină asemenea modificări ale caracteristicilor blocului de reglare
încât funcţionarea optimă a sistemului este menţinută în condiţiile variaţiilor neprevăzute
menţionate, aceste variaţii ale caracteristicilor instalaţiei tehnologice sau ale semnalelor fiind
compensate de modificările caracteristicilor blocului de reglare; sistemele automate respective
vor fi denumite sisteme adaptive.
Funcţionarea optimă a sistemelor adaptive poate fi apreciată în unele cazuri prin obţinerea
unei valori extreme a unui criteriu ales, sistemele respective fiind denumite sisteme optimale;
aceste sisteme pot fi încadrate într-o singură clasa împreună cu sistemele optimale cu adaptare
menţionate anterior.
În alte cazuri, funcţionarea optimă a sistemelor adaptive este apreciată prin satisfacerea
unor condiţii a căror formulare matematică nu se exprimă explicit sub forma atingerii unui
extrem.
Într-o a treia variantă, instalaţia tehnologică este caracterizată în regim staţionar de
existenţa unei dependenţe neliniare între mărimile de ieşire şi de intrare ale instalaţiei, dependenţă
care prezintă un extrem ale cărui coordonate se modifică sub influenţa unor perturbări; pentru
instalaţiile tehnologice cu o singură mărime de intrare xm şi o singură mărime de ieşire xe,
modificarea coordonatelor extremului corespunde deplasării caracteristicii xe=f(xm) în planul xe,
xm. În asemenea cazuri, criteriul de optim pentru funcţionarea sistemului constă în menţinerea
mărimii de ieşire la valoarea extremă xe extr, în condiţiile variaţiilor neprevăzute ale coordonatelor
extremului şi deci ale valorii xe extr.
Asemenea sisteme, denumite sisteme extremale, sunt caracterizate prin acţiunea de
căutare a valorii extreme a mărimii de ieşire; în unele cazuri, mărimea de ieşire este o mărime
fizică măsurată prin intermediul unui traductor (de exemplu, temperatura dintr-o instalaţie de
ardere ), în alte cazuri această mărime nu este măsurată direct, ci este un indice care se obţine cu
ajutorul unui element de calcul (de exemplu, un randament, un preţ de cost etc.).
11

12
Unii autori includ sistemele extremale în categoria sistemelor adaptive, alţi autori
consideră că aceste sisteme formează o categorie separată. Sistemele adaptive şi extremale au o
proprietate comună şi anume modificarea arbitrară a caracteristicii instalaţiei tehnologice sub
acţiunea unor perturbări. În ipoteza definirii sistemelor adaptive în modul menţionat anterior,
sistemele extremale nu se pot încadra în categoria sistemelor adaptive, deoarece la sistemele
extremale deplasarea neprevăzută a caracteristicii neliniare a instalaţiei tehnologice nu este
compensată printr-o modificare a caracteristicilor blocului de reglare, ci determină numai
modificarea semnalelor emise de acest bloc.
Dacă pentru sistemele adaptive se admite o definiţie mai largă decât cea anterioară – în
sensul că prin sistem adaptiv se înţelege nu numai un sistem în care caracteristicile blocului de
reglare sunt modificate automat pentru a se asigura o funcţionare optimă în condiţiile unor variaţii
neprevăzute ale caracteristicilor instalaţiei tehnologice sau ale unor semnale externe, ci se
înţelege un sistem la care caracteristicile blocului de reglare sau semnalele emise de acesta se
modifică în scopul şi condiţiile menţionate – atunci sistemele extremale pot fi incluse în categoria
sistemelor adaptive.
În prezenta lucrare va fi adoptată definiţia mai largă a sistemelor adaptive, deci cu
includerea sistemelor extremale.
După cum se constată din prezentul paragraf, noţiunile de sistem optimal şi sistem adaptiv
sunt strâns legate între ele: sistemele optimale realizează o optimizare în condiţiile unei informaţii
apriorice complete, iar sistemele adaptive asigură o optimizare în condiţiile unei informaţii
apriorice incomplete, deci în cazul unui anumit grad de incertitudine existent iniţial.
Pentru compensarea faptului că informaţia apriorică este incompletă în sistemele adaptive
informaţia curentă este mai bogată decât în sistemele cu informaţie apriorică completă. Această
sporire a informaţiei curente se realizează prin operaţii de identificare a caracteristicilor instalaţiei
tehnologice sau ale semnalelor externe; în conformitate cu rezultatele operaţiilor de identificare,
sunt modificate caracteristicile blocului de reglare sau semnalele emise de acest bloc, deci este
modificat algoritmul de funcţionare al blocului de reglare.
Semnalele transmise în cadrul unui sistem adaptiv au astfel un caracter dual: ele pot avea
atât rol de comandă, cât şi rol de identificare.
Capitolul 2. Sisteme adaptive
2.1. Introducere
Sistemele adaptive reprezintă o nouă categorie de sisteme de conducere caracterizate
prin capacitatea de a compensa modificările structurale sau parametrice ale obiectului
condus prin modificări corespunzătoare ale structurii sau ale parametrilor algoritmului de
conducere. Este cunoscut faptul că structurile convenţionale de reglare/conducere sunt
performante în măsura în care informaţia iniţială despre procesul condus (inclusiv informaţii
asupra mărimilor exogene) este cât mai completă. Regulatoarele robuste sunt proiectate pe baza
unui model matematic precizat şi o clasă de incertitudini bine definită.
În condiţiile în care informaţia iniţială despre proces este redusă, modelul matematic ce
caracterizează procesul şi mărimile exogene este incomplet, neliniar şi variant în timp, apare în
mod natural cerinţa adoptării unor noi concepte de conducere a procesului, care să includă
funcţii suplimentare. Astfel, într-un sistem adaptiv, se regăsesc funcţiile:

- de completare a informaţiei despre proces şi mărimile exogene;
- de proiectare on-line a strategiei de conducere, având la bază un
model matematic sau informaţia cât mai completă despre proces;
- de elaborare a comenzii, în concordanţă cu cerinţele de
performanţă impuse.
Sistemele adaptive au avut o evoluţie spectaculoasă în ultimii 40 de ani, începând cu anii
1960, când s-a definit capacitatea unui regulator de a modifica parametrii de acord.
Primele regulatoare adaptive au fost concepute pentru aplicaţii în domeniul aviaţiei.
Rezultate semnificative în cercetarea sistemelor adaptive au fost obţinutei în deceniul al 7-lea.
Astfel. s-a fundamental teoria controlului dual, s-au dezvoltat proceduri recursive de
identificare şi estimare a parametrilor, s-au formulat principii recursive în controlul adaptiv.
Evoluţia sistemelor adaptive în ultimii 20 de ani este strâns legată de evoluţia structurilor cu
microprocesoare capabile să implementeze proceduri avansate de conducere, inclusiv proceduri
adaptive. Din punct de vedere conceptual, sistemele adaptive au cunoscut o dezvoltare
semnificativă în ultimii ani ai secolului al XX-lea. Astfel, au fost elaborate proceduri de
proiectare a sistemelor adaptive pe baza teoriei stabilităţii şi biperstabilităţii, au fost dezvoltate noi
metode de proiectare robustă a sistemelor şi noi proceduri robuste de estimare în timp real a
parametrilor, în ultimii ani, a fost finisată o largă clasă de proceduri de proiectare a sistemelor
adaptive, asigurând robusteţe soluţiilor şi o reală implementatalitate.
Au fost dezvoltate noi concepte de conducere adaptivă robustă multimodel şi au fost
propuse soluţii viabile pentru conducerea în timp real a unor procese complexe caracterizate prin
modele neliniare.
Cele mai multe sisteme adaptive de conducere pot fi grupate în două mari grupe:
- sisteme adaptive în circuit deschis (feedforward adaptive controllers);
- sisteme adaptive în circuit închis (feedback adaptive controllers).
Structura generală a unui sistem adaptiv cu adaptare în circuit deschis este prezentată
în figura 2.1.
Fig.2.1
Adaptarea structurii sau/şi a parametrilor regulatorului se realizează în funcţie de
mărimile exogene w (referinţe, perturbaţii) măsurabile. Pentru a realiza adaptarea în buclă
13

14
deschisă, se impune a fi cunoscută influenţa semnalelor externe măsurabile asupra comportării
procesului şi a buclei de reglare.
Din această categorie de sisteme adaptive fac parte structurile de conducere cu
„planificarea amplificării" (gain scheduling), aplicate în conducerea avioanelor. în cadrul
acestor structuri, factorul de amplificare al regulatorului se proiectează în avans pentru
semnalele măsurabile care descriu condiţiile de funcţionare cu aproximaţie şi semnalele
externe, care se modifică lent în comparaţie cu dinamica procesului.
Procedura poate fi extinsă şi pentru regulatoare cu mai mulţi parametri de acord.
Parametrii calculaţi pentru anumite condiţii de funcţionare sunt memoraţi sub forma de tabele
şi pot fi utilizaţi atunci când condiţiile de funcţionare sunt identice sau apropiate cu cele pentru
care au fost calculaţi prin proiectare.
Avantajul esenţial al acestor structuri de sisteme adaptive este reacţia rapidă la modificările
procesului, întrucât comportarea procesului este cunoscută înainte şi nu se identifică pe baza
măsurărilor efectuate asupra intrărilor şi ieşirilor din proces.
Ca dezavantaj ai acestor structuri se menţionează faptul că se neglijează semnalele
nemăsurabile şi numărul mare al parametrilor ce trebuie memoraţi pentru a acoperi cât mai
multe condiţii de funcţionare.
Cea de a doua categorie de sisteme adaptive (cea mai utilizată) are la bază principiul
reacţiei, iar legea de reglare adaptivă se determină pe baza informaţiilor ce definesc comportarea
procesului. Structura generală a unui astfel de sistem adaptiv este prezentată în figura 2.2.
Fig.2.2
Informaţia măsurabilă din proces este folosită pentru a construi un model
comportamental al procesului, iar pe baza acestuia se proiectează noua strategie de conducere.
în acest caz, regulatorul adaptiv îşi modifică on-line structura sau parametrii în funcţie de
modelul obţinut şi în concordanţă cu cerinţele de performanţă impuse prin funcţia obiectiv /.
Schema detaliată a unui sistem adaptiv în circuit închis este prezentată în figura 2.3.

Fig.2.3
Astfel, în afara reacţiei negative, care are rolul de a asigura satisfacerea
performanţelor pentru informaţii apriorice date despre proces, este inclusă o nouă buclă de
adaptare care, pe baza rezultatelor identificării procesului condus sau a întregului sistem, asigură
adaptarea comenzii la varianta sau necunoaşterea parametrilor sau/şi a structurii obiectului
condus. In acest caz, incertitudinile parametrice sau structurale sunt compensate prin proiectarea
on-line a legii de comandă pe baza informaţiilor obţinute prin identificare.
Mecanismul de adaptare în acest caz asigură identificarea procesului şi proiectarea on-line
a regulatorului (structură şi/sau parametrii algoritmului de reglare).
În practică, sunt multe procese pentru care modelele matematice ce caracterizează
funcţionarea lor sunt modele ce includ incertitudini parametrice şi/sau structurale (roboţi,
sisteme energetice, sisteme de navigaţie, procese metalurgice şi chimice, ş.a.).
În cadrul acestui capitol, sunt prezentate două mari categorii de sisteme adaptive:
sisteme adaptive cu model de referinţă (SAMR) şi sisteme adaptive cu identificarea
modelului procesului (SAIM). Aceste două tipuri de sisteme adaptive fac parte din categoria
sistemelor adaptive „NEDUALE" caracterizate prin faptul că regulatorul se proiectează prin
minimizarea unui criteriu de performanţă, luând în consideraţie numai valorile prezente şi
trecute ale semnalelor din bucla de reglare şi informaţia curentă despre proces, stare sau semnale
estimate.
Cele două categorii de sisteme adaptive fac parte din clasa sistemelor adaptive în circuit
închis, legea de comandă adaptivă se determină pe baza informaţiilor obţinute despre procesul
condus.
Strategia de proiectare a regulatoarelor adaptive neduale este asociată cu principiul
separării şi cu principiul echivalenţei certe (certainty equivalence principle).
Principiul separării presupune separarea funcţiilor de identificare şi de elaborare a
comenzii adaptive, iar principiul echivalenţei certe presupune că modelul identificat al procesului
este cunoscut fără incertitudini.
Structura generală a unui sistem adaptiv cu model de referinţă este prezentată în figura
2.4.
15

16
Modelul de referinţă caracterizează comportarea dorită a sistemului de reglare pentru o
clasă dată de intrări. Mecanismul de adaptare în acest caz forţează comportarea SRA spre o
comportare impusă, prin alegerea corespunzătoare a modelului de referinţă.
Mecanismul de adaptare asigură proiectarea algoritmului de reglare, asigurând minimizarea
unui criteriu de performanţă definit în funcţie de eroare e = y - yM, unde yM este ieşirea
modelului de referinţă.
Alegerea modelului de referinţă reprezintă o etapă a fazei de proiectare a sistemului
adaptiv, aceasta răspunzând, atât cerinţelor de performanţă impuse de comportarea ideală dorită
a întregului sistem, cât şi cerinţelor structurale impuse de particularităţile procesului.
Regulatorul este uzual parametrizat printr-un număr de parametri ajustabili πˆ , operând
astfel ca o familie de regulatoare destinată unei clase de procese.
Fig.2.4
Atunci când parametrii procesului sunt exact cunoscuţi, parametrii corespunzători ai
regulatorului fac posibil ca ieşirea procesului să fie identică cu ieşirea modelului de referinţă.
Când parametrii procesului nu sunt cunoscuţi, mecanismul de adaptare va ajusta
parametrii regulatorului, astfel ca urmărirea asimptotică să fie cât mai exact realizată. Dacă legea
de reglare este liniară în parametri ajustabili, spunem că regulatorul este liniar parametrizat. Cele
mai utilizate sisteme adaptive sunt proiectate având la bază o parametrizare liniară a regulatorului,
aceasta asigurând mecanismului de adaptare stabilitate şi convergenţa urmăririi.
Astfel, mecanismul de adaptare în cadrul sistemelor adaptive cu model de referinţă
asigură convergenţa la zero a erorii de urmărire, prin modificarea parametrilor sau structurii
regulatorului, cu asigurarea stabilităţii sistemului de reglare. Se poate uşor observa că SAMR
arc în componenţă două bucle: o buclă interioară, care este compusă din regulator şi proces şi o
buclă exterioară, care ajustează parametrii regulatorului în direcţia anulării erorii de urmărire.
Pentru a compara o structură de SRA cu regulator fix şi cu regulator adaptiv, considerăm
un proces de ordinul I şi un regulator proporţional cu două grade de libertate:
y& t = ap
+ ∆ y t + u t
(2.1)
() ( ) () ( )

() t −K
y()
t r()
t
u = p +
(2.2)
unde ∆ reprezintă incertitudinea asupra parametrului ap cu valori cuprinse între două limite ∆ m
şi ∆ M , ( [ m M ] ∆ ∆ ∈ ∆ , ).
Modelul de referinţă selectat pentru acest SRA este caracterizat prin:
y& m = −am
ym
+ r()
t cu am>0 (2.3)
Presupunând că ap este cunoscut, iar incertitudinea ∆ este precizată (∆ ∈ [- 20,10]), se
poate obţine KP care asigură robusteţea stabilităţii.
Astfel, din (2.1) şi (2.2) rezultă:
& t = a + ∆ − K y t + r t
(2.4)
() ( ) () ()
y p
p
iar condiţia de stabilitate a SRA rezultă:
a ∆ − K < 0
(2.5)
sau
p + p
Kp >ap +10.
Comportarea în regim staţionar a SRA se poate studia dacă se calculează eroarea
e = lim e t ).
e(t)=y(t)-ym(t) în regim staţionar ( ( )
Din (2.4) se obţine:
& t = −a
y t + a
st
t →∞
() () ( + ∆ − K + a ) y(
t)
+ r(
t)
y m
p
p m
sau prin aplicarea transformatei Laplace în condiţii iniţiale nule:
1
Y () s =
s + am
a p
R()
s +
+ ∆ − K p + am
Y () s
s + am
Dacă ţinem seama de (2.3) şi (2.4) obţinem eroarea de urmărire:
ap
+ ∆ − K p + am
E()
s = Y () s − Ym
() s =
⋅
s + a s − a
1
− ∆ + K
R()
s
m
În regim staţionar, dacă alegem la limită KP =aw +ap -10 şi considerăm am = l şi
1
R()
s = , se obţine:
s
∆ −10
est
= lime() t =
t →∞ 11−
∆
30
Valoarea maximă a erorii de urmărire se obţine pentru ∆m = -20 ( e st = − ), iar
31
valoarea minimă se obţine pentru A = 10 (est = 0).
Astfel, regulatorul fix (2.2) poate fi folosit pentru un domeniu cunoscut al incertitudinii
A şi nu asigură urmărirea asimptotică pentru referinţe diferite de zero.
Pentru ap cunoscut şi ∆ = 0 legea de comandă poate fi:
u t = −Kˆ
p t y t + r t
() () () ()
iar K ˆ
p = ap
+ am
, ceea ce asigură o ecuaţie a erorii sub forma:
e& () t = −ame()
t cu e( 0) = y(
0)
− ym(
0)
În cazul în care ap este necunoscut, legea de reglare nu poate fi implementată
deoarece K p
ˆ este necunoscut. în aceste condiţii, legea de reglare poate avea forma:
p
p
(2.6)
17

18
() t = −K
() t y()
t r()
t
u p +
unde Kp(t) reprezintă o estimarea a parametrului K p
ˆ .
Dacă introducem notaţia:
~
K = K t − Kˆ
p
p()
p
atunci ecuaţia erorii de urmărire devine:
~
& t = −a
e t + K y t cu t ≥ 0
(2.7)
() () ()
e m
p
Pentru e determina legea de variaţie a parametrului Kp(t) care asigură convergenţa
asimptotică la zero a erorii de urmărire, alegem pentru sistemul (2.7) funcţia Liapunov:
:
~ 2 ~ 2
e,
K = e t + K t
( ) () ()
V p
p
a cărei derivată în timp este
d
V& ~
~ ~ &
= V ( e,
K p ) = 2[
e()()
t e&
t + K p()
t K p()
t ]
dt
(2.8)
Deoarece Kp este constant şi ţinând seama de (2.7), ecuaţia (2.8) devine:
&
2
~ ~ ~ &
= −2a
e t + 2e
t y t K t + 2K
t K t
() () () () () ()
V m
p p p
Stabilitatea asimptotică a sistemului (2.7) se obţine pentruV < 0 & , ceea ce implică
alegerea legii de ajustare a factorului de proporţionalitate Kp sub forma:
& t = −e
t y t , t ≥
sau
K p
p
() () () 0
t
( t)
= −∫
e(
) y(
τ ) dτ
K ( 0)
K τ +
(2.9)
0
p
unde Kp(0) este o estimaţie iniţială a parametrului necunoscut Kp. O asemenea lege de
2
ajustare a parametrului Kp asigură V& = −2ame
( t)
< 0 , ceea ce asigură stabilitatea sistemului
pentru o clasă largă de incertitudini parametrice cu urmărirea asimptotică a modelului de
referinţă.
Sistemele adaptive cu model de referinţă sunt definite ca sisteme neliniare şi variante în
timp.
Pentru aplicaţii practice, adaptarea poate fi împărţită în trei etape:
• compararea comportării sistemului închis cu comportamentul
unui sistem impus prin modelul de referinţă;
• calculul parametrilor sau structura regulatorului pe baza legii de
adaptare;
• ajustarea regulatorului.
Diferenţele între diversele structuri de sisteme adaptive cu model de referinţă sunt
determinate de procedurile de proiectare a legii de adaptare.
Sistemele adaptive cu model de referinţă au capacitatea de adaptare rapidă la semnalele
de intrare definite, putând fi proiectate pe baza teoriei stabilităţii sistemelor neliniare.
Structura generală a unui sistem adaptiv cu identificarea modelului matematic al
procesului este prezentată în figura 2.5.
Sistemele adaptive cu identificarea modelului matematic (SAIM) sunt cunoscute şi sub
denumirea de sisteme adaptive cu autoacordare.

În cadrul structurilor SAIM identificăm cu uşurinţă o procedură de identificare a modelului
procesului şi o procedură de proiectare on-line a regulatorului.
Aceste sisteme sunt bazate pe principiul separării (echivalenţei certe) şi pe aproximarea că
parametrii estimaţi ai modelului sau variabilele de stare sunt identici cu parametrii reali sau
variabilele de stare reale ale procesului condus. Parametrii reali ai procesului sau variabilele reale
ale acestuia sunt înlocuiţi prin estimaţiile lor obţinute on-line.
Sistemele adaptive cu identificarea modelului pot fi divizate în două clase, în funcţie de
tipul modelelor matematice identificate: modele parametrice sau modele neparametrice.
Mecanismul de adaptare din figura 2.5 conţine o procedură de estimare recursivă a
parametrilor obiectului condus şi o procedură de proiectare a regulatorului pe baza
rezultatelor estimării.
Astfel, se evidenţiază în cadrul acestei structuri o buclă convenţională de reglare ce se
constituie într-un prim nivel de reglare şi o buclă de adaptare ce reprezintă cel de-al doilea
nivel ierarhic în conducerea procesului.
Parametrii obiectului condus, a cărui structură se presupune cunoscută, se estimează la
fiecare moment de timp şi sunt utilizaţi pentru proiectarea parametrilor regulatorului. Comanda se
calculează pe baza parametrilor determinaţi şi în funcţie de semnalele funcţionale măsurate yk şi
uk.
Dacă se notează prin θk ˆ vectorul parametrilor estimaţi la momentul k şi prinπˆ k , vectorul
parametrilor regulatorului, iar prin ϕ k vectorul de regresie ce conţine informaţia funcţională
curentă şi trecută, obţinută prin măsurarea variabilelor yk şi uk, un sistem adaptiv cu autoacordare
poate fi definit prin relaţiile:
19

20
ˆ
ˆ
θk θk
− 1 k −1
+ =
k
( ˆ )
k
( ˆ θ , ϕ y )
F ,
k
k
ˆ π = f θ
(2.10)
k
( ˆ π , )
u = g ϕ
k
k
unde funcţiile F, f şi g definesc proceduri de estimare a parametrilor, de proiectare a
algoritmului de reglare şi de elaborare a comenzii.
Estimarea parametrilor poate fi înţeleasă simplu, ca un proces de găsire a unui set de
parametri ce filtrează datele de intrare-ieşire disponibile din proces. Pentru procese liniare, există
multe tehnici disponibile pentru a estima parametrii necunoscuţi ai procesului.
Există, de asemenea, multe proceduri de proiectare a algoritmilor de reglare pe baza
modelului procesului (alocare de poli, PID, regulator liniar pătratic (LQR), minimă varianţă
∞
sau tehnici H de proiectare). Prin combinarea diferitelor proceduri de estimare şi de
proiectare a legilor de comandă se obţine o mare varietate de regulatoare cu autoacordare (selftuning).
Pentru modele liniare, regulatoarele sunt parametrizate liniar, iar comanda se generează
sub forma:
T
uk = ˆ π k ⋅ϕk
(2.11)
În cazul în care parametrii regulatorului se obţin prin calcul, pe baza parametrilor estimaţi
ai procesului, spunem că avem un sistem adaptiv indirect, deoarece translaţia se face de la
parametrii procesului la parametrii regulatorului. Dacă este posibil să se reparametrizeze procesul,
astfel încât modelul să conţină parametrii regulatorului, putem realiza un sistem adaptiv direct. În
acest caz, se estimează direct parametrii regulatorului, fără a parcurge faza de proiectare a
parametrilor algoritmului.
Funcţiile de transfer ataşate procesului condus şi regulatorului sunt parametrizate în θk ˆ şi
respectiv, πˆ k :
respectiv
bˆ
−1
−
z + bˆ
2
z + ... + bˆ
nz
( z ˆ 1 2
, ) =
−1
n
H P
−
1+
pˆ
1z
+ ... + pˆ
nz
H
−m
θ (2.12)
Parametrii estimaţi ai procesului definesc vectorul:
ˆ θ = bˆ bˆ
... bˆ
aˆ
aˆ
... aˆ
k
P
−1
−
q q z qn
z
( z ˆ
ˆ0
+ ˆ1
+ ... + ˆ
, θ
) =
−1
−n
[ ] T
1
2
1+
pˆ
z
m
1
2
n
iar parametrii regulatorului determinaţi în funcţie de θk ˆ formează vectorul πˆ k :
[ ] T
qˆ qˆ
... qˆ
pˆ
pˆ
... pˆ
ˆk = 0 1 n 1 2
1
+ ... + pˆ
n
z
m
(2.13)
π
n
la iteraţia k.
Relaţiile între parametrii θk ˆ şi πˆ k sunt definite prin procedura de proiectare, iar comanda
uk se generează la fiecare iteraţie în funcţie de rezultatele estimării parametrilor procesului
condus.

În cazul reglării adaptive directe, se determină direct parametrii πˆ k ai regulatorului
printr-o procedură de estimare, dacă se parametrizează procesul în funcţie de πˆ k . Astfel, se
poate include în (2.12) relaţia:
ˆ −1
θk = f ( ˆ π k )
(2.16)
dacă funcţia f este inversabilă, iar yk devine:
yˆ k = h(
ˆ π k , ϕk
)
Este de remarcat faptul că ambele scheme de reglare cu model de referinţă şi cu
autoacordare au în alcătuire două bucle de reacţie. Bucla interioară este o buclă convenţională de
reglare, ce cuprinde procesul şi regulatorul, iar bucla exterioară este o buclă de ajustare a
parametrilor sau structurii regulatorului având la bază informaţiile funcţionale ale procesului
(intrări, ieşiri). Metodele pentru proiectarea buclei interioare şi tehnicile de ajustare a parametrilor
sunt diferite pentru cele două scheme de adaptare.
În comparaţie cu SAMR, sistemele cu autoacordare (sistemele adaptive cu
identificarea modelului) sunt mai flexibile, datorită posibilităţilor multiple de cuplare a
diferitelor metode de estimare şi proiectare a regulatoarelor. Totuşi, stabilitatea şi convergenţa
sistemelor cu autoacordare sunt în general dificil a le garanta, adesea impunându-se ca semnalele
de excitaţie să fie suficient de puternice pentru a se obţine o estimaţie consistentă.
Parametrii procesului sau ai regulatorului în cadrul structurilor de sisteme adaptive SAMR şi
SAIM sunt estimaţi în timp real, iar estimaţiile sunt folosite pentru proiectarea regulatorului sau
generarea directă a comenzii, fără a lua în consideraţie incertitudinile estimaţiilor. In multe
scheme de estimare este posibil a obţine o măsură a calităţii estimaţiilor şi a folosi aceasta
pentru modificarea regulatorului.
Sistemele adaptive sunt inerent neliniare, comportarea lor fiind dificil de analizat.
Teoria sistemelor neliniare, teoria stabilităţii, identificarea sistemelor, estimarea recursivă a
parametrilor, controlul optimal şi stocastic contribuie Ia înţelegerea sistemelor adaptive.
Astfel, o abordare riguroasă a problematicii (analiza, sinteza) sistemelor adaptive
presupune o înţelegere profundă a disciplinelor mai sus menţionate.
Teoria sistemelor adaptive operează cu metode specifice analizei, cât şi cu metode
destinate proiectării sistemelor adaptive. Probleme cum sunt stabilitatea, robusteţea şi
convergenţa soluţiilor sistemelor adaptive, în strânsă conexiune cu problemele implementării
sistemelor adaptive, constituie în continuare teme de cercetare de reală actualitate.
2.2. Sisteme adaptive cu model de referinţă (SAMR)
2.2.1. Introducere
În figura 2.6 se prezintă structura standard a unui SAMR. Modelul de referinţă (MR)
defineşte comportarea dorită a SRA pentru o referinţă specificată. Parametrii sau structura
regulatorului se modifică în funcţie de eroarea dintre ieşirea y a SRA şi ieşirea yM a modelului
de referinţă. Se evidenţiază în această structură bucla de reglare clasică şi o buclă exterioară,
care are rolul de ajustare a parametrilor sau a structurii regulatorului.
Mecanismul de adaptare, prin ajustarea parametrilor regulatorului forţează comportarea
SRA spre o comportare impusă prin modelul de referinţă. O asemenea abordare sugerează
posibilitatea de a utiliza un regulator liniar pentru un model liniar al procesului şi un
mecanism de adaptare neliniar care asigură menţinerea performanţelor impuse SRA prin
21

22
intermediul modelului de referinţă. încât ieşirea măsurată a procesului condus pentru o referinţă
dată.
Parametrii π n ai regulatorului sunt ajustaţi direct prin minimizarea criteriului de
performanţă I = f () e ataşat mecanismului de adaptare.
Fig.2.6
Principalele metode de analiză şi sinteză a SAMR sunt:
- metoda gradientului;
- metoda bazată pe teoria stabilităţii în sens Liapunov;
- metoda bazată pe teoria pasivităţii.
2.2.2. Urmărirea modelului
Problema sintezei SAMR se reduce în esenţă la asigurarea erorii e = y - yM cât mai
mică posibil, forţând astfel SRA la comportarea impusă de modelul de referinţă. Se poate realiza
o urmărire perfectă a modelului de referinţă, asigurând o eroare cât mai aproape de zero pentru
toate semnalele de referinţă, eroare care depinde de model, de SRA şi de referinţă.
Minimizarea erorii presupune rezolvarea unei probleme de optimizare a
parametrilor regulatorului, astfel încât ieşirea să fie cât mai apropiată de ieşirea dorită a
modelului de referinţă. Performanţele dorite ale SRA sunt impuse prin alegerea modelului de
referinţă MR.
Pentru un model liniar discret de forma:
−1
B ⋅ q
yk = u −1
k
(2.17)
A⋅
q
se poate recomanda un regulator liniar descris prin modelul:
Ruk=Trk-Syk, (2.18)

unde R, S, T sunt polinoame în operatorul q -1 . Presupunem că polinoamele A şi B sunt
relativ prime, iar modelul (2.17) este propriu (în cazul continuu) sau cauzal (în cazul discret).
Admitem ca polinomul A este monic.
Pentru structura de SRA prezentată în figura 2.17 se cere a găsi un mecanism de adaptare
care să ajusteze parametrii regulatorului ( r i,
t j,
st
), astfel încât eroarea de urmărire a modelului:
−1
Bm
⋅ q
ym −1
Am
⋅ q
= r
(2.19)
k
sa fie minimă în prezenţa incertitudinilor ce caracterizează polinoamele A şi B.
Din (2.17) şi (2.18) rezultă ecuaţia:
B ⋅T
yk
= rk
(2.20)
A⋅
R + B ⋅ S
Fig. 2.7
Ţinând seama de (2.19), pentru a obţine răspunsul dorit al SRA cu regulatorul (2.18), AM
trebuie să dividă polinomul caracteristic, iar zerourile procesului (date de B = 0) vor fi incluse
ca zerouri ale sistemului închis, indiferent dacă pot fi compensate de polii sistemului închis.
Deoarece zerourile instabile sau foarte aproape de cercul unitar nu pot fi compensate,
polinomul B se factorizează sub forma
+ −
B = B B
(2.21)
unde B + conţine acei factori ce pot fi compensaţi, iar B - conţine factorii ce nu pot fi compensaţi.
Se presupune că B + este monic şi conţine zerourile stabile.
În aceste condiţii şi ţinând seama că gradul polinomului caracteristic
este mai mare decât gradul polinomului AmB + , se include printre divizorii acestuia şi polinomul
caracteristic ae al estimatorului de stare.
Astfel, polinomul caracteristic conţine trei tipuri de factori: zerourile stabile ale procesului
prin B + , polii modelului dorit daţi prin polinomul Am şi polii estimatorului daţi prin polinomul
ae.
În aceste condiţii:
AR =
reprezintă o ecuaţie diofantică.
Din această identitate, urmează că B + divide polinomul R, deci:
+
R = B R
(2.23)
1
şi ecuaţia (2.22) capătă forma:
e m A a S B
−1
1 + (2.22)
AR =
Din (2.20) şi(ll.19) rezultă că B -1 trebuie să dividă Bm:
B m = B Bm′
−
şi, în consecinţă:
e m A a S B
−1
1 + (2.24)
23

24
T = aeBm′
(2.25)
Condiţiile pentru existenţa soluţiei ecuaţiei diofantice ( 2 . 22) sunt date în
§8.3.
Legea de reglare cu două grade de libertate definită prin relaţia (2.18) cu
polinoamele R, S şi T date prin relaţiile (2.23), (2.24) şi (2.25) asigură urmărirea
perfectă a modelului de referinţă, dacă sunt îndeplinite condiţiile de compatibilitate
pentru obţinerea soluţiei ecuaţiei diofantice (11,22).
2.2.3. Metoda gradientului (Regula MIT)
Procedura de ajustare a parametrilor conform acestei metode este cunoscută şi sub
denumirea de regula MIT.
Problema ajustării parametrilor în acest caz se reduce la minimizarea unei funcţii
obiectiv I = f(e), unde e = y- ym .
Alegând un criteriu pătratic de forma:
1 2
I = e
(2.26)
2
rezultă:
I = F p p ,...., p
( 1,
2 N )
unde pi sunt parametrii regulatorului, cu
T
= [ p p ,..., p ]
π 1,
2 N .
Pentru minimizarea criteriului (2.26), se alege ca direcţie de căutare a minimului
gradientul negativ al funcţiei obiectiv
dπ
∂F
∂e
= −γ
= −γe
(2.27)
dt ∂π
∂π
Dacă admitem că parametrii se schimbă mult mai lent decât alte variabile din sistem,
∂e
atunci derivata poate fi evaluată sub aproximaţia că π este constant.
∂π
∂e
În relaţia (2.27), constanta pozitivă γ caracterizează viteza de adaptare iar
∂π
reprezintă sensibilitatea sistemului în raport cu parametrii regulatorului.
Exemplu:
Se consideră procesul caracterizat prin modelul & = −a
y b u .
y p + p
Presupunem că modelul de referinţă este tot de ordinul întâi:
y& m = −am
y&
m + bmr
O urmărire perfectă a modelului de referinţă se poate realiza cu un regulator de
tip P cu parametrii necunoscuţi t0 şi s0:
u() t = t0r()
t − s0
y()
t
a căror valoare se poate calcula cu relaţiile:
b a
m
m − a p
t 0 = şi s0
=
b b
p
p
De remarcat făptui că parametrii (ap, bp ) ai modelului procesului sunt necunoscuţi.

Pentru a deduce legea de ajustare a parametrilor t0 şi s0 folosind regula MIT, vom
∂ e ∂ e
calcula eroarea e şi funcţiile de sensibilitate şi . Dacă notăm cu H0 m()
s funcţia de
∂t
∂s
transfer ataşată modelului de referinţă şi prin ( s)
selectat, rezultă cu uşurinţă:
Y
p 0
() s = H () s R()
s =
R()
s
0
b
s + a
p
t
+ b
p
s
0
0
0
H 0 funcţia de transfer a SRA cu regulatorul
şi
bm
Ym
() s = R()
s
s + am
Funcţiile de sensibilitate se obţin cu uşurinţa dacă se defineşte eroarea şi se calculează
∂ e ∂ e
şi , unde:
∂t
∂s
0
0
⎡ bpt0
e = ⎢
⎢⎣
p + ap
+ bps0
b ⎤
m − ⎥r
p + am
⎥⎦
Astfel, funcţiile de sensibilitate au forma:
∂e
bp
=
∂t
p + a + b s
r
0
∂e
= −
∂s
0
p
b
p
0
( p + a + b s )
p
2
pt0
p
0
2
bp
=
p + a + b s
p
p
unde p reprezintă operatorul de derivare.
Aceste relaţii nu pot fi utilizate deoarece parametrii a şi b sunt necunoscuţi.
Pentru a obţine relaţii utilizabile pentru ajustarea parametrilor, observăm
am
− ap
că pentru valorile optime ale parametrilor regulatorului s0
= se asigură
b
identitatea:
p + a + b = p + a
p
p
m
0
y
Mai mult, parametrul bp poate fi absorbit în factorul de adaptare γ bp
. De remarcat că în
acest caz semnul parametrului bp trebuie cunoscut.
Cu aceste observaţii se obţin ecuaţiile de ajustare a parametrilor sub forma:
∂t0 ⎡ 1 ⎤
= −γ
⎢ r⎥e
∂t
⎣ p + am
⎦
∂s0 ⎡ 1 ⎤
= γ ⎢ y⎥e
∂t
⎣ p + am
⎦
În figura 2.8 se prezintă structura SAMR pentru exemplul considerat.
p
25

26
Fig.2.8
Referitor la utilizarea regulii MIT pentru ajustarea parametrilor regulatorului, pot fi făcute
următoarele remarci:
- nu este necesar a cere o urmărire perfectă a modelului;
- procedura poate fi aplicată atât sistemelor neliniare, cât şi
sistemelor parţial cunoscute;
- integrarea ecuaţiilor ce definesc sensibilităţile erorii în raport cu parametrii şi
efectuarea operaţiilor de multiplicare cu factorul y şi mărimile r şi y asigură obţinerea valorilor
parametrilor t0 şi s0;
- regula MIT asigură o bună adaptare pentru valori mici ale
factorului de adaptare y. Valori permisibile pentru y sunt influenţate de
amplitudinea referinţei şi de factorul de amplificare al procesului;
- alegerea necorespunzătoare a factorului de adaptare poate
genera instabilitatea sistemului închis.
Regula MIT poate fi extinsă şi la sistemele de ordin n cu regulatoare cu două grade de
libertate.
Regula MIT poate fi extinsă la optimizarea unor funcţii obiectiv mai generale decât forma
pătratică.
Regulatorul adaptiv se obţine, în acest caz, parcurgând etapele:
1. Se specifică un model şi o structură de reglare cu parametri
ajustabili şi performanţele sub forma unei funcţii obiectiv;
2. Se determină legea de ajustare a parametrilor prin calculul
gradientului funcţiei obiectiv, în raport cu parametrii regulatorului;
3. Se alege viteza de modificare a parametrilor în direcţia opusă

gradientului funcţiei obiectiv.
Utilizarea acestei proceduri presupune cunoaşterea parametrilor modelului procesului
pentru a calcula funcţiile de sensibilitate, impunându-se în cazul normal estimarea parametrilor
necunoscuţi ai modelului procesului.
În cazul în care modelele ataşate procesului şi modelului de referinţă sunt continue,
ecuaţiile de ajustare a parametrilor rt, st şi ti, conţin operatorul de derivare p în loc de
operatorul de deplasare q .
2.2.4. Proiectarea SAMR pe baza teoriei stabilităţii
Aşa cum s-a menţionat în § 2.1, sistemele adaptive sunt alcătuite din două bucle de
reglare: una interioară (convenţională) şi cealaltă exterioară, cu o dinamică mai lentă, care are
rolul de a ajusta parametrii regulatorului, astfel încât eroarea de urmărire să tindă la zero.
Asigurarea stabilităţii asimptotice a sistemului conduce în mod firesc la anularea erorii de
urmărire, întrucât sistemul adaptiv are ca ieşire tocmai eroarea de urmă-rire. În literatură
sunt prezentate proceduri de sinteză a SAMR, apelând, fie la teorema de stabilitate Liapunov,
fie la conceptul de hiperstabilitate. Pentru a ilustra ideea, vom considera în continuare un
exemplu.
Exemplu
Se consideră un proces de ordinul întâi, ai cărui parametri ap şi bp se presupun
cunoscuţi:
dy
= −a
p y + bpu
dt
şi un model de referinţă caracterizat prin ecuaţia:
dym
= −am
ym
+ bmr
cu a m > 0
dt
cu y m(
0) = ym0
şi r(t) un semnal extern limitat, ce caracterizează răspunsul dorital sistemului.
Se cere a determina legea de variaţie a parametrilor regulatorului, punând condiţia ca
SAMR să fie asimptotic stabil în sens Liapunov. Ecuaţia erorii se poate obţine pornind de la
relaţia de definiţie după înlocuirea comenzii u( t)
= t0r
− s0
y în ecuaţia ce descrie funcţionarea
obiectului condus:
de d
= ( y − ym
) = −ame
+ ( am
− ap
− bps0
) y + ( bpt0
− bm
)r
dt dt
De notat că eroarea tinde la zero dacă parametrii regulatorului se aleg în funcţie de ap
şi bp.
am
− ap
bm
s 0 = to
=
b b
m
p
Astfel, dacă parametrii ap şi bp sunt cunoscuţi, rezultă cu uşurinţă parame-trii
regulatorului care asigură anularea erorii e(t):
de
e& = = −ame
dt
Obiectivul proiectării este de a determina un mecanism de ajustare a parametrilor
regulatorului t0 şi s0, ţinând seama că ap şi bp sunt necunoscuţi.
Pentru acest scop, alegem o funcţie Liapunov de forma:
27

28
1 ⎡
⎤
2 1
2 1
2
V ( e.
t0,
s0
) = ⎢e
+ ( bps0
+ ap
− am
) + ( bpt0
− bm
) ⎥
2 ⎢⎣
bpγ
bpγ
⎥⎦ Această funcţie este zero când e este zero şi parametrii regulatorului egali cu valorile
optimale. Derivata funcţiei V este:
dV de 1
ds0
1 dt0
= e + ( bps0
+ ap
− am
) + ( bpt0
− bm
) =
dt dt γ
dt γ dt
⎛ ds0
⎞ 1 ⎛ dt0
⎞
( bps0
+ a p − am
) ⎜ − γ ⋅ ye
⎟ + ( bpt0
− bm
) ⎜ + γ ⋅ re
⎟
dt γ ⎝ dt ⎠
2 1
= −ame
+
γ
⎝ ⎠
Pentru ca SAMR să fie asimptotic stabil în sens Liapunov, se impune a alege
următoarele legi de ajustare a parametrilor t0 şi s0:
dt0
= −γ
⋅ re
dt
ds0
= −γ
⋅ ye
dt
dV 2
= −am
e < 0
dt
care evidenţiază că sistemul este asimptotic stabil în sens Liapunov, iar e va tinde către zero. De
remarcat faptul că, nu în mod necesar, parametrii t0 şi s0 converg către valorile lor de echilibru.
Din acest punct de vedere, legea de adaptare este similară cu regula MIT, însă funcţiile de
sensibilitate sunt înlocuite cu alte semnale. De observat că în cadrul acestei proceduri, pentru
a determina legea de adaptare, parametrii t0 şi sQ se consideră noile variabile de stare ale
sistemului.
Regula de ajustare a parametrilor t0 şi s0 obţinută prin aplicarea teoriei stabilităţii,
este similară cu legea de ajustare obţinută prin regula MIT.
În ambele cazuri, legea de ajustare poate fi scrisă sub forma:
dπ
= γϕe
dt
unde π este vectorul parametrilor regulatorului şi
sau
ϕ =
[ ] T
− r, y
[ ] T 1
ϕ = − r,
y
p + am
pentru regula MIT.
Vectorul ϕ poate fi interpretat ca valoarea negativă a gradientului funcţiei cost.
2.2.5. Procedura generală de sinteză a SAMR
Se consideră un proces tu mai multe intrări şi mai multe ieşiri şi o structură de regulator cu
parametrii necunoscuţi, astfel încât modelul de stare al sistemului închis are forma:
n2
x & () t = Ax()
t + Br()
t ; x0 ∈ R
(2.28)
y t =
Cx t
() ()

n1
m
p
unde x0 ∈ R , r ∈ R , y ∈ R , iar matricele A şi B de dimensiuni corespunzătoare au
elementele ajustabile prin ajustarea parametrilor regulatorului.
Modelul de referinţă este descris prin ecuaţia de stare:
n 2
& = A x + B r ; x ∈ R
(11 29)
xM M M M
M
0
y M = CM
xM
unde xM este starea ataşată MR, iar matricele AM, BM şi CM asigură comportarea dorită, impusă
pentru SRA. Se consideră că dimensiunea celor două sisteme este aceeaşi, vectorul eroare ( ε ) se
calculează ţinând seama de ecuaţiile (2.28) şi (2.29):
ε = xM − x
ε& = aMε + ( AM
− A)
x + ( BM
− B)r
Presupunem că toate elementele matricelor A şi B sunt ajustabile individual şi alegem o
funcţie Liapunov sub forma:
T
T −1 T −1
[ ( A − A)
F ( A − A)
] + tr ( B − B)
F ( B − B)
[ ]
V = ε Pε
+ tr M A M
M B M
(2.31)
−1
−1
unde P , FA
, FB
sunt matrice pozitiv definite, ce urmează a fi determinate din condiţia de
stabilitate în sens Liapunov.
Derivata funcţiei Liapunov se calculează cu relaţia:
V& T T
T −1
−1
= & ε Pε
+ ε P & ε − 2tr[
AM
− A]
FA
A&
− 2tr[
BM
− B]
B&
(2.32)
sau, dacă se ţine seama de (2.38), se obţine:
V&
T T T
T T
T
= ε A + x A − A + r B − B Pε
+
+ ε
T
[ M ( M ) ( M ) ]
P[
AM
ε + ( AM
− A)
x + ( BM
− B)
r]
−
[ A
T −1
− A]
F A&
− 2tr[
B
T −1
− B]
F B&
(2.33)
− 2tr
M A
M A
Dacă alegem P astfel încât să fie satisfăcută ecuaţia matricială
T
AM P + PAM
= −Q
(2.34)
unde Q este o matrice pozitiv definită:
V&
T
T T −1
= −ε
Qε
+ 2tr[
( AM
− A)
( Pεx
− F A&
A ) ] +
(2.35)
T T −1
+ 2tr[
( BM
− B)
( Pεx
− FB
B&
) ]
Dacă se alege matricea AM ca o matrice cu toate valorile proprii în semiplanul stâng
(matrice Hurwitz), atunci se poate alege o matrice Q, astfel încât să poată fi utilizată ecuaţia
(2.34).
În ecuaţia (2.35) primul termen este negativ definit pentru toţi ε () t ≠ 0 , iar al doilea şi
al treilea termen devin egali cu zero dacă alegem:
T
A& = FA[
Pε
] ⋅ x
T
B& = FB[
Pε
] ⋅ r
(2.36)
Cele două ecuaţii reprezintă legile de modificare a parametrilor ajustabili ai
regulatorului.
ε = Pε
t în ecuaţiile (2.36), după integrare, obţinem:
Dacă introducem funcţia ( )
a
29

30
A
B
t
1
( t ) = F ⋅ε
( t)
1
∫
t
A
x
dt
1
T
( t ) = F ⋅ε
( t)
r dt
1
0
∫
0
B
a
a
T
(2.37)
Un sistem asimptotic global stabil se obţine alegând matricele FA şi FB pozitiv definite.
Legea de adaptare s-a obţinut direct din funcţia Liapunov aleasă arbitrar. Aceasta arată
că legea de adaptare care a rezultat face parte dintr-o mulţime. De remarcat, de asemenea, că
matricele Q, FA şi FB se aleg arbitrar.
Procedura prezentată a presupus că starea sistemului este accesibilă măsurării.
Un rezultat similar se poate obţine apelând la conceptul de hiperstabilitatc a unui
sistem neliniar.
Sistemele adaptive cu model de referinţă au o largă aplicabilitate în domeniul roboticii,
industriei chimice, industriei energetice şi în domeniul aviaţiei.
Printre caracteristicile SAMR, remarcăm următoarele:
• Alegerea MR necesită o cunoaştere cât mai precisă a modelului
procesului, informaţia apriorică trebuie să fie cât mai bogată;
• Un SAMR forţează bucla de reglare la o comportare impusă de
MR, chiar dacă este posibilă o comportare mai bună;
• Pentru ajustarea parametrilor regulatorului, semnalul extern
măsurabil r ∈ℜ
trebuie modificat continuu pentru a excita valorile proprii
ale sistemului;
• Pentru cazul în care modelul procesului este liniar şi are o
structură cunoscută precis, SAMR pot fi proiectate, astfel încât să fie global
stabile;
• SAMR au multe elemente la alegere, impunându-se astfel
testarea în mediu simulat înainte de a fi implementat pe proces,
• Când parametrii procesului sunt constanţi, în prezenţa
zgomotelor, parametrii regulatorului nu trebuie modificaţi;
• SAMR se recomandă pentru sisteme cu modificarea continuă a
referinţei şi pentru procese supuse zgomotelor de amplitudini mici.
2.3. Sisteme adaptive cu identificarea modelului
(sisteme adaptive cu autoacordare - SAA)
Într-un sistem adaptiv se consideră că parametrii regulatorului sunt ajustaţi tot timpul.
Aceasta arată ca parametrii regulatorului urmăresc modificările parametrilor procesului.
Problemele de analiză a convergenţei şi stabilităţii acestor sisteme sunt dificile, ceea ce impune
a considera parametrii procesului constanţi, însă necunoscuţi.
Dacă parametrii procesului sunt cunoscuţi, procedura de proiectare specifică un set de
parametri doriţi ai regulatorului. Regulatorul adaptiv ar putea converge la valorile acestor
parametri, chiar dacă procesul este necunoscut.
Regulatorul care are această proprietate este denumit cu autoacordare (self-tuning)
deoarece în mod automat se acordează la cerinţele de performanţă cerute. Regulatorul cu
autoacordare (RAA) este bazat pe ideea separării funcţiei de estimare a parametrilor de
procedura de proiectare a regulatorului. Parametrii necunoscuţi sunt estimaţi on-line apelând la o

procedură de estimare recursivă. Parametrii estimaţi sunt trataţi ca şi când ar fi parametrii reali,
neluându-se în consideraţie incertitudinile parametrice.
Pentru proiectare pot fi folosite diferite metode: alocarea polilor, minimă varianţă,
urmărirea modelului etc. Metoda de proiectare este aleasă în concordanţă cu specificaţiile de
performanţă şi particularităţile modelului matematic ataşat obiectului condus.
Diferite combinaţii dintre metodele de estimare şi cele de proiectare conduc la
regulatoare cu diferite proprietăţi. În cazul în care cele două proceduri de estimare a
parametrilor şi de proiectare a regulatorului sunt separate, spunem că regulatorul realizează
o reglare adaptivă indirectă. Astfel, parametrii regulatorului se obţin indirect, pe baza
parametrilor estimaţi ai procesului. Dacă modelul procesului se reparametrizează direct, în
funcţie de parametrii regulatorului, este posibil astfel a determina direct parametrii
regulatorului printr-o procedură de estimare. Avem în acest caz un algoritm adaptiv
direct sau implicit.
Analiza proprietăţilor asimptotice ale unui regulator direct cu autoacordare a fost
realizată pentru prima dată în 1973 de Astrom şi Wittenmark.
2.3.1. Regulatoare cu autoacordare indirectă
Vom aproxima modelul procesului sub forma:
−1
−1
−1
A(
q ) yk
= B(
q ) uk
−d
+ C(
q ) vk
(2.38)
unde grad[A]= grad[C]= n, grad[B] = m, iar d este timpul mort al procesului, exprimat ca număr
întreg de perioade de discretizare. Pentru cazul deterministic (vk=0), se pot utiliza diverse
a , . Estimatorul celor mai mici pătrate cu factor
metode recursive de estimare a parametrilor ( )
de uitare exponenţial este descris prin:
ˆ θ = ˆ θ + γ ε
unde:
k
ε = y
y
k
P
k
k
k −1
k
− ϕ
k
k
ˆ θ
T
k −1
k −1
T
−
= Pk
−1ϕ
k −1[
λ + ϕk
−1Pk
−1ϕ
k −1]
T Pk
−1
( 1−
γ kϕk
−1)
λ
T
[ b 0,
b1,
b2,...,
bm,
a1,
a2,...,
an]
[ ,..., u − y − y ]
1
i bj
(2.39)
θ =
reprezintă vectorul parametrilor necunoscuţi, iar
T
k −1
= uk −d
k −d
−m
k −1
k −n
ϕ reprezintă vectorul de regresie ce conţine informaţia
funcţională măsurabilă.
−1
În cazul sistemelor stocastice cu C ( q ) ≠ 0 şi deci o secvenţă de semnale Gaussiene
independente, egal distribuite, care acţionează asupra procesului, se pot utiliza estimatoare
recursive specifice pentru determinarea inclusiv a parametrilor c i .
Aşa cum s-a arătat anterior, dacă semnalul de intrare în proces este suficient de puternic
şi structura modelului estimat este apropiată de realitate, estimaţiile vor converge la valori
reale dacă sistemul închis este stabil. Condiţiile de convergenţă pentru diferite metode de estimare
sunt de mare importanţă.
Pentru proiectare vom putea utiliza diverse metode. În cele ce urmează considerăm
metoda alocării polilor.
31

32
Regulatorul considerat are forma:
−1
−1
−1
R(
q ) uk
= T ( q ) rk
− S(
q ) yk
(2.40)
pentru un model al procesului:
−1
−1
A(
q ) yk
= B(
q ) uk
Dacă presupunem că sistemul închis are o comportare dorită, descrisă prin modelul:
−1
−1
A q y = B q r
m(
) k m(
) k
−1
în cazul în care se notează cu ( q )
ae polinomul caracteristic al estimatorului ataşat
regulatorului numeric (2.40), se pot determina polinoamele R, S ş i T prin rezolvarea
ecuaţiei diofantice:
AR + BS = aeAmB + (2.41)
întrucât, pentru realizarea răspunsului dorit pentru întregul sistem se cere a fi satisfăcută
identitatea:
BT Bm
=
(2.42)
AR + BS Am
Numitorul AR + BS este polinomul caracteristic al sistemului închis. Polinomul B este
+ −
+
factorizat ca B = B B unde B este un polinom monic ale cărui zerouri sunt stabile şi pot fi
−
astfel compensate de regulator, iar B este un polinom ale cărui zerouri sunt instabile (când
+
B = 1nu
există compensare de zerouri).
+
Deoarece B este compensat de regulator, acest polinom va trebui să se constituie
printre factorii divizori ai polinomului caracteristic al sistemului închis. Alţi factori ai
polinomului sunt αe şi Am.
Din (2.41) urmează că B + divide polinomul R şi astfel:
+
R = R1
B
(2.43)
iar (2.4 1) capătă forma:
e m A S B AR α =
−
1 + (2.44)
Soluţia ecuaţiei diofantice este obţinută similar cu rezolvarea unui set de ecuaţii liniare.
−
−
Această ecuaţie are o soluţie unică dacă A şi B sunt relativ prime. Din (2.42) rezultă că B
trebuie să dividă Bm şi deci
Bm
T = α e
(2.45)
−
B
• Cu aceste elemente pregătitoare, procedura de calcul pentru algoritmul de reglare cu
autoacordare, bazată pe metoda alocării polilor este următoarea:
Date: Specificaţiile de performanţă ale sistemului închis, formulate prin funcţia de
transfer Bm / Am şi cu polinomul dorit αe al observatorului de stare.
1. Estimează recursiv coeficienţii polinoamelor A, B şi C în (2.39), utilizând
metoda celor mai mici pătrate sau alte metode care permit inclusiv estimarea coeficienţilor ci ai
−1
polinomului ( q )
C .
2. Înlocuieşte A, B şi C cu estimaţiile obţinute la pasul 1 şi rezolvă ecuaţia
(2.44) pentru a obţine R1 şi S. Calculează R prin rezolvarea ecuaţiei (2.43) şi T prin
rezolvarea ecuaţiei:

Bm
T = e = eBm′
−
B
α α
3. Calculează comanda uk cu ajutorul relaţiei Ruk = Trk
− Syk
.
4. Repetă paşii 1, 2 şi 3 la fiecare perioadă de eşantionare.
Pentru implementarea acestui algoritm se impun următoarele condiţii de compatibilitate:
−
B divide B m
∂ A − ∂ B ≥ ∂ A − ∂ B
[ ] [ ] [ ] [ ]
m
m
+
[ α ] ≥ 2∂[ A]
− ∂[
A]
− ∂[
B ] −1
∂ e
Problemele ce pot apărea la implementarea acestui algoritm sunt:
- gradele polinoamelor A, B şi C sau, cel puţin, limitele lor superioare trebuie
cunoscute;
- factorii comuni ai polinoamelor estimate A şi B fac imposibilă
rezolvarea ecuaţiei diofantice;
- stabilitatea sistemului închis trebuie sa fie garantată;
- semnalele de excitaţie la intrarea procesului trebuie să fie persistente pentru a
asigura convergenţa parametrilor la valorile lor reale.
2.3.2. Regulatoare cu autoacordare directă
Proiectarea algoritmului de reglare în cazul reglării adaptive indirecte necesită un
volum de calcul mai mare, iar stabilitatea poate fi analizată cu dificultate. Dacă ecuaţia
diofantică (2.44) este multiplicată prin yk şi se foloseşte modelul procesului, obţinem:
−
−
αe
Am
yk
= R1Ayk
+ B Syk
= R1Buk
+ B Syk
+ R1Cvk
=
(2.46)
−
B ( Ruk
+ Syk
+ R1Cvk
)
De remarcat că (2.46) poate fi considerată ca un model al procesului parametrizat în
B - , R şi S. Estimarea acestor parametri permite de fapt obţinerea polinoamelor R şi S. De observat
că modelul obţinut prin reparametrizarea modelului procesului este neliniar în parametri.
O altă cale pentru a realiza parametrizarea este de a scrie modelul (2.46) sub forma:
α eAm
yk
= Ruk
+ Syk
+ R1Cvk
(2.47)
unde
−
−
R = B R şi S = B S
Polinomul R din ecuaţia (2.46) este monic, însă R din (2.47) nu este monic.
Polinoamele R şi S au un factor comun care conţine zerourile slab amortizate. Acest factor poate
fi compensat înainte de calculul legii de comandă.
• Algoritmul care stă la baza reglării cu autoacordare directă
presupune parcurgerea următoarelor etape:
ETAPE:
1. Estimează coeficienţii polinoamelor R şi S în (2.47);
2. Compensează, dacă este posibil, factorii comuni din R şi S pentru a obţine R şi S;
3. Calculează semnalul de comandă conform (2.40), unde R şi S sunt obţinute în etapa 2;
4. Repetă etapele 1, 2 şi 3 la fiecare perioadă de eşantionare.
Acest algoritm evită problema estimării neliniare, însă există mai mulţi parametri ce
trebuie estimaţi, deoarece parametrii polinomului B' sunt estimaţi de două ori.
33

34
Ideea de bază în cadrul sistemelor adaptive cu autoacordare este de a separa estimarea
parametrilor necunoscuţi ai procesului şi proiectarea regulatorului. Parametrii estimaţi sunt
aproximaţi a fi egali cu parametrii reali atunci când se proiectează regulatorul. Prin combinarea
diferitelor proceduri de estimare şi metode de proiectare se pot obţine diverse scheme de sisteme
adaptive cu autoacordare cu diferite proprietăţi.
Cel mai important aspect ce trebuie evidenţiat în cadrul SAA este parametrizarea. O
reparametrizare poate fi realizată folosind modelul procesului şi răspunsul dorit al buclei de
reglare. Scopul reparametrizării este de a asigura estimarea directă a parametrilor regulatorului,
care implică liniaritatea în parametri a noului model.
Pentru alegerea combinaţiei optime de metode de estimare a parametrilor şi proiectare a
regulatorului este important a cunoaşte condiţiile în care se asigură stabilitatea şi convergenţa
SAA. în acest context, stabilitatea arată că semnalele rămân limitate, iar convergenţa asigură
atingerea asimptotică a comportării dorite.
2.4. Reglarea adaptivă cu reacţie după stare
Se consideră un model de stare pentru un proces cu o intrare şi o ieşire sub forma:
x & t = Ax t + bu t
() () ()
n
unde x()
t ∈ℜ , u()
t ∈ℜ,
t ≥ 0
T
y()
t = c x()
t
∈ × n n
(2.48)
cu x(0)=x0, unde A ℜ , b ∈ℜ
sunt matrice cu parametri constanţi necunoscuţi.
Aproximăm că vectorul de stare x(t) este disponibil pentru măsurare.
Obiectivul proiectării legii de reglare este de a proiecta o lege de reglare u () t astfel încât
toate semnalele în buclă închisă să fie limitate, iar vectorul de stare x(t) să urmărească asimptotic
un vector de stare xm(t) generat de un model de referinţă:
x&
t = A x t + b r t , x
n
t ∈ℜ
, r t ∈ℜ,
t ≥
(2.49)
m
() () () ( ) ( ) 0
m
m
m
m
n n
cu x m(
0) = xm0
, iar matricele Am ∈ ℜ bm
∈ℜ
× , sunt cunoscute. Valorile proprii ale matricei Am
sunt situate în semiplanul stâng al planului complex. Referinţa r(t) este o funcţie limitată şi
continuă pe porţiuni pentru un sistem de referinţă stabil bine definit.
Pentru a atinge acest obiectiv al reglării admitem că sunt îndeplinite următoarele cerinţe:
1. există un vector constant
n
fˆ 1 ∈ℜ
şi o constantă ˆf 2 ∈ℜ
, astfel
încât sunt satisfăcute ecuaţiile:
T
A + bfˆ
1 = Am
, bfˆ
2 = bm
2. semnul constantei 2
ˆf , sign[ ˆf 2]
este cunoscut.
Prima cerinţă reprezintă aşa numita condiţie de potrivire (matching) cu care dacă
matricele A şi b ar fi cunoscute, legea de reglare
u()
t fˆ
T T
1 x()
t + fˆ
2 r()
t
ar putea conduce la sistemul închis de forma:
(2.50)
& t = Ax t ˆ T
+ b f x t + ˆ T
f r t = A x t + b r t , t ≥
[ ] ( ) ( ) 0
() () () ()
x 1 2
m m
∞
al cărui vector de stare x () t ∈ L (adică x(t) este limitat) şi eroarea de urmărire a stării
satisface ecuaţia:
n

e& () t = Ame()
t , e(
0)
x0
− xm0
În aceste condiţii, eroarea tinde exponenţial la zero ( e(
t)
t lim ), iar obiectivul reglării este
→∞
atins.
Dacă parametrii matricelor A şi b sunt necunoscuţi, legea de comandă u(t) poate
avea aceeaşi formă, însă () t f2 t reprezintă estimaţii ale valorilor rezultate din calcul
f1 şi ( )
pentru a asigura urmărirea stării xm ( t)
.
Astfel, legea de comandă
T T
u()
t = f1
x()
t + f2
r()
t
presupune ajustarea parametrilor f1 ( t)
şi f2 ( t)
, în aşa fel încât pentru o referinţă dată să se
asigure obiectivele reglării.
Introducând legea de comandă în ecuaţia (2.48) se obţine:
T T
x&
t = Ax t + b f x t + f r t
sau
x&
[ ]
[ ]
() () 1 () 2 ()
() t = A
T T
x()
t + b r()
t + b f x(
t)
+ f r(
t)
m m
1 2
⎡ 1 1 ⎤
x&
(2.51)
T
T
() t = Am
x()
t + bmr()
t + bm
⎢ f x()
t + f r()⎥
t
⎣ fˆ
1
2
fˆ
2
2 ⎦
~
unde ˆ ~
f1 = f1
− f1
şi f ˆ
2 = f2
− f2
Ecuaţia erorii de urmărire se determină din 2.49 şi 2.51:
⎡ 1 ~ T 1 ~ T ⎤
e&
() t = Ame()
t + bm
⎢ f1
x()
t + f2
r()⎥
t
⎣ fˆ
2 fˆ
2 ⎦
Întrucât f1 () t şi f2 () t sunt generate printr-o lege de adaptare, vectorul de stare ataşat
sistemului închis este format din e(t), f1 ( t)
şi f2 ( t)
.
Pentru acest sistem dinamic ce caracterizează evoluţia erorii alegem o funcţie pozitiv
definită:
~ ~ T 1 ~ T −1
~ 1 ~ T −1
V ( e,
f1,
f2
) = e Pe + f1
Γ f1
+ f2
γ
fˆ
fˆ
2
2
nxn
unde P ∈ℜ este o matrice constantă şi P = P T >0 care satisface ecuaţia matriceală:
T
PAm
+ Am
P = −Q
(2.52)
pentru orice matrice Q constantă, simetrică (Q = Q T } pozitiv definită.
nxn
T
Matricea Γ ∈ℜ
este o matrice constantă, simetrică, pozitiv definită ( Γ = Γ > 0 ),
iar y este o constantă pozitivă.
Derivata în timp a funcţiei V poate fi obţinută cu uşurinţă
d ~ ~
V & = V ( e,
f1,
f2
)
dt
dacă ţinem seama de ecuaţia erorii şi de ecuaţia matriceală (2.52):
35

36
V&
= −e
2
T
2 ~ T
+ f1
fˆ
T
T T
T
() t Qe()
t + e () t Pe f x()
t + e () t Pe f x()
t
~ &
2
fˆ
2
fˆ
−1
T −1
() t Γ f () t + f () t γ f () t
1
2
m
~
2
2
~
1
~ &
2
m
2
fˆ
2
~
1
+
(2.53)
Pentru ca sistemul să fie asimptotic stabil, se cere ca V < 0 & . Prin alegerea legii de
adaptare a parametrilor f1 () t şi f2() t sub forma:
f& () [ ˆ T
1 t − sign f2
] Γx()
t e () t Pbm,
t ≥ 0
& t − sign f
T
γr
t e t Pb , t ≥
() [ ] () () 0
f ˆ
2
2
m
cu f ( 0)
şi ( 0)
1
f2 estimaţii iniţiale arbitrare ale constantelor 1
Folosind ca lege de adaptare (2.54) se obţine:
V&
T
= −e
t Qe t <
ˆf , şi 2
ˆf .
() () 0
Legea de comandă după stare şi referinţă cu f1( t)
şi ( t)
f 2 ajustate în conformitate cu
(2.54), aplicată procesului descris prin (2.48), garantează că toate semnalele sunt limitate şi
2
eroarea de urmărire tinde asimptotic spre zero când timpul tinde spre infinit ( e() t ∈ L ) . Acest
rezultat s-a obţinut apelând la teoria stabilităţii prin alegerea funcţiei Liapunov V şi asigurării că
V < 0 & .
Pentru implementarea legii de reglare adaptivă după stare se impune estimarea stării.
T
Pentru modelul (2.48), presupunând că ( A, c ) este o pereche observabilă se poate estima starea
cu ajutorul ecuaţiei:
ˆ ˆ
ˆ , ˆ 0 ˆ0,
≥ =
− + + = t x x t x c t y L t bu t x A t x&
T
(2.55)
() () () () ( )
( ) ( ) 0
n
unde x(t) este estimarea stării x() t ∈ ℜ , iar L este un vector constant care poate fi determinat
printr-o procedură de alocare a polilor, dacă ţinem seama că ecuaţia erorii de estimare
e t = x t − xˆ
t , are forma:
() () ()
T
eˆ
() t = ( A − Lc ) e()
t t ≥ 0
T
Prin alegerea valorilor proprii ale matricei ( Lc )
(2.56)
A − se poate asigura viteza de
convergenţă la zero a erorii de estimare a stării.
Ecuaţia estimatorului poate fi pusă şi sub forma:
x&
T
ˆ() t = ( A − Lc ) xˆ
() t + bu(
t)
+ Ly(
t)
, t ≥ 0
sau
T
T
X () s = ( sI − A + Lc ) bU () s + ( sI − A + Lc ) LY ( s)
respectiv
()
() s
()
( s)
Xˆ
α1 α2
s = U s + Y () s
αe
() s αe
() s
(2.58)
unde:
T
α e()
s = det(
sI − A + Lc )
α () s şi α () s sunt polinoame în operatorul s.
1
În aceste relaţii s-a presupus că
2
( ) ˆ ( 0)
x
T
A−
Lc t
lim 0 e
t→∞
tinde exponenţial la zero.

Estimarea stării face posibiiă utilizarea legii de reglare sub forma:
T T
u()
t = fˆ
1 xˆ
() t + fˆ
2 r()
t
şi cu satisfacerea condiţiei:
ˆ T ˆ − ˆ T
f x t f x t =
[ () () ] 0
lim 1 1
t→∞
(2.59)
Comanda după stare, în aceste condiţii, poate fi parametrizată sub forma:
fˆ
T T
T
1 xˆ
() t = ˆ π 1 ϕ1()
t + ˆ π 2ϕ
2(
t)
(2.60)
unde:
n
- ˆ π 1 ∈ℜ ,
n ˆ π 2 ∈ℜ
reprezintă parametrii constanţi care ar putea fi calculaţi dacă
parametrii modelului (2.48) sunt cunoscuţi;
α1
- ()
() s
α2
()
( s)
ϕ1
s = ϕ2
s =
αe
() s
αe
() s
Pentru comanda adaptivă termenul f x(
t)
T ˆ
1 ˆ este parametrizat ca:
fˆ
T
xˆ
t
T
= ˆ π ϕ t
T
+ ˆ π ϕ t
() () ()
1
1
n
1 ∈ℜ , ˆ2
1
n
2
2
unde ˆ π π ∈ℜ
sunt estimaţiile parametrilor constanţi necunoscuţi
trebuie ajustaţi prin legea de adaptare.
2.5. Probleme ale implementării algoritmilor adaptivi
37
* *
π 1 şi π 2 , care
În paragrafele anterioare au fost dezvoltate aspectele teoretice ale reglării adaptive. La
implementarea practică a unui sistem adaptiv apar multe dificultăţi generate, atât de ipotezele în
care s-a dezvoltat teoria, cât şi de echipamentele pe care se implementează algoritmii. Astfel, pe
lângă algoritmul propriu zis, obţinut printr-o procedură de proiectare, se impune a considera
situaţii specifice pornirii, opririi, comutării regimurilor de funcţionare manual şi automat etc.
Multe dintre aceste aspecte practice au soluţii ad-hoc, care adesea depind de aplicaţia
considerată. Ele sunt frecvent verificate prin experimentare extensivă şi simulare deoarece
problemele sunt complexe şi nu se dispune de o teorie adecvată.
Unele probleme specifice sistemelor adaptive trebuie luate în considerare la
implementarea acestora şi anume:
• informaţia iniţială despre proces şi modul de utilizare a acesteia;
• selectarea cerinţelor de performanţă pentru sistemul de reglare şi
realizabilitatea acestora;
• robusteţea estimării parametrilor şi considerarea incertitudinilor
structurale prin neglijarea constantelor de timp mici şi foarte
mici;
• considerarea fenomenelor de comutare fără şocuri de la un regim
de funcţionare la ait regim de funcţionare;
• considerarea neliniarităţilor introduse de elementele de execuţie
şi de procesul condus.
Multe dintre aceste probleme nu sunt specifice numai reglării adaptive şi sunt
importante pentru implementarea regulatoarelor în general. Implementarea trebuie să includă
multe trăsături ce au fost probate cu bune rezultate în practică, însă tară a fi complet acoperite din
punct de vedere teoretic,

38
În cele ce urmează, sunt prezentate câteva elemente specifice implementării
regulatoarelor adaptive.
2.5.1. Implementarea estimatorului
Obţinerea unor modele bune presupune utilizarea unor date bune şi o structură adecvată a
modelului. Modelele utilizate sunt simplificate (liniare şi de ordin redus). Astfel, cel mai adesea,
dinamica de înaltă frecvenţă este nemodelată. Este cunoscut din teoria identificării sistemelor că
estimaţiile obţinute în prezenţa dinamicii nemodelate vor depinde crucial de proprietăţile
semnalului de intrare [5, 45]. Când se determină structura şi complexitatea regulatorului, se cer
cunoştinţe apriorice despre proces (complexitate, timp mort şi tipuri de semnale exogene).
Presupunem că procesul este descris prin modelul discret:
y k = Hc
( q)
uk
+ Hv
( q)
vk
+ dk
unde raţionalele Hc(q) şi Hv(q) depind de perioada de discretizare T, perturbaţia vk este
aproximată a fi zgomot alb de medie zero, iar dk este un semnal determinist de formă cunoscută,
însă de amplitudine necunoscută (dk poate fi sarcină, rampă sau un semnal sinusoidal). Pentru
cazul în care vom considera perturbaţiile dk generate prin impulsuri care se aplică unor sisteme
dinamice cunoscute, eliminarea acestora se poaîe realiza într-un spectru de frecvenţă bine
definit, prin includerea unor filtre cu atenuare ridicată la frecvenţe înalte.
O proprietate interesantă a sistemelor adaptive este că parametrii sunt estimaţi în buclă
închisă. Nemodelarea dinamicii de înaltă frecvenţă poate genera probleme dificile,
concretizate în estimaţii Ia valori nerezonabile. Filtrarea semnalelor înainte ca ele să fie
introduse în estimator este o posibilitate de a atenua efectele nemodelării dinamicii de înaltă
frecvenţă. Pentru a obţine o modelare robustă este necesar ca modelul să fie precis în jurul
frecvenţei de tăiere.
Pentru a estima un model redus cu această proprietate, este esenţial ca semnalul de
intrare să aibă suficientă energie în jurul frecvenţei de tăiere şi să fie un semnal de excitaţie
persistent. Gradul necesar de persistenţă al excitaţiei este legat de complexitatea modelului
estimat. Aceasta necesită ca cerinţele asupra semnalelor de intrare să devină mai severe când
ordinul este crescut.
Deoarece semnalul de intrare este generat prin reacţie, nu există garanţia că el va fi
persistent. Pentru a garanta un model bun, este astfel necesar a monitoriza excitaţia şi energia
semnalului de intrare în benzile de frecvenţă relevante.
Când excitaţia la intrarea procesului nu este persistentă sau când energia semnalului este
prea scăzută, parametrii estimaţi vor fi imprecişi. Pentru a elimina acest neajuns, fie se
injectează semnale perturbatoare, fie se deconectează bucla de adaptare când excitaţia este prea
săracă. O altă problemă ce trebuie avută în vedere Ia implementarea estimatorului este capacitatea
de urmărire a parametrilor. Pentru a realiza această funcţie, este necesar a uita datele vechi.
O cale pentru a rezolva această problemă este a utiliza uitarea exponenţială. Când factorul
de uitare λ = 1,
toate datele au aceeaşi pondere, însă cu λ < 1,
datele recente sunt ponderate mai
mult decât cele vechi. Este posibil a generaliza metode cu uitare exponenţială şi a folosi diferiţi
factori de uitare pentru diferiţi parametri. Această tehnică operează bine numai dacă procesul este
corespunzător excitat tot timpul.

2.5.2. Implementarea regulatorului
În toate aplicaţiile de reglări numerice este important a avea o filtrare corespunzătoare a
semnalelor înainte de a fi eşantionate. Fenomenul „aliasing" ce apare în procesul de
eşantionare impune utilizarea unor filtre „antialiasing", care constau din unul sau mai multe
filtre în cascadă de forma:
2
ω
H f () s = 2
2
s + 2ζωs + ω
Asemenea filtre vor asigura filtrarea ieşirii printr-o alegere corespunzătoare a
structurii şi a parametrilor ζ şi ω , asigurându-se în acelaşi timp obţinerea unor modele
matematice, în faza de estimare, valide într-un domeniu corect de frecvenţe.
Filtrarea naturală obţinută prin eşantionare ajută estimatorul a obţine modele mai bune.
Ieşirea convertorului numeric-analogic este un semnal constant pe porţiuni. Aceasta arată că
semnalul de comandă transmis la elementul de execuţie este compus dintr-o serie de trepte, unde
cea mai mică treaptă este dată de rezoluţia convertorului. Pentru unele sisteme, ca
servosistemele hidraulice pentru controlul zborului şi alte sisteme cu răspuns puternic
oscilant, treptele de comandă excită aceste moduri cu slabă amortizare. În asemenea cazuri este
avantajos a utiliza un filtru pentru netezirea semnalului generat de convertorul CNA. Asemenea
filtru este denumit filtru post-eşantionare.
Una dintre problemele căreia trebuie să i se acorde atenţie la implementarea
algoritmului este saturarea componentei integrale. Uneori integratorul poate genera valori mari ce
conduc la saturarea comenzii. Acest fenomen de saturare este denumit „reset windup", sau
„integrator windup". Pentru a se elimina acest fenomen nedorit, cu implicaţii asupra performanţelor
sistemului de reglare, se impun o serie de precauţii la implementare.
Dacă ne referim la algoritmul cu două grade de libertate (2.18), prin
−1
A q u se obţine:
adăugarea pe ambele părţi a termenului ( ) k
0
( A R)
uk
A0 uk
= Trk
− Syk
+ 0 −
Un regulator cu compensarea saturării („anti-reset windup") este dat prin:
A v Tr − Sy + A − R u
unde [ v ]
0 k = k k 0
u = sat
k
[ v ]
k
( ) k
sat k este funcţia saturaţie.
Acest regulator este echivalent cu ecuaţia (2.18) atât timp cât semnalul de comandă nu
se saturează. Polinomul A0 este stabil şi poate fi interpretat ca dinamica observerului regulatorului.
În figura 2.9 se prezintă o schemă bloc pentru ecuaţia (2.62). Pentru A 0 = 1
(corespunzător pentru observer dead-beat) algoritmul de reglare este:
uk = sat[
Trk
− Syk
+ ( 1 − R)
uk
]
Un aspect căruia se impune a i se acorda atenţie la implementarea algoritmilor adaptivi îl
constituie alegerea intervalului de discretizare. Viteza de eşantionare influenţează multe
proprietăţi ale sistemului, ca urmărirea referinţei, rejecţia perturbaţiilor şi a zgomotului de
măsură, precum şi sensibilitatea în raport cu modelarea imprecisă a procesului.
39

40
Fig.2.9
O regulă empirică de alegere a perioadei de discretizare T pentru metodele de proiectare
deterministe recomandă
ω T = 0,
1÷
0,
5
0
unde ω 0 este frecvenţa naturală a polilor dominanţi ai sistemului închis. Dacă polul dominant
este real, se poate recomanda T/To =0.1 ... 0.5, unde To este constanta de timp a polului
dominant. Aceste reguli implică un timp de răspuns la treapta de cel puţin (5-20) eşantioane.
În cadrul sistemelor adaptive, deoarece procedura de proiectare este on-line, este necesar a
acoperi toate posibilităţile şi regimurile de lucru oferite de un sistem de reglare automată.
Astfel, se impune a şti dacă modelul procesului este sau nu de fază minimă sau dacă
−1
−1
există divizori comuni ai polinoamelor A ( q ) şi B ( q ) . Combinaţia optimă a metodelor de
estimare şi proiectare a algoritmilor adaptivi va urmări asigurarea convergenţei, stabilităţii şi
robusteţii sistemelor adaptive în condiţiile definirii clasei de mărimi exogene şi a delimitării
nivelului incertitudinilor în construcţia modelelor. De remarcat faptul că sistemul adaptiv are o
structură ierarhică cu două bucle ce interacţionează şi operează la scale diferite de timp.
O condiţie necesară pentru stabilitatea sistemelor adaptive este ca sistemul închis să fie
stabil, în cazul în care parametrii de acord sunt fixaţi la valorile lor exacte. Pentru a satisface
această condiţie, trebuie luate în consideraţie problemele legate de compensarea polilor şi a
zerourilor, probleme ce au în vedere, atât structura procesului condus, cât şi a algoritmului de
reglare. Condiţia suficientă ca sistemul adaptiv sa fie stabil este ca toţi parametrii estimaţi, ceruţi
pentru proiectarea algoritmilor de reglare, să conveargă la valorile lor reale.
Prin convergenţă înţelegem că obiectivul reglării este atins asimptotic şi toate
variabilele sistemului rămân mărginite pentru o clasă de condiţii iniţiale. Analiza proprietăţii de
convergenţă a sistemelor este utilă nu doar pentru faptul că furnizează informaţii privind
stabilitatea sistemului, ci şi pentru faptul că uşurează distincţia dintre algoritmii de reglare
performanţi sau mai puţin performanţi, sugerând totodată modalităţi prin care performanţele
sistemelor adaptive pot fi îmbunătăţite.
Performanţele sistemului de reglare vor influenţa conţinutul frecvenţial al semnalelor de intrare
şi de ieşire ale procesului ce urmează a fi identificat, apărând unele situaţii conflictuale între
cele două bucle, bucla de reglare şi bucla de adaptare.

Este de remarcat faptul că cele două bucle de reglare şi adaptare inter-acţionează,
deşi operează cu perioade diferite de discretizare, cu două scale de timp diferite.
Utilizarea celor două scale de timp într-un sistem adaptiv presupune că parametrii
procesului variază lent. Aceasta arată că parametrii estimaţi la momentul anterior de
eşantionare sunt utilizaţi pentru calculul comenzii curente.
Pentru a iniţializa un algoritm cu autoacordare există mai multe căi, în funcţie
de informaţia apriorică disponibilă despre proces. În cazul că nu se cunoaşte nimic despre
proces, valorile iniţiale ale parametrilor în estimator pot fi alese egale cu zero, astfel ca
regulatorul iniţial să fie proporţional sau integral cu amplificare redusă.
Intrările şi ieşirile procesului ar putea fi scalate pentru a avea aceeaşi ampli-tudine,
astfel încât să se asigure condiţii numerice mai bune, atât pentru estimare, cât şi pentru partea
de reglare propriu-zisă. În faza iniţială, adăugarea unui semnal perturbator poate creşte viteza
de convergenţă a estimatorului. Situaţia este diferită dacă procesul a fost controlat înainte cu
un regulator convenţional sau unul adaptiv. În acest caz, valorile iniţiale se iau cele
corespunzătoare regulatorului utilizat înainte. Pornirea unui asemenea algoritm cu
autoacordare trebuie făcută cu precauţie, pentru a evita, atât transmiterea spre elementul de
execuţie a unor comenzi foarte mari, cât şi o funcţionare necorespunzătoare a estimatorului,
în cazul în care comenzile transmise procesului nu sunt persistente şi puternic excitante
pentru proces.
Implementarea algoritmilor adaptivi presupune includerea în algoritmi a unor
„reţele de siguranţă" (safety nets). Algoritmul de reglare trebuie să includă limitarea
comenzii şi desaturarea componentei integrale (anti reset windup).
Ţinând seama de dificultăţile şi multiplele precauţii la implementarea sistemelor
adaptive apare ca o necesitate organizarea acestor sisteme pe trei niveluri ierarhice, aşa cum se
arată în figura 2.10. Nivelul ierarhic superior are rolul de supervizare a funcţionării normale a
buclei de adaptare.
Printre funcţiile acestui nivel reţinem:
- alegerea optimă a perioadei de eşantionare;
- alegerea metodei de estimare a parametrilor modelului;
- estimarea timpului mort;
- alegerea metodei de proiectare;
- verificarea stabilităţii sistemului de reglare;
- conectarea sau deconectarea buclei de adaptare etc.
41

42
Fig.2.10
Completarea funcţiilor supervizorului cu funcţii specifice operatorului uman,
apelând inclusiv la tehnici euristice de decizie, asigură sistemului adaptiv un grad de autonomie
mai ridicat şi, în consecinţă, un nivel de inteligenţă corespunzător.
O funcţie ce apare tot mai frecvent în structurile adaptive de conducere o reprezintă
funcţia de identificare automată a defectelor şi reconfigurarea dinamică hardware şi software a
sistemului. Supervizorul în acest caz poate prelua această sarcină complexă de organizare a
întregului sistem de conducere cu evoluţie într-un mediu necunoscut apriori.
Astfel, se includ în sistem funcţii ce-i conferă toleranţă la defecte şi implicit autonomie
în funcţionare. Sistemele adaptive robuste cu ridicată autonomie reprezintă o primă generaţie
de sisteme inteligente de conducere. O structură avansată de sistem adaptiv este
reprezentată în figura 2.11, unde procesul este descris de modele diferite pentru diverse
regimuri de funcţionare, iar regulatoarele se selectează şi combină pentru asigurarea cerinţelor
de performanţă impuse prin intermediul supervizorului.

Fig. 2.11
În aceasta structură se prezintă doar o modalitate de configurare a sistemului adaptiv
prin selectarea celei mai potrivite strategii de conducere în funcţie de regimul de
funcţionare şi de cerinţele de performanţă. Diferitele modele M i ataşate regimurilor de
funcţionare ale procesului sunt selectate în vederea alegenii celui mai potrivit algoritm de
reglare Rk pentru asigurarea performanfelor dorite ale SRA. Supervizorul stabileşte strategia
de combinare a comenzilor furnizate de Rk pentru asigurarea funcţionării procesului la
performanţele impuse pentru întreaga gamă de variaţie a ieşirii yk si a intrarii uk.
Aplicaţii
2.1. Se considera procesul caracterizat prin modelul:
KP
H P()
s = 2
s + a1s
+ a0
cu KP > 0, y(t) şi y& () t disponibile pentru măsurare, unde a0, a, si KP sunt necunoscute.
Se cere:
a) o realizare de stare (A, b, c T );
b) o lege de reglare dupa stare, astfel încât eroarea de urmărire a stării unui model de
referinţă să tindă exponenţial la zero când timpul tinde către infinit;
legea de adaptare a parametrilor regulatorului pentru asigurarea
stabilităţii asimptotice.
2. 2. Se consideră procesul caracterizat prin modelul:
unde KP >0 şi α ∈[
−10,
10]
.
Se cere:
43

44
a. o structură de SRA, astfel încât răspunsul indicial să urmărească un răspuns impus;
b. legea de comandă care asigură urmărirea unui raspuns aperiodic cu o constantă de
timp egală cu 0.5sec.
c. legea de variaţie a parametrilor regulatorului care asigură
urmărirea asimptotică a ieşirii dorite furnizatp de un model de referinţă.
2.3. Se consideră un sistem mecanic format din două corpuri legate printr-o articulaţie
flexibilă şi amortizor descris prin:
J &
mθ&
s()
t + b &
mθ
s()
t = u()
t − uk
() t
& θ&
t + b & θ t = u t
() () ()
Js s s s k
unde θ m()
t , Jm
, bm
reprezintă poziţia unghiulară a motorului, inerţia şi coeficientul de frecare
vâscoasă, θ s () t , J s,
bs
sunt poziţia, inerţia şi coeficientul de frecare vâscoasă ale sarcinii, u( t)
este
comanda (tensiunea de alimentare a motorului), iar uk ( t)
este forţa din articulaţie datorată
flexibilităţii şi amortizării:
t = Kδ
t + b & δ t
() () ()
() = θ () t θ () t
uk k
δ t m − s
unde K > 0 este coeficientul de rigidizare iar bk este coeficientul de amortizare.
Se cere:
a. legea de comandă, în condiţiile în care parametrii modelului sunt cunoscuti;
b. legea de adaptare a comenzii, în cazul în care parametrii sunt variabili în timp, astfel
încât starea sistemului să urmărească o stare generată de un model de referinţă.
2.4. Se consideră modelul unui manipulator:
q q&
& + C q,
q&
q&
+ Φ q,
t = K
unde
u
( ) ( ) ( ) u
D u
nxn
K ∈ ℜ este o matrice constantă necunoscută pentru
n
u ∈ ℜ şi
Se cere:
a. o schemă de reglare adaptivă pentru Ku diagonală şi pozitiv definită;
b. o schema de reglare adaptiva pentru Ku diagonală şi nesingulară.
2.5. Se consideră procesul de ordinul I:
y& t = a p + ∆ y t + u t
() ( ) () ( )
unde ap este parametrul nominal al procesului şi ∆ reprezintă incertitudinea parametrică.
Dându-se un model de referinţă
y& () t = −am
ym()
t + r(
t)
, am
> 0
se cere:
a) legea de comandă pentru modelul nominal cu o structură fixă;
b) legea de comandă adaptivă în prezenţa incertitudinii
c) parametrice;
d) studiu comparativ pentru cele două situaţii cu evidenţierea
robusteţei celor două soluţii.

Capitolul 3 Sisteme cu structură variabilă
3.1. Utilitatea sistemelor cu structură variabilă
Se ştie că sistemele cu structură invariantă în timp, liniare sau neliniare, oferă portrete
dinamice bine determinate, care se pot modifica prin schimbarea unor parametri, dar nu în
evoluţia lor dinamică, ci în afara regimurilor normale de funcţionare. Portretele dinamice ale
sistemelor liniare nu oferă practic nici o posibilitate de combinare a două sau mai multor regimuri
sau procese dinamice în funcţie de condiţiile concrete de evoluţie şi de cerinţele generale impuse
sistemului într-un cadru mai larg.
Dacă luăm, de exemplu, numai componenta proporţională din algoritmul de conducere, ar
fi de dorit ca atât timp cât abaterea în circuit închis este mare, asigurând directivitatea necesară,
procesul să evolueze rapid, cu coeficient mare de proporţionalitate, chiar dacă în această fază se
fac unele concesii şi la stabilitate. Pe măsură însă ce abaterea s-a micşorat, este necesar un reglaj
mai fin, care să racordeze lin şi scurt procesul la regimul stabilizat cum se arată în fig. 3.1.
Evident că nici un sistem liniar obişnuit nu oferă o asemenea posibilitate. Performanţe de acest fel
se pot obţine în sistemele neliniare, în sistemele optimale, în sistemele cu structură variabilă şi în
alte tipuri de sisteme mai perfecţionate.
v
δ
1
Fig. 3.1.
Sistemele neliniare, cu neliniarităţi convenabil alese şi introduse în circuitul direct sau în
circuitele de reacţie permit să se obţină performanţe superioare prin: modificarea unor factori de
amplificare, amortizare etc., asigurarea unor regimuri specifice de funcţionare, cum sunt
comutările comandate la caracteristici de tip releu, regimurile oscilante cu frecvenţe mari inclusiv
regimurile alunecătoare etc. sistemele neliniare însă, pot ieşi adesea de sub controlul algoritmului
de conducere, datorită unor elemente specifice ale portretului de fază.
Sistemele optimale dau posibilitatea să se folosească cu maximum de eficienţă resursele
de care dispun structurile în circuit deschis sau închis. Dar rigiditatea structurilor optimale şi mai
ales dificultăţile constructive care însoţesc realizarea acestora, necesitatea unor mijloace de calcul
de o complexitate apreciabilă le fac adesea improprii pentru o funcţionare de lungă durată în timp
real şi neeconomice la intervenţii singulare.
Trecerea la o nouă clasă de sisteme dinamice, aceea a sistemelor cu structură variabilă,
permite să se obţină performanţe şi mai bune cu mijloace tehnice relativ simple. De exemplu, prin
combinarea a două sisteme liniare instabile, cu intervenţie succesivă în proces după algoritmi
2
t
45

46
corespunzători, se pot obţine o mulţime de sisteme noi, cu structură variabilă, stabile şi cu calităţi
dinamice dorite.
Reluând exemplul menţionat anterior, cele două structuri care se obţin prin variaţia în salt
a coeficientului de proporţionalitate formează un sistem cu structură variabilă (fig. 3.2).
Dispozitivul de comutare din acest sistem poate acţiona comutatorul K pe o poziţie sau alta în
funcţie de anumite condiţii de prag, cum ar fi ε

condiţii interne şi externe. În interiorul acestor domenii, sau când sunt îndeplinite condiţiile date,
sistemul evoluează ca un sistem continuu sau direct, liniar, cu structură invariantă.
Combinând într-un mod sau altul diverse structuri se pot obţine, în ansamblu, regimuri noi
de mişcare, care conduc la performanţe mult superioare celor realizate în sistemele cu structură
invariantă.
Posibilităţile de a obţine regimuri şi calităţi dinamice noi prin modificarea structurii se pot
ilustra foarte bine cu sisteme de ordinul al II-lea, la care portretul dinamic, inclusiv traiectoriile de
fază, se pot reprezenta geometric în plan.
3.2.1. Regimurile dinamice ale unui obiect liniar de ordinul II
Se consideră un obiect liniar cu coeficienţi constanţi, descris prin ecuaţii de stare sub
formă canonică minimală
x & 1 = x2
x& 2 = −a0
x1
− a1x
2 − bu
(3.1)
Mişcarea liberă a acestui obiect ( u = 0)
este de forma
λ 1t
λ2t
x t = C e + C e
( )
( t)
1 1
2
x2
λ1t
= C1λ
1e
λ2t
+ C2λ
2e
(3.2)
în care λ1 ,λ2 reprezintă rădăcinile ecuaţiei caracteristice, iar constantele C1 şi C2 depind de
condiţiile iniţiale x 1( t0
) şi x 2 ( t0
) .
Dacă se elimină timpul t din cele două relaţii (3.2), se obţin traiectoriile de fază în planul
fazelor ( 1 , 2 x1
) x x = & , reprezentând o familie de curbe al căror aspect depinde de natura şi valorile
rădăcinilor λ1 şi λ2 ale ecuaţiei caracteristice a sistemului (3.1)
⎡ ⎡ 0 1 ⎤⎤
2
det⎢λ I − ⎢ ⎥⎥
= λ + a1λ
+ a0
= 0
⎣ ⎣−
a0
− a1⎦⎦
47

48
Fig. 3.3
În fig. 3.3 s-au reprezentat toate tipurile de traiectorii de fază, corespunzătoare
următoarelor cazuri posibile:
a) 1 2 ,λ λ – reale, negative şi distincte:0> λ1 > λ2
b) 1 2 ,λ λ - reale, negative şi egale: 0> λ1= λ2
c) λ1 , λ2
= σ ± jω
- complex conjugate cu 0 < σ
d) λ1 , λ2
= σ ± jω
- imaginare: 0 = σ
e) 1 2 ,λ λ - complex conjugate cu 0 > σ
f) 1 2 ,λ λ - reale pozitive şi distincte: λ 1 > λ2
> 0
λ - reale, pozitive şi egale: λ = λ > 0
g) 1 2 ,λ
h) 1 2 ,λ
i) 1 2 ,λ
λ - reale, cu semne opuse şi module distincte: λ 0 , 0
λ - reale, cu semne opuse şi module egale: λ 0 , 0
1
2
1 >
1 >
2 < λ , λ 1 > λ2
2 < λ , λ 1 =
λ2

j) 1 2 ,λ
2 =
λ - reale, cu semne opuse şi module distincte: λ 0 , 0
1 >
2 < λ , λ 1 < λ2
În cazul rădăcinilor reale, pentru condiţii iniţiale de forma x ( t ) λ x ( t )
2
0
1
1
0
49
= se obţine
0 C (şi reciproc) şi traiectoriile de fază devin linii drepte suprapuse cu dreapta separatoare 1 D
descrisă de ecuaţia:
x2 − λ 1x1
= 0
(3.3)
iar dacă x2 ( t0
) = λ2
x1(
t0
) sau, echivalent, 1 0 = C , atunci traiectoriile se suprapun cu dreapta
separatoare D2 având ecuaţia:
x2 − λ 2 x1
= 0
(3.4)
Dreptele separatoare D 1 şi D2 s-au pus în evidenţă şi în portretele de fază din fig. 3.3 care
corespund rădăcinilor λ 1 şi λ 2 reale.
Dacă λ 1 şi λ2 sunt negative, sistemul este stabil şi mişcarea de-a lungul dreptelor D 1 şi
D 2 este o mişcare degenerată (de ordinul I), convergentă spre origine, iar dacă λ 1 şi λ 2 sunt
pozitive, mişcarea de-a lungul dreptelor D 1 şi D2 este o mişcare divergentă degenerată (de
ordinul I). Se observă că toate traiectoriile converg (în cazul stabilităţii) şi diverg (în cazul
instabilităţii) tangent la dreptele separatoare D 1 şi D 2 .
Se observă, de asemenea, că dacă rădăcinile λ 1 şi λ 2 sunt reale şi de semn real şi de
semn opus, mişcarea este convergentă spre origine pe separatoarea corespunzătoare lui λ < 0 şi
divergentă pe a doua separatoare. Sistemul este, desigur, instabil.
3.2.2. Regimul de comutare cu structură variabilă
Considerăm acum un sistem cu structură variabilă, compus din două structuri liniare de
ordinul II, la care comutarea se efectuează pe dreptele 1 0 = x şi 0 = s unde:
s = x2
− d1x1
Vom presupune că în domeniul 1 ∆ , determinat prin condiţia sx1 > 0, sistemul are o structură. S1,
iar în domeniul ∆ 2 , determinat prin condiţia 1 0 < sx , sistemul are o altă structură S2.
Putem lua, de exemplu, două structuri instabile, cum sunt acelea care au portretele de
fază din fig. 3.3, e pentru S1 şi fig. 3.3, h pentru S2.
Sistemul cu structura variabilă S astfel format va avea portretul de fază din fig. 3.4, în
care s-a presupus 0 > λ2 > d1. Pornind dintr-un punct iniţial (x10 , x20) din domeniul ∆1, sistemul va
evolua după o spirală, reprezentată în fig. 3.4 prin curbă întreruptă, până când punctul de fază (x1,
x2 ) va atinge dreapta s = 0. În acel moment, dispozitivul de comutare va transforma structura
sistemului din S1 în S2 şi aceasta va evolua după o curbă proprie (fig. 3.3, h) până când punctul
figurativ va atinge dreapta de comutare x1 = 0,

50
Fig. 3. 4.
are loc o nouă comutare pe S1 şi sistemul va evolua din nou după o spirală. Procesul de comutare
se repetă până când punctul figurativ atinge originea sau se stabilizează pe un ciclu limită.
Un astfel de regim de mişcare, în care structura se schimbă la intervale finite de timp,
sistemul evoluând succesiv pe fiecare structură, în intervale de timp finite şi diferite de zero, se
numeşte regim de comutare.
La sistemul cu structură variabilă realizat după modelul din fig. 3.4 se observă că, din
combinaţia a doua structuri instabile, se poate obţine un sistem rezultant asimptotic stabil. În
particular, dacă d1= λ2 , atunci dreapta de comutare este o traiectorie degenerată (singulară). În
momentul în care punctul de funcţionare atinge această dreaptă, regimul de comutare încetează,
evoluţia sistemului efectuându-se de-a lungul traiectoriei singulare până în origine. Orice
abatere de la această traiectorie reactualizează regimul de comutare până la un nou impact al
traiectoriei de fază cu dreapta D2.
O altă combinaţie de structuri liniare instabile care conduce la un regim de comutare
stabil se poate realiza din portretele de fază indicate în fig. 3.5, a si 3.5, b. Astfel, dacă se
utilizează axele de coordonate ca drepte de comutare,

Fig. 3.5.
Fig. 3.6.
iar domeniile ∆1 şi ∆2 se determină prin condiţiile x1x2 > 0 respectiv x1x2 < 0, se obţine un sistem
cu structură variabilă, care are portretul de fază din fig. 3.5, c [10.1].
Evident că se pot realiza nenumărate combinaţii de structuri liniare care să conducă la
apariţia unor regimuri de comutare. De exemplu, se poate prezenta un interesant sistem cu
structură variabilă, realizat prin combinarea unei structuri liniare de ordinul II cu una de ordinul I.
Sisteme cu structură variabilă se studiază de asemenea în lucrări care folosesc metoda
diferenţelor finite şi teoria distribuţiilor.
51

52
Se pot formula condiţii generale de apariţie a regimului de comutare. În cazul mişcării
libere acestea sunt:
1. Orice traiectorie de orice structură trebuie să intersecteze cel puţin o curbă de comutare.
2. Fiecare curbă de comutare trebuie să separe două structuri în aşa fel, încât toate traiectoriile
de fază din prima structură să întâlnească o curbă de comutare sub unghiuri nenule, apoi să
continue în a doua structură tot sub unghiuri nenule, îndepărtându-se de curba de comutare.
Dacă toate structurile liniare continue care formează un sistem cu structură variabilă
sunt stabile, atunci, indiferent cum se combină aceste structuri, toate regimurile de
comutare corespund unor sisteme stabile.
Când una sau mai multe din structuri corespund unor sisteme instabile, în funcţie de
modalitatea de combinare a acestora se pot obţine sisteme cu structură variabilă stabile sau
instabile.
3.2.3. Regimul de alunecare în sistemele cu structură variabilă
Să considerăm un sistem cu structură variabilă compus din aceleaşi structuri S1 şi S2 ca
în fig. 3.4, dar cu dreapta de comutare s = 0 aleasă în aşa fel încât 0 > d1 > λ2. În acest caz
portretul de fază are forma din fig. 3.6.
Se observă că prima condiţie de comutare este îndeplinită de ambele structuri S1 şi S2. A
doua condiţie de comutare nu se îndeplineşte încă decât pe dreapta x1 = 0, către care de o parte
traiectoriile sunt convergente, iar de cealaltă parte traiectoriile sunt divergente.
Pe dreapta de comutare s = 0, a doua condiţie de comutaţie nu se îndeplineşte:
traiectoriile converg şi de o parte şi de cealaltă către această dreaptă. Prin urmare, dacă punctul de
funcţionare ajunge pe această dreaptă, el n-o mai părăseşte, deoarece orice deviaţie de o parte sau
de alta va genera mişcări convergente către această dreaptă. Dar dreapta de comutare nu poate
aparţine nici unuia dintre domeniile ∆1 şi ∆2, deci se va observa o mişcare basculantă dintr-o
parte în alta a dreptei de comutaţie cu frecvenţa foarte mare şi amplitudine foarte mică.
Cum însă în medie mişcarea punctului figurativ urmăreşte dreapta s = 0, ţinând seama şi
de faptul că x2 este derivata lui x1, pentru această mişcare rezultă o ecuaţie diferenţială de ordinul
I
dx1
− d x = 0 , d 0
(3.5)
dt
1
1
1 <
Aşadar, mişcarea pe dreapta de comutaţie s = 0 corespunde {în medie) unui sistem
dinamic de ordinul I, cu o unitate mai mică decât ordinul fiecăreia din cele două structuri
adiacente.
În fig. 3.6 sunt indicate prin linie punctată două traiectorii, pornind din două puncte
iniţiale ( x 10 , x20
) şi ( x ′ 10 , x′
20 ) . Trecând prin domeniul ∆2, corespunzător structurii S2, aceste
traiectorii traversează dreapta x1 = 0, continuându-se în domeniul ∆1 (structura S1) până la
intersecţia cu dreapta s = 0, după care punctul figurativ nu mai părăseşte această dreaptă, ci
oscilează în jurul ei cu o frecvenţă foarte mare şi amplitudine foarte mică, deplasându-se spre
origine după ecuaţia (3.5).
Regimul de mişcare a punctului figurativ, în care se repetă trecerea de pe o a parte pe
alta a unei drepte sau curbe de comutare, cu frecvenţă infinit de mare şi amplitudine infinit de
mică, se numeşte regim de alunecare.

Evident, şi în acest caz se pot realiza nenumărate combinaţii de structuri liniare care să
conducă la apariţia regimului de alunecare.
Să vedem acum care sunt condiţiile necesare şi suficiente de apariţie a regimului de
alunecare şi de menţinere a sa în toate punctele unei curbe de comutare, sau, mai general când
structurile componente sunt de ordin oarecare, în toate punctele unei hipersuprafeţe de comutare.
Calitativ, această condiţie se poate formula astfel: pentru existenţa regimului de
alunecare în toate punctele unei hipersuprafeţe de comutare, este necesar şi suficient ca toate
traiectoriile structurilor adiacente să fie orientate spre hipersuprafaţa care le separă.
Pentru a exprima cantitativ această condiţie, să considerăm că se dă un şir de structuri
liniare în spaţiul n dimensional X n , descrise de ecuaţiile de stare
x& = Ak
x + Bku
, k = 1,
2...
(3.6)
unde Ak este matrice n x n, Bk - matrice n x m, iar x = col ( x 1 , x2...
xn
) şi u = col ( u 1,
u2...
um
) sunt
vectori de stare, respectiv de intrare. Fie, de asemenea hipersuprafeţele
si ( t)
= f i [ x1
( t)
, x2
( t)
,..., xn
( t)
] = 0 i = 1,
2,...
(3.7)
care separă domeniile de acţiune a ecuaţiilor (3.6) într-un mod determinat. Pentru existenţa
regimului de alunecare pe hipersuprafaţa si este necesar şi suficient ca în vecinătatea punctelor
s = 0 să fie satisfăcută relaţia
i
( t)
53
dsi
si
() t ⋅ < 0
(3.8)
dt
Într-adevăr, dacă si(t) < 0 atunci conform condiţiei (3.8) > 0 şi si () t va creşte
dt
dsi ( t)
până devine zero. Invers, dacă si{t) > 0, < 0 şi si ( t)
scade până la zero.
dt
Hipersuprafeţele (7), pe care se îndeplinesc condiţiile de alunecare în fiecare punct, se
numesc hipersuprafeţe de alunecare. Condiţiile de existenţă a regimurilor alunecătoare depind de
ecuaţiile iniţiale (3.6) din domeniile adiacente fiecărei suprafeţe de alunecare, dar traiectoria
mişcării de alunecare nu depinde de nici unul din parametrii celor două structuri. Existenţa
regimurilor alunecătoare depinde parţial şi de parametrii acestor regimuri.
Dacă în spaţiu X n se intersectează două hipersuprafeţe de alunecare si şi sj cu
dimensiunile n-1, atunci intersecţia acestora determină de asemenea o hipersuprafaţă de
alunecare cu dimensiunea n—2, descrisă de ecuaţiile
si = 0 şi sj = 0. (3.9)
Generalizând, mişcarea în regim de alunecare pe intersecţia a q ≤ n hipersuprafeţe de alunecare
se efectuează după o ecuaţie de ordinul n—q, deci apare o reducere cu q unităţi a ordinului
sistemului.
Condiţiile de existenţă a regimurilor alunecătoare (3.8) sunt inegalităţi şi de aceea pot fi
satisfăcute şi atunci când parametrii structurilor variază întâmplător între anumite limite. Din
acelaşi motiv, mişcarea stabilizată în regim de alunecare prezintă o insensibilitate finită la variaţia
parametrilor sistemului cu structură variabilă, ceea ce permite să se impună indicatori de calitate
doriţi pentru un asemenea sistem între limite determinate.
ds i

54
3.3. MIŞCAREA LIBERĂ ÎN SISTEMELE
CU STRUCTURĂ VARIABILĂ
Fie acum un obiect sau proces tehnologic liniar cu o singură intrare u(t) şi o singură
ieşire y(t), care trebuie stabilizată la o valoare constantă v impusă.
Pentru descrierea matematică a comportării acestui proces este indicată scrierea ecuaţiei
de stare în forma canonică minimală, la care prima componentă a vectorului de stare este chiar
abaterea mărimii de ieşire faţă de valoarea impusă
x1= v — y (3.10)
În această situaţie, ecuaţiile de stare au forma
x x i = 1, 2,...,
n −1
i = i+
1
x
n
n = −∑
i=1
a x − bu
i
i
(3.11)
în care parametrii a şi b sunt consideraţi constanţi în raport cu desfăşurarea unui proces
tranzitoriu, însă în timp îndelungat pot varia lent, deterministic sau aleator, între limite date
a ≤ a ≤ a i = 1,
2,...
n
i min i i max
bmin ≤ b ≤ bmax
(3.12)
Cum însă v=const., evoluţia sistemului de reglare în circuit închis dintr-o stare oarecare,
în care a fost deplasat de o perturbaţie, către starea de echilibru x i = 0 , i = 1,
2,...
n , se efectuează
numai prin mişcare liberă.
În funcţie de modul cum este alcătuit algoritmul de conducere, deosebim mai multe
posibilităţi.
3.3.1. Conducerea proporţională cu abaterea
Sistemul de reglare în circuit închis are schema bloc în fig. 3.7, în care algoritmul de
conducere are ceea mai simplă formă posibilă
1 x u = Ψ
(3.13)
unde ψ este factorul de amplificare. Performanţele obţinute cu un sistem la care amplificarea ψ
este constantă sunt reduse şi dependente de parametrii ai şi b.
Realizând sistemul în aşa fel, încât factorul de amplificare ψ să poată lua două valori
distincte α şi β în diferite domenii ale spaţiului stărilor, în circuit închis se obţin două structuri
liniare distincte. S-a arătat că prin combinarea acestor structuri poate să apară o mişcare de
alunecare independentă de parametrii celor două structuri.
Din motive de simplitate constructivă, se va alege hiperplanul x1 = 0 ca hipersuprafaţă
de comutare şi drept hipersuprafaţa de alunecare se va lua un alt hiperplan cu ecuaţia s = 0, unde
T
s = d x , d = col(
d1,
d 2 ,..., d n ) ; d n = 1
(3.14)
Aceste două hiperplane determină două domenii ∆1 şi ∆2 corespunzătoare celor două structuri
determinate de ψ = α şi ψ = β. Prin urmare, factorul de amplificare va fi
⎧α
pentru sx1
> 0
Ψ = ⎨
(3.15)
⎩β
pentru sx1
< 0

În plus, pentru ca hiperplanul s = 0 să devină hiperplan de alunecare, va trebui ca în
vecinătatea tuturor punctelor sale să avem satisfăcută condiţia
d S ( t)
s()
t < 0
(3.16)
dt
ds
Dacă acum se calculează derivata din formula (3.14) şi se ţine seama de ecuaţiile (3.11) si
dt
relaţia (3.13) rezultă
∑( ) ( ) ( )
− n 1 ds
= − ai
− d i−
2 xi
− a1
− bΨ
x1
− an
+ d n−1
xn
(3.17)
dt i=
2
Deoarece condiţia de existenţă a regimului de alunecare trebuie îndeplinită în punctele
hiperplanului s = 0, adică pentru
x
n
Fig. 3.7.
= −
n
∑
i=
1
d
i
x
i
, (3.18)
atunci ecuaţia (3.17) devine
n ds
= ∑ ( − ai
+ d i−1
+ d ia
n − di
d n−1
) xi
+ ( − a1
+ d1a
n − d1d
n−1
− bΨ)
x1
(3.19)
dt i=
2
ds
Impunem acum condiţiile ca pentru structura în care s > 0, mărimea să fie nepozitivă, iar
dt
ds
pentru structura în care s < 0 mărimea să fie nenegativă. Din ecuaţia (3.19) se vede că pentru
dt
aceasta este suficient să fie îndeplinite relaţiile:
a + d + d a − d d = 0 i = 2,..., n −1,
− i i−1
i n i n−1
a1 + d1a
− d1d
n 1 − bΨ
1
− a1 + d1a
− d1d
n−1
− bΨ
x1
( − − ) x ≤ 0
( ) ≥ 0
n pentru s > 0
(3.20)
n pentru s < 0
Ţinând cont de valorile (3.15), aceste relaţii se scriu sub forma
− a1
+ d1a
n − d1d
n−1
⎫
α ≥
b
⎪
− a + d a − d d
⎬
(3.21)
1 1 n 1 n−1
β ≤
⎪
b ⎭
di
−1
− ai
= d n−1
− an
d i
i = 2,..., n −1
; d n = 1
(3.22)
care constituie condiţiile necesare şi suficiente de existenţă a regimului de alunecare pe tot
hiperplanul s = 0.
55

56
În se demonstrează că nerespectarea cel puţin a uneia din relaţiile (3.21), (3.22) conduce
la apariţia unor puncte ale hiperplanului s = 0, în care condiţia (3.16) nu este satisfăcută,
adică relaţiile (3.21), (3.22) sunt şi condiţii necesare.
Deoarece relaţiile (3.21) sunt de tipul inegalităţilor, existenţa regimului de alunecare
poate fi asigurată chiar dacă a1 şi b variază între limite finite, astfel încât să avem
− a1
+ d1a
n − d1d
n−1
α ≥ max
{ a1
, b}
b
(3.23)
− a1
+ d1a
n − d1d
n−1
β ≤ min
{ a1
, b}
b
Se observă că una din componentele vectorului d rămâne arbitrară în relaţiile (3.22) şi
deci nu influenţează condiţiile de existenţă a regimului alunecător.
Ecuaţia diferenţială care descrie mişcarea sistemului în regim de alunecare, determinată
de ecuaţia hiperplanului de alunecare s = 0, are forma
( n−1)
( n−2
)
x1
+ d −1x1
+ ... + d 2x&
n
1 + d1x1
= 0
(3.24)
Pentru proiectarea unui astfel de sistem se calculează parametrii dn_2, dn_3, ..., d1 cu
ajutorul relaţiilor (3.22) în funcţie de coeficientul dn-1 apoi, utilizând tehnicile de proiectare de la
sistemele continue, se determină şi parametrul dn-1 în aşa fel, încât ecuaţia (3.24) să permită
satisfacerea anumitor performanţe dorite. Cu ajutorul relaţiilor (3.23) se calculează cele două
valori ale factorului de amplificare.
Fig. 3.8
Schema bloc a unui astfel de sistem cu structură variabilă este indicată în fig. 3.8. După
cum se vede şi din această schemă, la sistemele cu structură variabilă, care din punctul de vedere
al variaţiei parametrilor sunt sisteme adaptive, se disting două circuite de reacţie, unul pentru
formarea abaterii x1 şi altul pentru generarea şi utilizarea semnalului de comutare.
Legea de conducere (3.15) se mai poate exprima şi sub forma
α + β α − β
u = Ψx1
= x1
+ x1
sign s (3.25)
2 2

În particular, dacă α = −β
, cu condiţia satisfacerii relaţiilor (3.23) , algoritmul de conducere
devine
α − β
u = x1
sign()
s = α x1
sign()
s
(3.26)
2
În aceste condiţii, dispunând de un element de înmulţire, I, un element de tip modul M şi
un element de timp releu R, schema acestui sistem se poate realiza după modelul din fig. 3.9.
Componentele vectorului de stare, utilizate în acest model pentru calculul mărimii s, se culeg sau
reconstituie din procesul automatizat ori se formează cu ajutorul unor blocuri de derivare din
abaterea x1.
3.3.2. Conducerea proporţionala cu abaterea şi derivatele ei
Considerăm, acelaşi proces (3.11), la care acum algoritmul de conducere se formează
proporţional din abaterea x1 şi derivatele sale până la ordinul k-1. Astfel comanda u va fi
u =
k
∑
i=
1
unde
⎧α
i pentru
Ψi
= ⎨
⎩β
i pentru
iar hipersuprafaţa de alunecare se ia tot de forma
s =
n
∑
i=
1
Fig.3.9
Ψ
d i xi
i xi
xi
s > 0
x s < 0
i
57
(3.27)
(3.28)
, d = 1
(3.29)
În aceste relaţii α i , β i şi d i sunt constante.
Vom presupune că fiecare componentă Ψ i a factorului de amplificare comută pe
hiperplanul corespunzător xi = 0 în spaţiul ( x x ,..., x ).
n
1, 2 n

58
Pentru ca hiperplanul s = 0 din spaţiul xn să fie un hiperplan de alunecare este necesar şi
suficient să se îndeplinească inegalitatea (3.16). Efectuând aceleaşi calcule ca şi în cazul
precedent, cu ∑ − n 1
x n = − d i xi
i=
1
ds
, mărimea se scrie sub forma
dt
k ds
∑( − ai
dt i=
1
+ di
−1
+ di
an
− d id
n−1
− bΨi
) xi
n−1
+ ∑(
− ai
i=
k + 1
− d i−1
+ d ia
n − di
d n−1
) xi
, d 0 = 0 (3.30)
Din formula (3.30) se obţin condiţiile necesare şi suficiente de existentă a regimului de alunecare
pe s = 0 sub forma:
− ai
+ d i−1
+ d ia
n − di
d n−1
⎫
α i ≥
b
⎪
− a + d + −
⎬
i i−1
di
an
d id
n−1
β ≤
⎪
i
b ⎭
i = 1,
2,...,
k
(3.31)
di
−1
− ai
= d n−1
− an
, i = k + 1,..., n −1
, d n
d
= 1
(3.32)
[ a ]
i
Daca parametrii b, ai i=1,2,...,k variază între limitele [ ]
b respectiv
min ,bmax
a i min , i max , suficient de lent pentru ca pe durata unui regim tranzitoriu să poată fi consideraţi
constanţi, atunci condiţiile (3.31) au forma
− ai
+ d i−1
+ di
an
− d id
n−1
⎫
α i ≥ max
{ }
b
⎪
b,
a1
,..., ak
i 1,
2,...,
k
ai
di
1 d ia
n di
d
⎬ =
(3.33)
− + − + − n−1
β i ≤ min
⎪
{ b,
a1
,..., ak
}
b
⎪⎭
Se observă că existenţa regimului de alunecare nu depinde de k componente ale
vectorului d care pot fi arbitrare în relaţiile (3.32). Prin urmare k coeficienţii ai ecuaţiei
diferenţiale (3.24), care şi în acest caz descrie mişcarea de alunecare, nu influenţează asupra
condiţiilor de existenţă a mişcării de alunecare.
Pentru proiectare se procedează ca şi în cazul precedent. Cu ajutorul relaţiilor (3.32) se
calculează valorile componentelor dk, dk+1 ... dn-2 în funcţie de dn-1. Apoi, folosind tehnicile de
proiectare de la sistemele continue se determină componentele d1, d2...dk-1 şi dn-1, astfel încât
ecuaţia (3.24) să permită obţinerea unor performanţe dorite. După aceea, cu ajutorul relaţiilor
(3.33) se determină valorile factorilor de amplificare α i , β i , i = 1,
2,...
k .
Schema bloc a unui astfel de sistem este asemănătoare cu aceea indicată în figurile 3.8 şi
3.9, cu deosebirea că apare câte un bloc de comutare pentru fiecare factor de amplificare Ψ i .
Când k=n-1, condiţiile de existenţă a regimului de alunecare se impun numai prin inegalităţile
(3.33), nemaiexistând nici o condiţie de tipul egalităţilor.
În această situaţie, se poate asigura regimul de alunecare chiar dacă toţi parametrii
procesului variază lent între anumite limite. în plus, ecuaţia hiperplanului de alunecare este în
întregime arbitrară, putând fi aleasă fără nici o restricţie astfel încât să corespundă satisfacerii
anumitor performanţe dorite.
Dacă o perturbaţie deplasează sistemul din starea de echilibru () i
x 1 = 0 , i = 0, 1,...,
n −1,
într-o stare oarecare, el revine în această stare întâi printr-un regim de comutare la 1 0 = x până
întâlneşte hiperplanul s = 0 , după care va intra în regim de alunecare de-a lungul acestui
hiperplan până va atinge din nou starea de echilibru j ≡ v .

3.3.3. Conducerea proceselor integro-diferenţiatoare
Până acum s-a considerat ca ecuaţia diferenţială care descrie comportarea obiectului nu
conţine derivate în raport cu intrarea u. În această situaţie variaţiile în treaptă ale factorului de
amplificare Ψ nu generează discontinuităţi la nici una din componentele vectorului x.
Dacă însă ecuaţia diferenţială a procesului conţine derivate ale intrării u până la ordinul
m-1, atunci ea conduce la o ecuaţie de stare canonică de forma
x& x i = 1, 2,...,
n −1
i = i+
1
n
m−1
i
∑aixi−∑( bi+
1 + p )
x&
= −
u
(3.34)
n
i=
1
i=
0
d
unde p = este operatorul de derivare în raport cu timpul.
dt
Din cele analizate mai sus, s-a văzut că pentru apariţia regimului de alunecare trebuie ca
dxn să sufere în momentele de comutare cel mult variaţii treaptă. Aceasta impune ca u{t) să fie o
dt
funcţie continuă şi derivabilă de (m-2) ori, iar derivata sa de ordinul (m-1) să sufere cel mult
variaţii treaptă.
Nerespectarea acestor condiţii conduce la apariţia unor traiectorii discontinue în spaţiul
fazelor şi la imposibilitatea obţinerii unor regimuri acceptabile din punct de vedere tehnic.
În continuare este studiată comportarea unui sistem cu structură variabilă pentru conducerea unui
obiect de ordinul II, a cărui ecuaţie diferenţială conţine o derivată la intrarea procesului; se arată
că în regim de alunecare punctul de funcţionare suferă variaţii în jurul dreptei de alunecare, cu
frecvenţa, teoretic, infinit de mare şi amplitudine finită, diferită de zero.
Pentru a evita aceste neajunsuri, adică pentru a realiza o intrare u() t continuă şi
derivabilă până la ordinul (m-2), între dispozitivul de conducere şi proces se interpune un filtru
(m-l) - dimensional, alcătuit din m-1 elemente inerţiale cu ieşirile z1, z2... zm-1 , descrise de
ecuaţiile
1
zi = ( zi−1
− zi
) i = 1, 2,...,
m −1
(3.35)
Ti
în care Ti sunt constante de timp, z 0 = w — mărimea de intrare în filtru, iar, zm-1 = u mărimea de
ieşire din filtru.
În aceste condiţii, se pot aplica toate relaţiile din secţiunile 3.1 şi 3.2 însă, considerând
obiectul cu intrarea w şi ieşirea y, de ordinul n+m-l.
59

60
3.4. Mişcarea forţată în sistemele cu structură variabilă
Majoritatea sistemelor de reglare se realizează pentru conducerea unor obiecte supuse
automatizării aşa fel, încât mărimea de ieşire a acestora să fie cât mai apropiată de o mărime
impusă v{t), în particular constantă, în condiţiile existenţei unor perturbaţii externe.
În funcţie de informaţiile existente asupra acestor perturbaţii, s-au pus la punct diverse
metode de proiectare a unor sisteme care să realizeze performanţe mai mult sau mai puţin
satisfăcătoare.
Utilizarea în acest scop a regimurilor de mişcare specifice sistemelor cu structură
variabilă conduce la extinderea posibilităţilor de realizare a unor astfel de sisteme, permiţând
obţinerea unor performanţe superioare.
Metodica de analiză şi sinteză a unor astfel de sisteme este tratată în amănunţime în
lucrările.
Vom începe studiul acestor sisteme cu un caz particular de ordinul II, tratat mai
dezvoltat în lucrarea.
3.4.1. Analiza şi sinteza unui sistem de ordinul II în regim forţat
Fie sistemul de ordinul II reprezentat în fig. 3.10, în care s-a presupus ca obiectul
împreună cu elementul de execuţie formează un element dublu integrator ideal cu acces la
variabila intermediară.
În cazul sistemelor adaptive, caracterul multivariabil poate fi determinat numai de
circuitele de adaptare, care realizează adaptarea mai multor parametri ai unui bloc de reglare
inclus în bucla unui sistem automat cu o singură mărime de intrare şi cu o singură mărime de
ieşire, sau poate fi determinat da existenţa mai multor mărimi de intrare şi de ieşire.
Sistemele adaptive includ şi sistemele extremale, unele sisteme având bucle de reglare
obişnuite sau bucle de reglare extremale.
Sisteme adaptive multivariabile cu model etalon
Realizarea unui sistem adaptiv multivariabil pentru cazul sistemelor cu model etalon este
reprezentată în figura 3.10.
stare
w
+ -
R
K
fp
B ∑
+ +
x&
A
x
0
x
∫
Fig. 3.10
Schema sistemului multivariabil, fără circuite de adaptare, este caracterizat de ecuaţiile de
x& = Ax + Bu
(3.36)
( )
F
C
y

y = Cx
(3.37)
ale părţii fixate F şi a ecuaţiei
y = K( w− y)
(3.38)
a blocului de reglare proporţional R, unde w, u, y sunt vectorii mărimilor de intrare, de comandă
şi de ieşire, caracterizaţi de q dimensiuni, x este vectorul r-dimensional al stărilor iar A, B, C, K
matrice de dimensiuni corespunzătoare:
A = r× r,
B = r× q,
C = q× r,
K = q× q
Efectuând calculele, obţinem:
x& = Ax + BK ( w − y) = Ax + BK ( w − Cx) = ( A − BKC) x + BKw
Notăm:
(3.39)
As= A− BKC
(3.40)
şi
Bs = BK
(3.41)
Astfel că în final obţinem:
x& = Ax+ Bw
(3.42)
s s
În ipoteza că asupra sistemului nu acţionează perturbări parametrice, matricele A,B,C,K şi
H s şi
implicit As şi Bs au elemente constante şi ca urmare parametrii funcţiilor de transfer ( )
F
R
( )
H s ale părţii fixate F şi ale blocului de reglare R, au parametrii invariabili în timp. Deoarece
blocul de reglare este proporţional, matricea de transfer HR( s ) coincide cu matricea K, iar
matricea HF( s ) se exprimă prin relaţia:
F
( ) ( ) 1
−
h s = C sI − A B
(3.43)
utilizând transformata Laplace a matricei de tranziţie.
În cazul în care asupra părţii fixate acţionează perturbări reprezentate de componentele vectorului
fp, se consideră că aceste perturbări determină variaţia în timp a unora dintre elementele matricei
B, deci a parametrilor funcţiei de transfer HF(s) din (3.43). Dacă aceste variaţii au loc în limite
largi, atunci este necesară introducerea unor circuite de adaptare, care să comande modificări
corespunzătoare ale elementelor matricei K(t) a blocului de reglare R, astfel încât să rezulte
gradul de invarianţă dorit pentru anumite performanţe ale sistemului în ansamblu-în condiţiile
variaţiilor arbitrare ale elementelor matricei B(t)-in conformitate cu criteriul de adaptare ales.
Întrucât matricea K(t) are qxq elemente, iar matricea B(t) are rxq elemente, pentru obţinerea
gradului de invarianţă menţionat este necesar ca nu mai o parte din elementele matricei B(t) să fie
modificate de acţiunea perturbărilor fp.
În practică, modificările provocate de perturbările fp sunt relativ lente(deşi au loc în limite
largi), sensibil mai lente decât modificările comandate de circuitele de adaptare pentru parametrii
blocului R-întrucât, în caz contrar, adaptarea nu ar putea fi realizată-şi ca urmare, se poate
considera într-o primă aproximaţie
.
B (t) ≈ 0, (3.44)
deci pentru anumite intervale de timp limitate, elementele bij ale matricei B(t) pot fi considerate
constante, respectiv
bij=ct. (3.45)
După introducerea circuitelor de adaptare, în locul ecuaţiei de stare (3.43) se obţine o
ecuaţie de forma
61

62
.
x a=Asaxa+Bsaw, (3.46)
unde xa este vectorul variabilelor de stare pentru sistemul adaptat, iar matricele Asa ≡ Asa(t) şi
Bsa ≡ Bsa(t) au elemente variabile în timp. Adoptând aproximaţiile (3.44) şi (3.45) rezultă că
variaţia în timp a elementelor matricelor Asa şi Bsa este determinată cu preponderenţă de
modificarea elementelor matricei K în urma acţiunii circuitelor de adaptare.
În varianta sistemelor adaptive cu model etalon, ecuaţiile de stare ale modelului – care
primeşte la intrare vectorul mărimilor de intrare w – au expresia
.
x m=Amxm+Bmw (3.47)
ym=Cmxm (3.48)
unde xm,ym sunt vectorii mărimilor de stare şi de ieşire ale modelului;
Am, Bm, Cm – matrice cu elemente constante (având, de regulă, aceleaşi dimensiuni cu
matricele As, Bs, Cs), corespunzătoare asigurării comportării dorite a sistemului multivariabil.
Modelul etalon, primind la intrare vectorul w care se aplică şi la intrarea sistemului
mutivariabil, reprezintă un model al acestui sistem funcţionând în circuit închis.
Pentru a identifica abaterea comportării sistemului multivariabil de la comportarea
prescrisă prin intermediul modelului etalon, variabilele de stare xm şi xa sunt comparate, rezultând
diferenţa
e=xm-xa
care reprezintă vectorul erorilor de adaptare.
(3.49)
Din (3.49) se obţine prin derivare în raport cu timpul
.
e= .
x m- .
x a
şi înlocuind (3.51) şi (3.52) şi (3.53) se obţine
(3.50)
.
e=Amxm-Asaxa+(Bm-Bsa)w
sau, întrucât conform cu (3.52)
(3.51)
xm=e+xa, (3.52)
din (3.51) şi (3.52) rezultă
e=Ame+(Am-Asa)xa+(Bm-Bsa)w.
Ecuaţiei (3.53) îi corespunde ecuaţia sistemului omogen
(3.53)
.
e=Ame (3.54)
sistemul omogen fiind asimptotic stabil, întrucât matricea Am a fost aleasa din condiţia ca
modelul etalon să asigure stabilitatea asimptotică.
Alegând o matrice P simetrică pozitiv definită, proiectarea circuitelor de adaptare prin
metoda Liapunov poate fi efectuată adoptând pentru sistemul omogen o funcţie Liapunov de
forma
V=e T Pe, (3.55)
întrucât aceasta este pozitiv definită.
Derivând (3.55) în raport cu timpul rezultă
. dV .
V = = e
dt
T Pe+e T P .
e
În conformitate cu (3.54) se obţine
(3.56)
. T
e = e
şi din (3.54) şi (3.55) şi (3.56) se obţine
T
A
T
m
(3.57)

T T T
T T
V = e Am
Pe + e PAme
= e ( Am
P + PAm
) e
(3.58)
Pentru că derivata .
V din (3.58) să fie negativ definită – şi deci sistemul omogen să fie
asimptotic stabil - este necesară o relaţie de forma
T
Am P + PAm
= −Q
(3.59)
unde Q este o matrice pozitiv definită (care poate fi şi matricea unitate I), întrucât, în acest caz,
din (3.58) şi (3.59) se obţine
sau, daca Q=I,
.
T
V = −e
Qe
.
(3.60)
T
V = −e
e.
Când Q=I, relaţia (3.59) are aspectul
(3.61)
T
Am P + PAm
= −I
(3.62)
şi din această relaţie rezultă matricea P din (3.55).
În scopul trecerii de la sistemul omogen (3.54) la sistemul neomogen (3.53) se introduc
notaţiile
Am − Asa
= [ α ij ( t)]
≡ [ α ij ] (i, j=1,2,…r) (3.63)
şi
Bm = Bsa
= [ β ij ( t)]
≡ [ β ij ] (i=1,2,…r; j=1,2,…q) (3.64)
şi se alege ca funcţia Liapunov expresia
r r
T
V = e Pe + ∑
i=
1 j=
1
unde uij şi vij sunt constante reale pozitive.
r
i=
1
q
j=
1
2
∑uij ij + ∑ ∑
α v β
(3.65)
Se verifică imediat faptul că expresia (3.64) reprezintă o funcţie pozitiv definită de
variabilele e, α ij şi β ij , întrucât se anulează numai pentru valorile variabile
e=0
α =0 (3.66)
ij
ij
β =0 (3.67)
iar pentru orice alte valori funcţia este pozitivă.
Având în vedere (3.62) şi (3.63), condiţiile (3.66) şi (3.67) pot fi puse sub forma
Asa=An (3.68)
si
Bsa=Bm, (3.69)
aceste expresii – împreună cu (3.65) – atestând că sistemul are o comportare asemănătoare cu cea
a modelului şi deci scopul adaptării este atins.
Întrucât s-a considerat că perturbările parametrice fp determină modificări arbitrare numai
pentru elementele matricei B, rezultă că matricele A şi C au elemente aij şi cij constante şi deci
condiţiile
aij=ct (3.70)
şi
cij=ct (3.71)
ij
2
ij
63

64
sunt riguros îndeplinite, spre deosebire de ipoteza aproximativă din (3.44); considerând intervale
de timp foarte mari, în care variaţiile elementelor matricei B nu pot fi neglijate - şi deci
simplificarea nu este acceptabilă – pentru această matrice va fi folosită notaţia
Bv(t). (3.72)
Având în vedere că elementele matricei K(t) sunt modificate prin acţiunea circuitelor de
adaptare, din (3.39) şi (3.40)pot fi obţinute expresiile matricelor Asa(t) ≡ Asa şi Bsa(t) ≡ Bsa din
(3.35)
Asa(t)=A-Bv(t) K(t) C (3.73)
Bsa(t)=Bv(t) K(t) (3.74)
Din (3.73) şi (3.74) se constată că dacă este asigurată condiţia (3.69), respectiv
Bsa(t)=Bv(t) K(t)=Bm (3.75)
atunci va rezulta şi condiţia
Asa(t)=A-Bv(t) K(t) C=A-BmC, (3.76)
deci adaptarea corectă a elementelor matricei K(t) (pentru compensarea variaţiilor arbitrare ale
elementelor matricei Bv(t) sub acţiunea perturbărilor parametrice fp) asigură condiţia de invarianţă
nu numai pentru elementele matricei Bsa(t), ci şi pentru elementele matricei Asa(t).
În acest mod, condiţia (3.69) include şi condiţia (3.68), prin urmare matricele Am şi Bm
din (3.46) sunt legate printr-o anumită relaţie, avînd în vedere că şi matricele As şi Bs din (3.38) şi
(3.39) sunt legate prin relaţia
As=A-BKC=A-BsC, (3.77)
care rezultă imediat din (3.38) şi (3.40).
În mod analog, condiţia (3.67) include şi condiţia (3.66) (pentru cazul particular al
schemei sistemului din figura 3.1; în cazul general, dependenţele menţionate nu intervin. Aceste
precizări permit simplificarea legilor de adaptare obţinute ca rezultat al proiectării prin metoda
Liapunov, deci o simplificare a circuitelor de adaptare.
Revenind la relaţia (3.64), după derivare în raport cu timpul şi după înlocuire expresiilor
.
e şi .
e T care rezultă din (3.52), se obţine
.
r
r
.
T
∑∑{( uij
ij + xaje
pi
) α ij}
+ 2∑∑
i=
1 j=
1 i=
1 j=
1
r
T
T
V = −e
e + 2 α {( v β + w e p ) β }
(3.78)
q
unde pi este coloana i-a a matricei P, care satisface relaţia (3.61);
xaj – elementul al j-lea al vectorului xa;
wj – elementul al j-lea al vectorului w.
Din (3.77) se constată că derivata .
V va fi negativ semidefinită – şi deci în ansamblu
sistemul va fi stabil - dacă sunt îndeplinite condiţiile
şi
ij
.
ij
.
uijα ij xaje T Pt=0 (3.79)
.
vij β +wje ij
T Pt=0
deoarece în acest caz din (44) se obţine
(3.80)
.
V=-e T e. (3.81)
Din (3.79) şi (3.80) pot fi determinate legile de adaptare care asigură stabilitatea
sistemului; în acest scop este necesar să se stabilească relaţii între elementele kij(t) ale matricei
K(t), şi variabilele α ij şi β ij din (3.62) şi (3.63).
j
i
ij

În primul rând, întrucât s-a arătat mai înainte că adaptarea corectă a elementelor kij(t) ale
matricei K(t) asigură condiţia (3.69), cât şi condiţia (3.68), rezultă în cazul particular din figura 1
se poate considera
[ α ij ]=0,
rămânând să fie considerată numai diferenţa
(3.82)
[ β ij ] ≡ [ β ij (t)
]=Bn-Bsa(t)
pentru determinarea legii de adaptare.
Introducând (3.74) şi (4.83) se obţine
(3.83)
[ β ij ] ≡ [ β ij (t)
]=Bn+Bv(t) K(t)
şi derivând în raport cu timpul rezultă
(3.84)
.
.
[ β ij ( t)] = − B v ( t)
K(
t)
− Bv
( t)
K(
t)
(3.85)
Considerând intervale limitate de timp, în care ipotezele simplificatoare (3.43) şi (3.44)
sunt admisibile, se poate face aproximaţia
Bv(t) ≈ B (3.86)
deci
.
B v(t) ≈ 0 (3.87)
- întrucât variaţiile elementelor matricei Bv(t) sunt mult mai lente decât variaţille
elementelor matricei K(t) – din (3.85), (3.86) şi (3.87) rezultând
.
.
[ β ij ( t)]
≈ −B
K(
t)
. (3.88)
Pe baza teoremei La Salle şi Rath se poate obţine stabilitatea eventual asimptotică şi în
cazul când matricele A, B şi Bv din (3.44), (3.70) şi (3.86) au elemente variabile în timp, dacă
variaţiile elementelor respective satisfac anumite condiţii.
Din (3.80) se obţine
.
.
T
β ij = −1/
vij
w je
pi
(3.89)
deci sunt determinate elementele matricei β ( t)]
, iar din (3.88) urmează să fie obţinute
.
[ .
elementele matricei K ( t)
.
În cazul în care r=q, deci când în matricea de transfer a părţii fixate toate elementele sunt
reprezentate numai de elemente de întârziere de ordinul I cu anumiţi numitori egali matricele
[ .
ij
β ( t)]
şi B din (3.88) sunt matrice pătrate şi ca urmare, din 3.88 se obţine legea de adaptare
ij
pentru elementele k ij ( t)
:
.
.
.
K ij
−1
( t)
≈ −B
[ β ( t)]
(3.90)
(presupunând că matricea B este ireversibilă), unde elementele β ij au expresiile din (3.89).
Dacă r>q (cazul general) atunci matricele din (3.88) nu sunt pătrate şi apare problema
incompatibilităţii sistemului de ecuaţii (3.88); în acest caz pot fi folosite numai metode
aproximative de obţinere a unor expresii pentru elementele matricei K ( t)
, de exemplu calculul
matricei pseudoinverse.
.
.
65

66
Sisteme adaptive la care intrarea este monovariabilă şi ieşirea este multivariabilă, sau
intrarea este multivariabilă şi ieşirea este monovariabilă sunt tratate în .
3.5. Sisteme extremale multivariabile
Optimizatoarele automate reprezintă blocuri multivariabile folosite pentru automatizarea
instalaţiilor tehnologice la care există o dependenţă extremală a mărimii de ieşire în funcţie de
mai multe mărimi de execuţie. Întrucât optimizatoarele automate sunt tratate în lucrările
referitoare la sistemele extremale, în prezentul paragraf sunt ilustrate sistemele extremale
multivariabile care conţin o buclă de reglare obişnuită şi o buclă de reglare extremală.
Q c
Q a
EE 1 EE 2
RE
R
C
T r1
T r 2
Fig.3.11
În această categorie se încadrează instalaţia tehnologică din figura 3.11, reprezentând un
cuptor industrial C alimentat cu debitul de combustibil Qc şi cu debitul de aer de ardere Qa,
acestea constituind mărimile de execuţie; temperatura este măsurată cu traductoarele Tr1 şi Tr2, al
doilea având o inerţie mai mică (realizat, de exemplu, ca pirometru de radiaţie) în raport cu
primul. Ca urmare, bucla de reglare extremală. Formată din traductorul Tr2, regulatorul extremal
RE şi elementul de execuţie EE2, are o acţiune mai rapidă decât bucla de reglare obişnuită a
temperaturii, compusă din traductorul Tr1, elementul de comparaţie EC (căruia i se aplică şi
mărimea de intrare Ti, reprezentând valoarea de referinţă pentru temperatura T din cuptor),
regulatorul R şi elementul de execuţie EE1.
Acest mod de coordonare a acţiunii celor două bucle permite ca pentru fiecare nouă
valoare a debitului Qc, stabilită prin acţiunea lentă a buclei de reglare obişnuită, intervenţia rapidă
a buclei de reglare extremală să determine valoare optimă a debitului corespunzător de aer Qa în
conformitate cu dependenţa extremală dintre temperatură şi debitul Qa.
O variantă a schemei din figura 3.11 este reprezentată în figura 3.12, fiind introdus
regulatorul de raport RR, care stabileşte un anumit raport Qa/Qc, iar valoarea de referinţă pentru
acest raport este transmisă de regulatorul extremal RE. În acest mod sunt evitate variaţii
importante ale debitului de aer Qa, care pot apare în timpul căutării extremului la schema din
figura 2 şi care pot conduce la înrăutăţirea regimului termic al cuptorului.
Regulatorul de raport RR primeşte valorile debitelor Qa şi Qc de la traductoarele de debit
Tr3 şi Tr4 ;i comandă valoarea debitului Qa (prin intermediul elementului de execuţie EE2) în
sensul menţinerii valorii precise de regulatorul extremal RE pentru raportul debitelor Qa/Qc.
EC
+ Ti
-

3.6. Optimizarea structurii, parametrilor şi programului
sistemele automate moderne
Sistemele automate moderne nu pot fi concepute fără a lua în consideraţie gradul lor de
eficienţă, modul cum răspund la diverse condiţii de calitate impuse, măsura în care sunt solicitate
şi valorificate toate resursele de care dispun. Din acest motiv, orice problemă de analiză şi
sinteză, orice calcul de proiectare se subordonează cerinţelor impuse de optimalitate.
Conceptul de sistem optimal şi sinteză optimală prezintă diverse aspecte, în funcţie de
mijloacele de care dispune proiectantul pentru îndeplinirea condiţiilor de optimalitate. Menţionăm
şi aici cele două laturi fundamentale ale oricărui sistem care trebuie să îndeplinească funcţii
determinate: structura şi programul. Acestea sunt, în acelaşi timp, etapele principale de realizare
a condiţiilor de optimalitate prin optimizarea structurii şi optimizarea programului.
Optimizarea structurii, în sensul cel mai larg, este o problemă deschisă, pentru care nu se
poate da încă o formulare matematică precisă. Dar nivelul atins în dezvoltarea teoriei sistemelor
cu structură variabilă, sistemelor neliniare, sistemelor adaptive şi optimale, permite să se
contureze tot mai bine această problemă şi să se argumenteze teoretic şi practic alegerea unei
structuri sau alteia, combinarea a două sau mai multe structuri pentru realizarea unor funcţii
complexe cu mijloace tehnice din cele mai potrivite, uniformizarea şi tipizarea sistemelor cu
ajutorul elementelor modulare etc. Tot de domeniul structurii ţin şi problemele de sensibilitate
parametrică, sensibilitate la perturbaţii, la condiţii iniţiale, etc., care de la caz la caz, se rezolvă fie
intr-un sens, fie în altul. Introducerea reacţiei negative în sistemele automate, cu toate
proprietăţile ei generatoare de funcţiuni şi caracteristici specifice, este o problemă fundamentală
de structură. Introducerea unei bucle noi într-un sistem dinamic, prin care să se realizeze o
funcţiune de identificare, adaptare optimizare, inclusiv funcţia de modificare a structurii, este
evident tot o problemă de structură. Se ştie, de exemplu, că există o teorie structurală a
stabilităţii, a calităţii, a optimizării. Toate acestea confirmă consistenţa teoriei calitative a
structurii şi formarea treptată a unei teorii cantitative a structurii.
Printr-o rezolvare corespunzătoare a problemelor de structură se creează condiţii
favorabile abordării şi rezolvării problemelor de optimizare a parametrilor (pentru programe
date) şi a programelor (pentru parametri daţi). Pentru a trece la analiza cantitativă a acestor
probleme, vom asocia fiecărei structuri o descriere matematică de forma generală
.
x =f(x, u, w, p, t) (3.91)
în care .
x şi f sunt vectori nx1, u este vectorul mx1 al mărimilor de intrare, w este vectorul
parametrilor funcţionali de optimizare în sensul obişnuit, iar p este vectorul parametrilor
constructivi de optimizare.
La ecuaţiile (3.91) se adaugă, desigur, toate celelalte elemente de bază şi secundare ale
problemelor de optimizare. Dintre acestea menţionăm explicit indicatorul de performanţă care se
extremizează
t
1
I=∫ L x,
u,
w,
p,
t)
dt + M ( t , x , t , x , w,
p)
(3.92)
t0
( 0 0 1 1
cu cele două componente ale sale de tip Lagrange (integrală) şi Mayer (iniţial –finală).
1. În cazul optimizării parametrice (după p) problema constă în alegerea unor
67

68
asemenea valori constructive p – într-un domeniu dat P , pentru care indicatorul I, calculat pentru
un program dat la intrarea u(t) şi pe traiectoria sistemului (3.91) corespunzătoare acestuia şi
celorlalte date ale problemei – să ia valoarea extremă absolută din domeniul P admis pentru p.
2. La optimizarea programului (pentru p şi w date) se cere să se determine acel program
admis de intrarea u(t), pentru care indicatorul de performanţă (3.92) ia valoarea
extremă absolută pe tot domeniul mărimilor de intrare admise U.
3. Problema optimizării în raport cu parametrii w are formularea cunoscută: să se
determine acele valori ale parametrilor funcţionali w (constante pe tot intervalul de
optimizare [t0, t1] într-un domeniu admis W, pentru care indicatorii obţinuţi la punctele
1 şi 2 să ia valorile cele mai mici posibile (pentru minim) sau cele mai mari posibile
(pentru maxim) pe mulţimea W.
În continuare vom insista mai mult asupra primelor două probleme, şi aceasta sub raportul
unor procedee de calcul, deoarece teoria generală este îndeobşte cunoscută, inclusiv pentru
sistemele multivariabile, liniare şi neliniare, pentru sistemele cu parametri distribuiţi etc.
3.6.1. Optimizarea parametrică
După cum s-a menţionat şi mai sus optimizarea parametrică se foloseşte la sistemele cu
structură şi program date şi după criterii prestabilite, cum ar fi minimizarea integralei pătratice a
abaterii dinamice de la regimul stabilizat de răspuns la treaptă unitară. Criteriul de optimizare
utilizat este în general un criteriu cumulativ integral eficient, care asociază procesului tranzitoriu
pe tot intervalul considerat un număr pozitiv cu atât mai mic, cu cât procesul tranzitoriu ca
răspuns la programul dat este mai bun. Acest număr, pe care-l vom nota cu I(p) depinde de
parametrii sistemului p şi poate fi minimizat în raport cu aceşti parametri.
În optimizarea parametrică se disting următoarele etape:
1. Formarea mărimilor x(t,p) care caracterizează în mod eficient procesele
dinamice şi dependenţa lor de parametrii p. Asemenea mărimi pot fi abaterea dinamică de la
regimul stabilizat ca răspuns la semnale tip de intrare (impuls unitar, treaptă unitară, rampă
unitară, parabolă unitară etc.) şi derivatele acestora; abaterea în raport cu un proces etalon
prestabilit etc.
2. Alegerea criteriului de optimizare I(p) în aşa fel încât acesta să condiţioneze
cât mai strâns calitatea proceselor dinamice. Aici putem distinge criteriile integrale liniare,
aplicabile îndeosebi la procesele monotone, criteriile integrale pătratice, aplicabile la orice tip de
proces, criterii integrale ponderate cu diverse tipuri de funcţii pondere (pare, impare etc.), criterii
combinate etc.
3. Evaluarea indicatorului de optimizare I(p) folosind una din metodele cunoscute, cum
sunt metodele de integrare directă, metoda coeficienţilor de abatere, metoda
transformării Laplace etc.
4. Extremizarea indicatorului I(p) şi determinarea valorilor optime ale
parametrilor p.
În continuare se vor dezvolta şi exemplifica fiecare din aceste etape, admiţând de la
început că indicatorul de optimizare (3.92) are numai o componentă de tip Lagrange, iar
intervalul de optimizare este semiinfinit
∞
I(p)=∫ L (t, p, x(t,p))dt
0
(3.93)

O asemenea delimitare a cadrului problemei necesită condiţii suplimentare cu privire la
convergenţa integralei (3.93), care impun restricţii asupra claselor de funcţii folosite atât la
nivelul variabilelor procesului x(t,p), cât şi la nivelul lagrangeanului L.
Dacă avem în vedere lagrangeanul de formă liniară şi pătratică în raport cu x(t, p), cu care
se lucrează cel mai mult, rezultă că o condiţie necesară de convergenţă este anularea variabilei
x(t,p) cu t → ∞ . Aceasta înseamnă că procesele dinamice se vor raporta la valorile lor stabilizate.
De exemplu, dacă optimizarea se face în raport cu calitatea funcţiei indiciale h0(t, p), atunci
prima componentă a vectorului x(t,p) trebuie să fie
x1(t,p)=h0( ∞ , p)-h0(t, p) (3.94)
iar celelalte componente pot fi derivatele acesteia.
Se ştie că dacă funcţia de transfer a sistemului închis prin reacţie negativă unitară, care
leagă abaterea de intrare este
n
n−1
cn
s + cn−1s
+ ... + c0
H A ( s,
p)
= (3.95)
n
n−1
an
s + an−1s
+ ... + a0
atunci transformata Laplace a funcţiei (60) luată ca originală este
2
n−1
n
X 1 ( s,
p)
= ε 1 + ε 2s
+ ε 3s
+ ... ε ns
+ ε n+
1s
+ ...
(3.96)
unde, pentru a0 ≠ 0 (condiţie necesară de stabilitate asimptotică)
c0
c1 − ε 0a1
c2 − ε 0a
2 − ε1a1
c3 − ε 0a1
− ε1a
2 − ε 2a1
ε 0 ε1
= ε 2 =
ε 3 = ….
a0
a0
a0
a0
ε 0 an − ε1a
n−1
− ... − ε n−1a1
ε1a
n − ε 2a
n−1
− ... − ε na1
ε n =
, ε n+
1 =
, (3.97)
a0
a0
ε 2a
n − ε 3a
n−1
− ... − ε na
2 − ε n+
1a1
ε n+
2 =
a0
În aceste relaţii p desemnează acei coeficienţi ai, cj sau argumentele acelor coeficienţi ai(p), cj(p)
care trebuie optimizaţi.
Uneori se cunoaşte nu funcţia de transfer a abaterii (3.95) ci funcţia de transfer principală
intrare – ieşire a sistemului închis prin reacţie negativă H(s, p). În acest caz imaginea prin
transformarea Laplace a originalei din (3.94) este dată de formula
1
X 1(
s,
p)
= [ H ( 0,
p)
− H ( s,
p)]
(3.98)
s
În alte aplicaţii interesează abaterea x1(t, p) a unui proces real xr(t, p) ca răspuns la treaptă
unitară, de la un proces etalon xe(t, p). Dacă procesul etalon se dă prin transformata sa Laplace
Xe(s, p), iar procesul real de desfăşoară într-un sistem cu funcţia de transfer principală H(s, p),
atunci imaginea lui x1(t, p)= xe(t, p)- xr(t, p) este
1 1
X 1(
s,
p)
= X e ( s,
p)
− H ( s,
p)
= [ sX e ( s,
p)
− H ( s,
p)]
(3.99)
s s
Pentru formarea transformatelor Laplace ale derivatelor mărimii (3.94) luate ca originale,
la fiecare ordin de derivare se înmulţesc expresiile (3.96), (3.98), (3.99) etc. cu câte un s. Trecând
la alegerea criteriului de optimizare I(p), deci a funcţiei L din (3.93), trebuie să se ţină seama de
caracterul proceselor. La procesele monotone se pot folosi direct criteriile liniare ponderate
simplu
∞
m ∫
0
m
I ( p)
t x(
t,
p)
dt , m=0, 1, … (3.100)
69

70
care au fost studiate sub toate aspectele de acad. A. Avramescu şi colaboratorii săi cu ajutorul
derivatelor areolare. Avantajul major al acestor criterii constă în faptul că se evaluează foarte uşor
cu ajutorul coeficienţilor de abatere (3.96)
m
I m ( p)
= ( −1)
m!
ε m+
1 , m=0, 1, … (3.101)
Dacă de exemplu, se ia L ( t,
p,
x(
t,
p))
m
∑ kmt
x(
t,
p)
atunci rezultă imediat
=
m
m
= ∑( −1)
m!
km
m
m 1
I( p)
ε +
(3.102)
Convergenţa acestei sume este un criteriu de aplicativitate a criteriilor liniare pătratice, dar
eficienţa lor rămâne scăzută îndeosebi la procesele nemonotone în timp.
Criteriile integrale pătratice condiţionează mai strâns calitatea regimurilor tranzitorii, dar
se evaluează mai greu. Astfel dacă
m
m−1
bms
+ bm−1s
+ ... + b0
X ( s,
p)
= n
n−1
an
s + an−1s
+ ... + a0
este imaginea Laplace a mărimii x(t) din integrala
∞
(3.103)
2
2
I ( p)
= ∫ x ( t,
p)
dt
0
(3.104)
atunci, pentru m ≤ n-1 se poate folosi formula
2 1
I = 2
2a0
'
'
'
' '
( B0∆
0 + B1∆
1 + ... + Bn−
1∆
n−1
− 2b0b1
(3.105)
în care
a0
− a2
a4
− a6
.... 0
0 a1
− a3
a5
.... 0
∆ = 0 − a0
a2
− a4
.... 0
.. .. .. .. .. ..
0 0 0 0 ... an−1
; a0
' b0
b0 = bn−
1(
− ) , b1 = bn−
1(
an
bn−1
a2
'
− ) , …., bn−1
an
bn−2
an−1
= bn−1
( − )
bn−1
an
(3.106)
' ' 2 '
B 0 = (b0
) , B1 ' 2 ' ' '
= ( b1
) − 2b0b2
, B 2
' 2 ' ' ' ''
'
= ( b2
) − 2b1b3
+ 2b0b4
, B n−
1
' 2
= ( bn−1
)
iar ∆ j sunt determinanţii care se obţin din ∆ prin înlocuirea coloanei j+1 cu col(a1, a0, 0, …0),
j=0, 1, …, n-1.
Formulele (71) se mai simplifică dacă în expresia (69) avem m ≤ n-2 (bn-1=0):
2 1
( 2 1 1 2 2
2 0
... −1 −1)
∆ + + ∆ + ∆
I = B B
a ∆
Bn
n
(3.107)
unde ∆ şi ∆ j , j=1, 2, …, n-1 se formează ca şi în cazul precedent, iar
2
2
B 1 = b0
, B2 = b1
− 2b0b2 ,…, Bk + 1
2
k
= bk
− 2bk −1bk
+ 1 + ... + ( −1)
2b0bk
, B n−
1
2
= bn−2
(3.108)
După aceste formule se calculează direct integralele pătratice de forma
∞
∫
0
2
2
I ( p)
= x ( t,
p)
dt
(3.109)
0
1

pentru care se va lua X1(s,p)=X(s,p), X1(s,p) fiind oricare dintre construcţiile (3.97), (3.98),
(3.99) etc, aduse să se calculeze şi integrala de forma
∞
∫
0
2
( m)
2
I m ( p)
= [ x1
( t,
p)]
dt
(3.110)
( )
în care x1 ( t,
p)
m
sunt derivatele variabilei x 1(
t,
p)
în raport cu timpul. În acest caz expresia
(3.103) se va lua sub forma:
( m) m
m−1
( m−1)
X ( s,
p)
= ζ { x1
( t,
p)}
= s X 1(
s,
p)
− s x1(
0,
p)
− ... − x ( 0,
p)
, m’0,1,2,… (3.111)
Prin urmare se pot evalua funcţionale de forma
∞
2m
( m)
∫∑ m x1(
t,
p)
dt = ∑
2
2m
2
I ( p)
= τ τ I ( p)
(3.112)
0
m m
care, printr-o alegere corespunzătoare a coeficienţilor τ m permit să se obţină procese mai mult
sau mai puţin amortizate.
Există şi alte metode de a evalua integralele pătratice de forma (3.112), dintre care menţionăm
metoda funcţiilor pozitiv – definite. De asemenea, sunt de menţionat metodele transformatei
Fourier, care permit să se evalueze şi integrale pătratice cu termeni ponderaţi în timp. După
alegerea criteriului de optimizare şi evaluarea indicatorilor integrali de calitate I(p) se trece la
optimizarea acestora în raport cu parametrii constructivi p. Dacă domeniul P în care se pot lua
aceşti parametri este deschis, atunci se formează ecuaţiile
∂I
( p)
= 0
(3.113)
∂p
din care se determină punctele de extrem, se verifică fiecare din aceste puncte şi se alege
extremul absolut p=p * ; Dacă însă domeniul P este închis după unul sau mai mulţi parametri pi,
atunci se caută extreme unghiulare după formule de tipul
*
p = p | I(
p ) = max I(
p)
(3.114)
i
i
pentru maxim şi similar pentru minim. Se vor ilustra aceste tehnici pe câteva exemple
3.7. Exemple de sisteme optimale şi adaptive
i
Pentru a ilustra modul în care se pune problema optimizării în cazul informaţiei apriorice
complete şi în cazul informaţiei apriorice incomplete, în cele ce urmează sunt expuse câteva
exemple simple, care anticipează materialul expus în detaliu în unele capitole ulterioare.
3.7.1. Exemple de sisteme optimale
a) Pentru ca exemplul să fie foarte simplu, se presupune că instalaţia tehnologică şi
elementul de execuţie (alcătuind un ansamblu care poate fi de numit partea fixată a sistemului,
deoarece instalaţia tehnologică este dată şi modificată, iar elementul de execuţie ales în
conformitate cu particularităţile organului de cuplare cu instalaţia tehnologică) au o funcţie de
transfer de forma:
X ( ) K
e s f
Y f ( s)
= = 2
X c ( s)
s
∆
, (3.115)
unde:
Xe(s) este transformata Laplace a mărimii de ieşire xe(t) ≡ xe ;
p
m
m
71

72
Xc(s) este transformata Laplace a mărimii de comandă xc(t) ≡ xc
∆
= semnifică “egal prin definiţie”.
Existând restricţii asupra mărimii de comandă xc a cărei valoare absolută nu poate
depăşi o valoarea maximă M, deci existând condiţia
| xc | ≤ M , (3.116)
se cere să se găsească blocul de reglare care conduce la un sistem optimal ca rapiditate, respectiv
la un sistem cu durată minimă a intervalului în care mărimea de ieşire xe atinge valoarea impusă
prin mărimea de intrare xi.
Criteriul de optim se referă deci la durata minimă a procesului tranzitoriu. În cazul
general, criteriul de optim se exprimă printr-o funcţională de forma
Q( xi
, xe
, xc
, X , p,
t)
, (3.117)
unde p este perturbarea care acţionează asupra părţii fixate;
x – vectorul variabilelor de stare, ale cărui componente x1, x2, …xn sunt
reprezentate de aceste variabile.
Dacă sistemul este multivariabil (multidimensional) atunci în locul mărimilor
xi , xe
, xc
, p apar vectorii xi, xr, xc, p.
De regulă în expresia (3.117) intervin numai mărimile xc şi x (respective xc şi x, la
sistemele multivariabile), întrucât mărimile xi şi p intervin prin intermediul variabilelor de stare
x1, x2, …xn, iar mărimea xe poate fi exprimată cu ajutorul acestei variabile.
Exprimarea criteriilor de optim printr-o funcţională este deosebit de indicată,
funcţionala stabilind o corespondenţă între o mulţime de funcţii şi o mulţime de numere, sistemul
optimal fiind cel care asigură o valoare extremă, maximă sau minimă, a funcţionalei. În calculul
sistemelor optimale se utilizează îndeosebi metode variaţionale, obiectul principal al calculului
variaţional fiind constituit de căutarea şi determinarea extremelor unei funcţionale.
În multe cazuri, funcţionala (3) are aspectul
t1
Q = ∫ F(
X , xe
) dt = min
(3.118)
t0
unde t0, t1 sunt limitele intervalului de optimizare;
F(X,xc) – o funcţie de variabile de stare şi de mărimea de comandă;
Sistemul optimal este cel care conduce la minimul expresiei (4).
Stabilirea criteriilor de optim Q are o deosebită importanţă şi trebuie să fie determinată
de anumite condiţii tehnico-economice concrete; pe lângă rapiditatea procesului tranzitoriu,
menţionată anterior, în calitate de criteriu de optim Q pot fi alese productivitatea instalaţiei
tehnologice, calitatea produselor acestei instalaţii, preţul de cost, consumul de materie primă,
consumul de energie, precum şi alţi indici tehnico-economici.
În cazul sistemelor optimale ca rapiditate, funcţia F se ia de forma
F(X,xe) ≡ 1 (3.119)
şi relaţia (3.118) devine
t1
1
0
{ xc
}
{ xc}
q = ∫ dt = t − t = min
(3.120)
t0
rezultând astfel o durată minima t1-t0 a regimului tranzitoriu.
Rezultatul proiectării unui asemenea sistem opţional ca rapiditate are ca rezultat
obţinerea în planul fazelor a unei curbe de comutare formată din două porţiuni ale unor parabole

care trec prin originea planului; pentru diferite condiţii iniţiale, traiectoriile de fază sunt
reprezentate în acelaşi plan de familii de parabole.
b) Un alt exemplu se referă la sistemele la care peste semnalul util de intrare este
suprapus un zgomot, respectiv un semnal aleatoriu perturbator. În unele cazuri criteriul de optim
poate consta în proiectarea funcţiei de transfer a blocului de reglare astfel încât mărimea de ieşire
a sistemului să reproducă semnalul util de intrare (eventual deplasat cu un interval de timp T) cu o
eroare medie pătratică minimă, caracteristicile statistice ale semnalului util şi zgomotului fiind
date; sistemul optimal asigură o filtrare optimală a semnalelor aleatoare.
În alte cazuri – de exemplu în dirijarea automată a bateriilor antiaeriene care urmăresc o
ţintă în zbor – pe lângă filtrarea optimă este foarte importantă şi predicţia, respectiv proiectarea
funcţiei de transfer a blocului de reglare astfel încât acesta să asigure (cu o eroare medie pătratică
minimă) predicţia valorilor următoare ale semnalului util de intrare, simultan cu filtrarea
zgomotului; se obţine o filtrare şi predicţie optimală.
În cazul acestor categorii de sisteme optimale – denumite în unele lucrări sisteme
statistic optimale – nu intervin în calcul restricţii, dar încadrarea sistemelor respective în
categoria celor optimale este justificată de adoptarea unui criteriu de optim care prezintă un
extrem. De altfel, condiţii de optim definite prin extremul unui criteriu în absenţa unor restricţii
pot fi întâlnite şi la sisteme optimale deterministice; în asemenea cazuri, proiectarea sistemului
poate fi făcută prin metodele calcului variaţional clasic.
Astfel, sistemele la care proiectarea blocului de reglare se efectuează prin intermediul
criteriilor integrale de acordare optimă, rezultând sisteme pentru care au valori minime integrale
de forma
sau de forma
ℵ
∫
0
2
I = ε dt
(3.121)
1
∞
2 ∫
0
2
.
2 2
I = ( ε + T ε ) dt
(3.122)
unde:
ε ≡ ε (t)
este eroarea;
. dε
ε ≡ ;
dt
T – constantă de timp aleasă;
sunt sisteme optimale pot fi numeroase, iar criteriile de optim se pot referi la diferite aspecte:
durată minimă a regimului tranzitoriu, precizie maximă, consum minim de energie, cost minim,
siguranţă maximă etc. Principalele tipuri de sisteme optimale sunt expuse în partea a II-a a
lucrării.
3.7.2. Exemple de sisteme optimale adaptive
a) Dacă în expresia (1) factorul de amplificare Kf nu este constant, ci este supus
unor variaţii arbitrare provocate de perturbări parametrice care acţionează asupra instalaţiei
tehnologice, atunci curba de comutare menţionată anterior – formată din două porţiuni de
parabolă care trec prin originea planului fazelor – trebuie modificată în funcţie de valoarea Kf; se
73

74
asigură astfel condiţia de optim (3.120) pentru diferite valori ale factorului Kf, rezultând un
sistem optimal adaptiv.
Pentru deplasarea curbei de comutare, în sistem se introduc elemente care identifică
valoarea curentă Kf şi comandă modificările necesare în programul de funcţionare al blocului de
reglare. Aceste elemente formează circuitul de adaptare al sistemului opţional.
b) Considerând un sistem statistic optimal menţionat în paragraful anterior, respectiv
un sistem la care peste semnalul util de intrare este suprapus un zgomot, problema filtrării
optimale (reproducerea optimă la ieşire a semnalului util de intrare, cu o eroare medie pătratică
minimă) se complică în cazul când caracteristicile semnalului util sau ale zgomotului sunt
variabile în timp.
În asemenea cazuri, pentru a se menţine o funcţionare optimală a sistemului – în
condiţiile modificării caracteristicilor semnalului util sau zgomotului – este necesar ca în sistem
să fie introdus un circuit de adaptare; acesta controlează caracteristicile menţionate şi în
conformitate cu modificările apărute comandă variaţia corespunzătoare a caracteristicii blocului
de reglare pentru asigurarea unei valori extreme a criteriului de calitate ales; rezultă astfel un
sistem optimal adaptiv.
De asemenea, dacă la un sistem deterministic, care este optimal în conformitate cu un
criteriu de forma (3.121) sau (3.122) caracteristicile părţii fixate a sistemului se modifică sub
influenţa unor perturbări parametrice, atunci este necesar un circuit de adaptare pentru asigurarea
minimului integralelor (3.121) sau (3.122) în condiţiile modificărilor menţionate; circuitul de
adaptare controlează caracteristicile părţii fixate şi comandă modificările necesare ale
caracteristicilor blocului de reglare pentru menţinerea unor valori minime ale integralelor I1 sau
I2. Se obţine astfel un sistem optimal adaptiv.
Acest sistem poate fi considerat totodată ca un sistem adaptiv la care funcţionarea
optimă este apreciată prin obţinerea unei valori extreme a unui criteriu ales, deci poate fi
considerat ca un sistem adaptiv optimal; se constată astfel că sistemele optimale adaptive şi cele
adaptive optimale, în sensurile adoptate pentru aceşti termeni în prezenta lucrare, pot forma o
singură clasă, după cum s-a menţionat anterior.
3.7.3. Exemple de sisteme adaptive
Întrucât în paragraful anterior au fost expuse exemple de sisteme optimale adaptive,
respectiv adaptive optimale, în continuare sunt expuse exemple pentru cazul sistemelor adaptive
(din categoria celor la care funcţionarea optimă se apreciază printr-un criteriu formulat fără
exprimarea atingerii unui extrem şi din categoria sistemelor extremale).
a) O maşină unealtă la care factorul de amplificare Kf variază în limite largi, până la
100:1, în funcţie de proprietăţile şi dimensiunile piesei prelucrate. Ca urmare, sistemul de reglare
automată prevăzut pentru maşina unealtă respectivă trebuie să conţină un circuit de adaptare, care
modifică în mod automat factorul de proporţionalitate KR al regulatorului, astfel încât să se
asigure satisfacerea unei relaţii de forma
K 2 = K R K f = C = ct
(3.123)
în condiţiile în care factorul Kf variază în limitele 100:1; factorul total de amplificare Ka este
astfel menţinut automat la valoarea constantă C, considerată optimă pentru comportarea
sistemului.

Criteriul de adaptare (3.123) nu exprimă atingerea vreunui extrem, însă asigură un grad
de invarianţă al factorului total de amplificare al sistemului, deci un anumit grad de invarianţă
pentru performanţele staţionare şi tranzitorii ale sistemului.
Criterii de forma (3.123) sunt destul de frecvent întâlnite în practică. Astfel, la
reactoarele nucleare factorul de amplificare Kf este variabil, deoarece dependenţa dintre fluxul de
neutroni şi reactivitate este neliniară. La avioane, parametrii aerodinamici se modifică în limite
largi dacă viteza şi înălţimea de zbor suferă variaţii importante; de asemenea, parametrii
vehiculelor spaţiale se modifică cu două ordine de mărime la reintrarea în atmosferă, iar
caracteristicile lor dinamice trebuie să rămână aproximativ constante. În diferite domenii
industriale se întâlnesc instalaţii tehnologice cu factor de amplificare variabil, cum sunt de
exemplu sistemele de acţionare cu electromagnet pentru menţinerea suspendată a unui corp
feromagnetic, la care factorul de amplificare variază proporţional cu greutatea corpului
suspendat; scopul reglării adaptive constă în menţinerea constantă a distanţei dintre electromagnet
şi corpul suspendat, în condiţiile variaţiei greutăţii corpului.
Condiţia (3.123) nu reprezintă singurul criteriu de adaptare fără exprimarea atingerii
unui extrem. În alte cazuri, condiţia de invarianţă se referă la poziţiile unor poli (în planul
complex) ai funcţiei de transfer, condiţie care uneori poate fi impusă simultan cu o condiţie de
forma (3.123); asemenea cazuri sunt, de exemplu, întâlnite în practică la reglarea automată a
zborului avioanelor.
b) Pentru un număr relativ ridicat de instalaţii tehnologice, dependenţa dintre mărimea
de ieşire xe şi cea de execuţie xm – în regim staţionar – este neliniară şi prezintă un extrem,
maxim sau minim. De exemple, în cadrul instalaţiilor de ardere (focare), dependenţa dintre
temperatura gazelor t o la ieşirea din instalaţie – reprezentând mărimea de ieşire xe – şi debitul de
aer de ardere Qa – reprezentând mărimea de execuţie xm – prezintă un maxim; pentru un anumit
debit de combustibil Qa1=ct există deci un debit de aer optim Qa1opt care permite obţinerea unei
temperaturi maxime o
tmax 1.
Prezenţa unor perturbări determină necesitatea anumitor modificări ale debitului de
combustibil Qc; pentru alte valori Qc2=ct, Qc3=ct ale acestui debit, diferite de valoarea Qc1,
dependenţa dintre t o şi Qa se modifică, rezultând valori Qa2 opt, Qa3 opt diferite de valoare
Qa1 opt.
Scopul unui sistem automat extremal constă în stabilirea automată a mărimii de
execuţie xm la valoarea xm opt, căreia îi corespunde valoarea extrema xe extr a mărimii de ieşire, în
condiţiile modificării valorilor xm opt şi xe extr sub acţiunea perturbărilor; valoarea xe extr poate
reprezenta o valoarea maximă xe max sau minimă xe min, în funcţie de aspectul dependenţei
extremale – cu maxim sau minim – dintre xe şi xm (în regim staţionar).
Reprezentarea grafică a dependenţei menţionate, în planul xe, xm, constituie
caracteristica extremală a instalaţiei tehnologice; sub acţiunea perturbărilor, această caracteristică
se deplasează în planul xe, xm.
Caracteristici extremale cu maxim prezintă diferite instalaţii tehnologice; astfel, dacă la
cazanele de abur se consideră randamentul ca mărime de ieşire(deci nu un parametru fizic
măsurat direct, ci o mărime rezultată din calcul) şi coeficientul excesului de aer ca mărime de
execuţie, atunci se obţine o caracteristică extremală care se deplasează de sarcina cazanului,
aceasta reprezentând perturbarea. Caracteristici analoge se întâlnesc la motoarele cu ardere
internă, la instalaţii din industria chimică etc.
75

76
Unele instalaţii au caracteristici extremale cu minim; o asemenea caracteristică
prezintă, de exemplu, un avion în zbor, pentru dependenţa dintre debitul de combustibil consumat
şi viteza greutăţii transportate, aceasta reprezentând perturbarea.
În unele cazuri există o dependenţă extremală a mărimii de ieşire xe în funcţie de mai
multe mărimi de intrare xm1, xm2, …xmk ale instalaţiei tehnologice; asemenea situaţii se întâlnesc
de regulă atunci când mărimea de ieşire este reprezentată de un indice complicat rezultat din
calcul, cum ar fi un consum specific, un preţ de cost etc.
Din consideraţiile introductive expuse, se constată că practica oferă un timp foarte larg
de utilizare a sistemelor optimale şi adaptive, introducerea optimizării (intr-o formă sau alta:
sistem optimal, sistem adaptiv sau sistem optimal adaptiv) conducând la importante efecte
tehnico-economice în numeroase şi variate domenii.
Capitolul 4
Siguranţa în funcţionare a sistemelor
Prin siguranţa în funcţionare, într-un sens restrâns, se înţelege capacitatea
dispozitivelor tehnice de a funcţiona fără defecţiuni în decursul unui anumit interval de timp,
în condiţii date. Se consideră funcţionare fără defecţiuni efectuarea normală de către
dispozitivele tehnice a tuturor funcţiunilor lor, în limitele toleranţelor prescrise. Totodată, se
presupune că dispozitivele considerate au o destinaţie practică care constă în îndeplinirea
operaţiei prescrise în limitele stabilite în prealabil.
Siguranţa în funcţionare este strâns legată de diferitele aspecte ale procesului de
exploatare a dispozitivelor tehnice. O importanţă mare au, în particular, problemele legate
de restabilirea proprietăţilor dispozitivelor defecte. Pentru a reuni problemele limitrofe într-o
singură grupă, a fost introdusă noţiunea siguranţa în funcţionare în sens larg — proprietate a
dispozitivului condiţionată de funcţionarea fără defecţiuni, durată de viaţă şi uşurinţa
întreţinerii dispozitivului însuşi şi a părţilor lui componente şi care asigură păstrarea
indicilor de exploatare ai dispozitivului în limitele prescrise. Adoptarea uneia sau alteia din
aceste definiţii nu influenţează esenţa metodelor de cercetare şi de creştere a siguranţei în
funcţionare.
Până în ultimul timp, prin procedee de creştere a siguranţei în funcţionare se înţelegeau
doar diferite reţete de executare şi de exploatare a uimi model concret de aparatură. Mai
înainte, o asemenea tratare, într-un oarecare sens, meşteşugărească a problemei satisfăcea
necesităţile practicii, deoarece în tehnică se foloseau relativ puţine dispozitive electronice şi
instalaţii automate, iar instalaţiile înseşi erau relativ simple.
Creşterea importanţei problemei siguranţei în funcţionare este legată de unele
particularităţi ale dezvoltării tehnicii moderne. în primul rând, există tendinţa de planificare
amănunţită a desfăşurării proceselor de producţie, care devin tot mai complexe. In al doilea
rând, se extinde tot mai mult automatizarea diferitelor procese; automatizarea devine
treptat mijlocul principal al progresului tehnic. In al treilea rând, sistemele automate
îndeplinesc sarcini tot mai importante.
In sistemele automate şi la desfăşurarea unor procese importante cu program rigid,
creşte brusc importanţa funcţionării fără defecţiuni a fiecărui dispozitiv în parte. Da
exemplu, dacă s-a defectat o maşină-unealtă, uzina are daune; dacă această maşină unealtă
este încadrată într-o linie automată, atunci daunele pot fi incomensurabil mai mari. Creşterea
importanţei siguranţei în funcţionare a dispozitivelor tehnice reiese clar din exemplul

dispozitivelor electronice. Mai înainte, ele se foloseau mai ales pentru colectarea şi
transmiterea informaţiei. Funcţionarea nesigură a acestor aparate ducea la denaturarea
informaţiei sau la întârzierea primirii ei. Acest lucru trebuia să se remedieze printr-o nouă
utilizare a dispozitivelor. Când dispozitivele electronice au început să fie folosite în
sistemele automate, cerinţele faţă de siguranţa lor în funcţionare au crescut considerabil,
deoarece în aceste sisteme un semnal greşit sau neprimit la timp nu mai poate fi corectat.
Astfel, când dispozitive tehnice separate participă la realizarea unei sarcini complexe (de
exemplu, devin verigi ale unui sistem automat) cresc considerabil cerinţele faţă de siguranţa
funcţionării lor.
Concomitent cu creşterea cerinţelor faţă de siguranţa în funcţionare a instalaţiilor
automate, progresul tehnic a fost însoţit de o serie de împrejurări «are au contribuit la
reducerea siguranţei în funcţionare a acestor instalaţii.
Creşterea complexităţii instalaţiilor automate, adică creşterea numărului de piese care
le compun, devansează considerabil creşterea calităţii acestor piese.
Instalaţiile complexe se folosesc în condiţii de exploatare tot mai dificile : solicitări
mecanice mari, interval larg de temperaturi şi presiuni, condiţii climatice nefavorabile etc.
Importanţa problemei siguranţei în funcţionare creşte de asemenea în legătură cu micşorarea
dimensiunilor şi greutăţii aparaturii şi cu utilizarea unor blocuri şi subansambluri foarte
sensibile.
Unul din motivele siguranţei în funcţionare insuficiente a instalaţiilor automate constă în
aceea că instalaţiile moderne se realizează într-un termen foarte scurt şi au o uzură morală
rapidă, ceea ce îngreunează acumularea deprinderilor de proiectare, fabricare şi exploatare
a lor.
Dacă siguranţa în funcţionare a instalaţiilor existente devine în prezent insuficientă,
atenţie şi mai mare necesită siguranţa în funcţionare a instalaţiilor viitorului. De pe acum
trebuie să se ia măsurile pentru pregătirea creării în viitor a unor instalaţii sigure.
De obicei, sînt mai vizibile rezultatele directe ale siguranţei în funcţionare insuficiente
legate de neîndeplinirea totală sau parţială de către un dispozitiv tehnic a funcţiilor care i
se impun. O importanţă foarte mare au însă şi urmările indirecte ale siguranţei în
funcţionare insuficiente: costul ridicat de exploatare care depăşeşte cu mult costul de
proiectare şi execuţie al dispozitivului tehnic, necesitatea unui nivel nejustificat de ridicat al
calificării şi al consumurilor suplimentare de muncă prestată de personalul de întreţinere,
dificultăţile legate de aprovizionarea cu piese de rezervă etc.
Complexitatea sistemelor tehnice actuale şi viitoare, multitudinea regimurilor de
funcţionare, înlocuirea rapidă a modelelor uzate moral prin altele noi, toate acestea
condiţionează necesitatea tratării teoretice generale a problemelor de creştere a siguranţei în
funcţionare a tuturor sistemelor, independent de construcţia şi destinaţia lor.
Apariţia defecţiunilor depinde de foarte multe cauze, adeseori întâmplătoare. De aceea,
teoria siguranţei în funcţionarea utilizează metode statistice de cercetare. Necesitatea acestui
fapt este condiţionată de esenţa fizică a problemei măsurării şi cercetării siguranţei în
funcţionare cu un grad de certitudine obiectivă a funcţionării fără defecţiuni a dispozitivelor.
Dacă se cunoaşte dinainte că anumite dispozitive ale sistemului automat vor funcţiona
inevitabil fără defecţiuni în timpul prescris sau se vor defecta inevitabil în acest timp, nu
are sens să se vorbească despre siguranţa în funcţionare a acestor dispozitive. Se poate
vorbi doar despre posibilitatea sau imposibilitatea creării unor astfel de dispozitive.
S-a statornicit tradiţia de a efectua cercetarea inginerească a siguranţei în funcţionare a
dispozitivelor tehnice după datele asupra defecţiunilor. Pentru aceasta se utilizează diferite
77

78
procedee de considerare a evenimentelor aleatoare numite defecţiuni. Informaţiile cu privire
la producerea defecţiunilor se prelucrează astfel încât să se poată estima siguranţa în
funcţionare a dispozitivelor şi să se traseze căile creşterii ei (cap. 1—6). O asemenea cale de
cercetare a siguranţei în funcţionare nu este unica posibilă. In cap. 7—9 este expusă o nouă
metodă de cercetare a siguranţei în funcţionare după datele apropierii de defecţiuni.
În prezent, se manifestă un interes tot mai mare pentru joncţiunea dintre ştiinţele
tehnice şi ştiinţele despre om. Chiar şi în sistemele complet automatizate omul îndeplineşte
inevitabil lucrările de servire a tehnicii. O dată cu progresul ştiinţei şi tehnicii se impun
condiţii tot mai rigide nu numai dispozitivelor tehnice, ci şi oamenilor care participă la
acţiunile efectuate. Creşte în permanenţă importanţa consecinţelor efectuării incorecte sau
la timp nepotrivit de către oameni a obligaţiilor lor. De aceea, este indicat să se ia în
considerare nu numai siguranţa în funcţionarea tehnicii, ci şi siguranţa efectuării lucrului de
către oameni, prin care se înţelege certitudinea obiectivă că lucrările de servire a tehnicii vor
fi efectuate în termenul prescris.
Studiul statistic al siguranţei în funcţionare poate fi util doar în cazul că fiecare etapă
a acestui studiu este însoţită de studierea cauzelor fizice-care provoacă unele fenomene
sau altele. Aplicarea formală a metodelor statistice de cercetare a siguranţei în funcţionare
duce de obicei la rezultate eronate.
Teoria statistică a siguranţei în funcţionare nu poate înlocui procedeele existente anterior
de cercetare şi de creştere a siguranţei în funcţionare. Ea doar le completează substanţial,
înarmează pe inginer cu noi cunoştinţe.
4.1. Noţiuni fundamentale ale teoriei statistice a siguranţei în funcţionare
Teoria siguranţei în funcţionare studiază procesele de apariţie a defecţiunilor în
dispozitivele tehnice şi procedeele de combatere a acestor defecţiuni.
Problemele de siguranţă în funcţionare examinate în continuare sînt identice sub multe
aspecte pentru orice dispozitive tehnice. De aceea, pentru generalizare, se va vorbi despre
sisteme şi despre părţile funcţionale unitare ale sistemelor — elementele. Prin sistem se
înţelege ansamblul de obiecte care funcţionează în comun în scopul realizării în mod
independent a unei anumite funcţiuni practice. Exemple de sisteme: linia de radiorelee, linia
automată, maşina-unealtă, automobilul, radioreceptorul, stiloul etc.
Termenul „element" se aplică pentru . o parte componentă a sistemului. Elementul
nu este destinat de obicei pentru o aplicaţie practică independentă în afara legăturii cu alte
clemente. Exemple de elemente: blocul radio, motorul de automobil, condensatorul,
lipitura conductorului de lamela de contact. In principiu, sistemul poate fi împărţit în orice
număr de elemente necesar pentru analiza (calculul) siguranţei în funcţionare. Împărţirea
sistemului în elemente nu poate fi însă considerată arbitrară. Fiecare element trebuie să
posede capacitatea de a îndeplini anumite funcţiuni in sistem.
Elementele unui sistem complex pot să se împartă la rândul lor în elemente de al
doilea rang, în raport cu care elementele din primul rang sînt sisteme.
Pentru a concretiza rezultatele raţionamentelor, adesea se tinde să se evidenţieze
elementele tipizate folosite în diverse dispozitive şi executate în conformitate cu norme şi
standarde (roată dinţată, releu, tub electronic, supapă etc).
Dacă nu apare necesitatea împărţirii aparaturii în elemente componente, se vor utiliza
uneori termenii de produs, dispozitiv tehnic sau pur şi simplu dispozitiv. Aceşti termeni vor
fi atribuiţi oricărei construcţii finite, destinată pentru rezolvarea unei anumite probleme
practice. Sistemul poate fi constituit dintr-unul sau mai multe dispozitive tehnice. In

expunerea care urmează, dacă va fi vorba despre un dispozitiv tehnic sau un produs, aceasta
va însemna că raţionamentele expuse sînt aplicabile în aceeaşi măsură pentru elemente şi
sisteme.
In cazul general, orice sistem poate fi reprezentat ca alcătuit practic din elemente de
două tipuri:
1) elemente electrice;
2) elemente mecanice.
În calitate de elemente electrice se consideră de obicei piesele şi produsele care au o
simbolizare independentă pe schemele electrice de principiu şi de montaj. Majoritatea
elementelor electrice sînt tipizate (tuburi electronice, condensatoare, rezistenţe, relee,
motoare electrice etc). Multitudinea elementelor electrice constituie una din cauzele apariţiei
problemei siguranţei în funcţionare a sistemelor electrice.
In cadrul elementelor mecanice pot fi separate două grupe: elemente cinematice (came,
roţi dinţate, lagăre, supape, pistoane etc.) şi elemente de fixare (suporţi, panouri, şuruburi
etc). în ultimii ani a apărut tendinţa insistentă de reducere a numărului de elemente
cinematice în aparatura de automatizare. Aceasta constituie o reflectare a tendinţei
generale de dezvoltare a tehnicii moderne pe calea reducerii pieselor în mişcare. Printre
elementele mecanice pot fi de asemenea considerate elementele sistemelor hidraulice şi
pneumatice.
Metodele expuse în cele ce urmează pot fi aplicate la studiul siguranţei în funcţionare
atât a sistemelor electrice, cît şi a celor mecanice. Deocamdată, datele experimentale sînt
acumulate intr-o măsură mai mare pentru elementele şi sistemele electromecanice şi
electronice. De aceea, exemplele care ilustrează cele expuse se vor referi mai ales la
elementele şi sistemele electrice.
Sistemele şi elementele care le compun se pot afla în două stări: în bună stare
(capabile de funcţionare) şi defecte. Orice necorespundere a elementului sau sistemelor uneia
sau mai multor condiţii prezentate se consideră defecţiune. Evenimentul care constă în
trecerea din stare de funcţionare în cea defectă se numeşte defecţiune sau ieşire din
funcţiune. Aceste două denumiri ale aceluiaşi eveniment au sensuri perfect identice. Cu alte
cuvinte, se numeşte defecţiune pierderea totală sau parţială a capacităţii de funcţionare de
către sistem (element). Defectarea (ieşirea din funcţiune) constituie un eveniment opus în
raport cu buna funcţionare (funcţionarea fără defecţiune).
Pentru fiecare tip de dispozitiv tehnic este necesar să se formuleze în prealabil criteriile
stărilor de funcţionare şi de indisponibilitate. Aceste criterii se pot schimba în funcţie de
problema examinată. De exemplu, maşina-unealtă automată se poate considera defectă dacă
este necesară: reparaţia generală, reparaţia mijlocie, reparaţia măruntă, precum şi dacă
precizia de executare a pieselor este mai mică decât cea prescrisă etc.
Fiecăreia dintre aceste formulări ale stării de indisponibilitate îi corespunde timpul
propriu pînă la apariţia defecţiunii şi, natural, o valoare corespunzătoare a caracteristicii de
siguranţă.
In unele sisteme, la defectarea unuia sau a mai multor subansambluri scade doar
întrucâtva eficienţa de utilizare a sistemului. Acest caz este examinat anterior.
In afară de cele două stări principale ale elementelor şi sistemelor indicate anterior se
pot întâlni deranjamente. Termenul „deranjament" se va utiliza pentru reprezentarea
acelor deteriorări ale dispozitivului tehnic care nu împiedică buna lui funcţionare. La
apariţia unui deranjament, dispozitivul tehnic poate fi exploatat un timp oarecare, practic
fără repercusiuni asupra sarcinilor îndeplinite. Dintre aceste deranjamente fac parte, de
79

80
exemplu, deteriorări ale unor piese de fixare, arderea unor lămpi de iluminat, deteriorarea
acoperirilor de protecţie şi decorative etc. Astfel, apariţia deranjamentelor nu constituie o
defecţiune a instalaţiei.
Trebuie să se menţioneze că împărţirea în defecţiuni şi deranjamente este
convenţională. De exemplu, arderea becului de iluminare a scalei radioreceptorului constituie
o defecţiune a acesteia, iar pentru receptorul în ansamblu care funcţionează ziua — un
deranjament.
în expunerea care urmează se vor examina numai defecţiunile elementelor şi sistemelor.
Pentru a evita confuziile de terminologie şi a sublinia sensul major al deteriorărilor
elementelor şi sistemelor, se va utiliza uneori termenul de ieşire din funcţiune.
In teoria statistică a siguranţei în funcţionare se examinează o mărime aleatoare şi
anume, timpul de funcţionare fără defecţiuni sau, ceea ce este echivalent, timpul până la
apariţia defecţiunii (ieşirii din funcţiune) elementului sau sistemului. Timpul de funcţionare
stohastic este o noţiune generalizată, într-o serie de cazuri el poate fi reprezentat prin
numărul de conectări sau numărul ciclurilor de funcţionare (relee, încercări la oboseală etc),
numărul miilor de kilometri de parcurs (materialul rulant de cale ferată, automobile).
Diferitele caracteristici ale siguranţei în funcţionare sînt de obicei caracteristicile timpului
stohastic de funcţionare al elementelor şi sistemelor.
Foarte frecvent, drept măsură cantitativă principală a siguranţei în funcţionare se
consideră probabilitatea funcţionării fără defecţiuni a elementului (sistemului) în decursul unui
timp prescris, în condiţii date. Cu alte cuvinte, siguranţa în funcţionare se exprimă prin
probabilitatea faptului că timpul T de funcţionare fără defecţiuni al elementului sau
sistemului este mai mare decât cel prescris:
p t = prob T > t
( ) { }
Uneori este comodă utilizarea noţiunii de nesiguranţă în funcţionare, adică capacitatea
elementelor şi sistemelor de a ieşi din funcţiune (de a se defecta). Drept măsură cantitativă
a nesiguranţei în funcţionare se consideră probabilitatea ieşirii din funcţiune a elementului
(sistemului) în decursul unui timp prescris, în condiţii date. Cu alte cuvinte, nesiguranţa în
funcţionare se exprimă prin probabilitatea faptului că timpul T de funcţionare fără
defecţiuni al elementului sau sistemului este mai mic decît t prescris:
q t = prob T ≤ t
( ) { }
Conform definiţiei, nesiguranţa în funcţionare este funcţie de distribuţia timpului de
funcţionare fără defecţiuni al elementului (sistemului).
Noţiunile „probabilitatea funcţionării fără defecţiuni" şi „probabilitatea defecţiunii"
se referă totdeauna la o perioadă oarecare dată a exploatării elementului sau sistemului.
După cum se ştie din teoria probabilităţilor, suma probabilităţilor evenimentelor
contrarii (funcţionarea fără defecţiuni şi defecţiunea) este egală cu unitatea:
p t + q t =
( ) ( ) 1
Funcţiile p(t) şi q(t) care intră în această relaţie se numesc: p(t) — funcţia siguranţei
În funcţionare a elementului (sistemului) şi q(t) — funcţia nesiguranţei în funcţionare
a elementului (sistemului).
Aceste denumiri subliniază integral caracterul funcţiilor p(t) şi q(t).
Graficele uneia din funcţiile posibile p ( t)
şi ale funcţiei corespunzătoare q(t) sunt
reprezentate în fig.1.1.
Să enumerăm unele proprietăţi evidente ale lui p(t);

1) se poate examina funcţionarea fără defecţiuni doar a acelor element sau sisteme care
au fost în bună stare în momentul conectării (pornirii);
2) p(t) este o funcţie de timp monoton descrescătoare;
3) p() t → 0 când t →∞
În expunerea care urmează, funcţia siguranţei în funcţionare şi funcţia nesiguranţei în
funcţionare ale elementelor vor fi notate prin literele mici p(t) şi q(t), iar aceleaşi funcţii
pentru sistem, prin literele mari P(t) şi Q(t).
Uneori, în locul funcţiei siguranţei în funcţionare p(t) se utilizează funcţia siguranţei
în stocare (conservare) Pcon (t). în acest caz, sensul probabilistic al tuturor caracteristicilor se
păstrează ca mai înainte. In expunere nu se va face distincţie între noţiunile siguranţă în
funcţionare şi siguranţă în stocare (conservare), iar precizarea corespunzătoare se va face la
aplicarea practică a teoriei expuse.
81

82
CAPITOLUL 5
LUCRĂRI DELAORATOR
MEDIUL DE SIMULARE MATLAB-SIMULINK; BIBLIOTECILE STANDARD
SIMULINK
1. Scopul lucrării
Lucrarea are ca scop iniţierea în utilizarea mediului de simulare MATLAB-SIMULINK,
familiarizarea cu principalele biblioteci ale acestuia şi realizarea unor modele simple.
2. Noţiuni teoretice
Mediul de simulare MATLAB-SIMULINK (MS) este un produsprogram, aplicaţie
Windows, cu facilităţi importante, permiţând obţinerea unor modele precise ale unor sisteme
complexe. El utilizează infrastructura” de calcul a MATLAB, respectiv organizarea matriceală a
variabilelor. Principalul avantaj al MS este interfaţa comodă cu utilizatorul, acesta având la
dispoziţie blocuri ce realizează diferite funcţii: matematice, de conectare, de vizualizare etc. Prin
interconectarea acestora, pe baza modelelor matematice ale sistemelor simulate, se construiesc
modele complexe. La rândul lor, acestea pot fi grupate, creându-se noi blocuri, ce pot fi în
continuare interconectate.
Blocurile sunt organizate în biblioteci (Library) denumite Toolbox sau Blockset.
Descrierea modului de lansare MS şi a componenţei bibliotecilor se va realiza considerându-se
varianta MATLAB_Release_11.1 (5.3) şi SIMULINK_3. Deschiderea bibliotecii SIMULINK se
face făcând click pe butonul Simulink Library Browser din fereastra Matlab (fig. 1) sau dând
comanda simulink în fereastra Matlab (posibilitate de a lansa Simulink şi în versiunile anterioare
– Matlab 4.x).
Fig. 1 Fereastra Matlab şi lansarea Simulink
Va fi deschisă o nouă fereastră, fig. 2, în care apar toate bibliotecile instalate. Bibliotecile de bază
Simulink sunt Simulink şi Simulink Extras.

Fig. 2 Fereastra Simulink Browser
Fig. 3 Detalierea bibliotecilor şi
deschiderea unui model nou
Detalierea conţinutului fiecărei biblioteci se face fie cu click pe „+”, ob_inându-se lista fiecărei
biblioteci (fig. 3), fie (recomandabil) cu clickdreapta pe bibliotecă şi deschiderea bibliotecii,
obţinându-se o nouă fereastră, fig. 4. Deschiderea unui nou model se face făcând click pe butonul
„New” al ferestrei Simulink Browser (fig. 3) sau al oricărei ferestre noi Simulink.
Fig. 4 Biblioteca Simulink
Principalele biblioteci din structura de bază a MATLABSIMULINK, ce pot fi accesate
prin dublu click cu butonul din stânga al mouse-ului, sunt:
• Sources - blocuri ce reprezintă surse de semnale (sinusoidal, constant, generator de
semnal " ş.a.), fig. 5.a;
• Sinks - blocuri de vizualizare a semnalelor (Scope - "Osciloscop", XY Graph -
"Osciloscop grafic", etc.), fig. 5.b. Pot fi modificate rezoluţiile pe verticală şi orizontală,
în funcţie de domeniile semnalelor vizualizate;
• Continuous - blocuri de calcul continuu, fig. 5.c, cele mai importante fiind Integratorul
şi Memory.
• Math - operaţii matematice fig. 5.d, (sumator, produsul a douăvariabile, multiplicare cu o
constantă), funcţii trigonometrice, funcţii Matlab ".a.);
• Signals & Systems - blocuri de conectare fig. 5.e (multiplexor,demultiplexor, selector de
semnale, ground-„mas)”, terminator-„ieşire neconectat” )
83

84
Pentru evitarea avertismentelor (Warnings) Matlab la executarea une isimulări, intările
neutilizate ale blocurilor din model trebuie conectate la„masă”, iar ieşirilor li se conectează
terminatoare.
Crearea unui model nou se realizează într-o fereastră nouă.
Deschiderea unei noi ferestre de modelare se poate face în mai multe moduri echivalente: click pe
butonul „New” al ferestrei Simulink Browser sau al oricărui nou model (ferestre noi de modelare),
meniul File-New…-Model al oricărei ferestre de bibliotecă, shortcut Ctrl+N în orice fereastră de
bibliotecă.
Plasarea blocurilor în noua schemă se realizează prin “drag”-area ="tragerea" acestora şi
apăsarea butonului din stânga al mouse-ului pe blocul necesar şi poziţionarea blocului în noua
schemă. Unele blocuri au posibilitatea actualizării parametrilor, aceştia având valori implicite
pentru blocurile luate din biblioteci. Făcând dublu click pe fiecare bloc, se va deschide o fereastră
de dialog în care se introduc noile valori aleparametrilor blocului respectiv.
Interconectarea blocurilor se realizează prin unirea (cu butonul din stânga apăsat) al unei "borne"
de ieşire a unui bloc cu o „bornă” de intrare a altui bloc ( urmăriţi modificarea tipului de cursor
pentru a vedea când poate fi eliberat butonul mouse-ului). Un punct de conexiune (conectarea
unei ieşiri la intrările mai multor blocuri) se realizează făcând click dreapta pe prima legătură şi
“drag” spre celelalte intrări.
a) Sources b) Sinks c) Continuous;
d) Math e) Signals & Systems
Fig. 5 Principalele biblioteci Simulink

Pentru realizarea unui bloc nou se selectează blocurile ce vor fi grupate (încadrarea într-o
fereastră definită cu butonul din stânga apăsat) şiapelarea comenzii corespunzătoare (meniul Edit-
Create Subsystem). Noului bloc îi pot fi modificate numele, masca - meniul Edit-Mask Subsystem
(nume bloc, numele noilor ferestre de actualizare a parametrilor, asocierea parametrilor formali
cu valorile de intrare, textul corespunz)tor butonului "Help").
După realizarea schemei bloc corespunzătoare modelului mathematic se plasează blocurile de
vizualizare (cel mai frecvent Scope-„Osciloscop” din biblioteca Sinks). Acestea trebuie activate
(dublu click), deschizându-se fereastra ce conţine ecranul osciloscopului (fig. 6.a), putându-se în
acest moment modifica configurarea osciloscopului. Pentru aceasta:
• se face click-dreapta în fereastra osciloscopului, deschizându-se o casetă de dialog în care
se selectează Axes properties…, deschizându-se o nouă fereastră (fig. 6.b) în care se pot
defini domeniul axei y a osciloscopului şi numele semnalului vizualizat;
• se face click pe butonul Properties (fig. 6.a), deschizându-se fereastra de dialog (fig. 6.c)
în care se poate selecta numărul de axe al osciloscopului şi baza de timp (Time range).
a) fereastra principal) b) Proprietăţ (click dreapta)
c) Proprietăţi (butonul Properties)
Fig. 6 Ferestrele osciloscopului
În cazul creşterii numărului de axe, blocul Scope din schemă îşi va modifica în mod
corespunzător numărul de intrări. În acest caz, fiecare semnal va fi vizualizat în câte un sistem de
axe, al aceluiaşi osciloscop. Pentru a vizualiza mai multe semnale în acelaşi sistem deaxe,
semnalele vor fi multiplexate (conectate la intrările unui bloc Mux, ieşirea acestuia conectându-se
la un osciloscop având un singur sistem de axe.
85

86
După realizarea modelului se selectează parametrii simulării (meniul Simulation–Parameters…,
fig. 7): momentul începerii simulării (Start time), durata simulării (Stop time), metoda de
integrare (Solver options), pasul maxim de integrare (Max step size), eroare (Relative tolerance).
Fig. 7 Fereastra pentru modificarea parametrilor simulării
În ceea ce priveşte metoda de integrare, Simulink prezint) iniţial în fereastra de modificare
a parametrilor simulării metoda implicit aleasă în funcţie de structura modelului. Aceasta poate fi
schimbată, alegându-se între o metodă cu pas variabil de integrare şi una cu pas fix. Metoda de
integrare cu pas variabil implicit aleasă este ode45, ceea ce constituie metoda de integrare Runge-
Kutta de ordinul 5, ce oferă rezultate bune pentru majoritatea modelelor continui. Metodele de
integrare cu pas fix sunt variante ale celor cu pas variabil.
Pentru mai multe detalii privind metodele de integrare, a se vedea manualul Simulink în format
PDF „Using Simulink” aflat în MatlabR11\help\pdf_doc\simulink\sl_using.pdf, pag. 4.11.
Lansarea în execuţie se face făcând click pe butonul Start din toolbar- ul ferestrei modelului, sau
din meniul Simulation-Start, sau cu shortcutul Ctrl+T.
Salvarea unui model SIMULINK se poate realiza cu comanda din meniul File-Save As...,
specificându-se directorul şi numele sub care va fi salvat.
3. Chestiuni de studiat
Se vor identifica principalele biblioteci ale Simulink (localizare, componenţă), modul de
modificare a parametrilor impliciţi ai blocurilor şi efectele asupra structurii şi comportamentului
unui model.
Se vor realiza modele simple, urmărindu-se familiarizarea cu utilizarea şi configurarea
blocurilor de vizualizare.
4. Modul de lucru
După lansarea Matlab (Start-Programs . sau iconul pe desktop)se verifică existentă în
căile de căutare Matlab (fereastra Path) a directorului propriu de salvare şi selectarea acestei căi
drept cale curentă (fereastra Current Directory).

Nu faceţi salvări decât în directorul propriu de lucru!
Se deschide Simulink (fig. 1, fig. 4) şi un model nou (fig. 3).
A. Se realizează modelul din fig. 8. Localizarea blocurilor este:
• Signal generator – Sources;
• Gain – Math;
• Integrator – Continuous;
• Scope – Sinks.
Se selectează:
din meniul Simulation-Parameters:
• timpul final al simulării (Stop time) [s]: 100;
• metoda de integrare: ode45;
• pasul maxim de integrare (Max step size) [s]: 0.0001;
din Scope-Properties:
• baza de timp a osciloscoapelor (Time range) [s]: 10.
Fig. 8 Schema L_1 de simulare
Se lansează simularea şi se modifică în timpul rulării acesteia, observându-se efectele:
• forma de und) a generatorului de semnal;
• amplitudinea semnalului;
• unitatea de m)sur) a frecven_ei semnalului generat;
• frecvenţa semnalului;
• amplificările blocurilor Gai şi Gain1;
• scalarea osciloscoapelor.
Se va modifica schema simulării pentru vizualizarea ambelor semnale în aceeaşi fereastră de
osciloscop, utilizând pe rând două sisteme de axe (Scope-Properties…), respectiv un bloc Mux
pentru multiplexarea ambelor semnale într-un singur osciloscop cu un canal.
Se vor urmări efectele schimbării proprietăţilor blocurilor cu ajutorul meniului Format (fig. 9):
87

88
Font… - tip "i dimensiune caractere
Flip Na me
Hide Name
Flip Block
Rotate Block
Show Drop Shadow
Foreground Color – linie contur
Background Color – umplere bloc
Sample Time Colors
Wide Vector Lines
Vector Lines Widths
Port Data Types
Se va salva modelul realizat.
Se urmăreşte funcţionalitatea altor blocuri din bibliotecile Simulik.
Fig. 9 Meniul „Format”
B. Se va urmări funcţionarea modelelor demonstrative ale Simulink (Demos-Simple Model şi
Complex Models) modificând parametrii blocurilor şi urmărind efectele asupra funcţionării
modelelor.
5. Conţinutul referatului
titlul lucrării;
scopul lucrării;
bibliotecile Simulink "i blocurile utilizate în modelele realizate.

1. Scopul lucrării
BIBLIOTECA POWER SYSTEM BLOCKSET.
ELEMENTE, FACILITĂŢI, UTILIZARE.
Lucrarea are ca scop iniţierea în utilizarea bibliotecii Power System Blockset.
2. Noţiuni teoretice
Biblioteca Power System Blockset este una din bibliotecile ce pot fi deschise din fereastra
Simulink Library Browser (Lucrarea 1, fig. 2). Ea conţine elemente specifice domeniului
electrotehnic, fiind organizată în mai multe sub-biblioteci (fig. 1).
Fig. 1 Biblioteca Power System Blockset
Nu se va insista pe componenţa fiecărei sub-biblioteci, aceasta fiind uşor de identificat
prin deschiderea fiecăreia dintre ele făcând dublu-click pe iconul acesteia. Utilizarea blocurilor
din sub-biblioteci este similară blocurilor Simulink în ceea ce priveşte interconectarea lor. Există
însă specificităţi ce se referă în principal la sursele utilizate şi vizualizarea rezultatelor. Ca surse
de alimentare trebuie utilizate sursele din subbiblioteca Electrical Sources. Nu mai este posibilă
utilizarea surselor din biblioteca Simulink-Sources. Pentru vizualizarea rezultatelor, pot fi utilizate
osciloscoapele din biblioteca Simulink-Sinks, dar acestea nu pot fi conectate direct pe liniile de
conexiune din model, ci doar prin intermediul unor blocuri de măsură de tensiune, de curent sau
de impedanţă, preluate din subbiblioteca Measurements. O facilitate importantă o reprezintă
blocul Multimeter. Fizic, acest bloc nu are nici o intrare, dar preluarea sa într-un model face
posibilă ca prin interfaţa lui (accesată prin dublu-click pe bloc) să poată fi selectate semnalele ce
vor fi vizualizate, din lista tuturor semnalelor disponibile. Această listă este constituită prin
89

90
concatenarea tuturor măsurătorilor selectate prin masca blocurilor utilizate în care a fost selectată
opţiunea Measurements.
De exemplu, pentru puntea universală (Universal Bridge) aflată în sub-biblioteca Power
Electronics, pot fi selectate ca şi măsurători (fig. 2):
_tensiunile ce solicită elementele semiconductoare;
curen_ii prin elementele semiconductoare;
tensiunile de linie (de intrare sau ieşire, în funcţie de configuraţia
selectată) şi tensiune din circuitul de c.c.
toate tensiunile şi curenţii.
Fig. 2 Selectarea semnalelor de ieşire de măsură ale unui bloc
Selectarea primei opţiuni (Device voltages) va face ca la deschiderea interfeţei de configurare a
blocului Multimeter aflat în acelaşi model cu puntea universală, să se poată selecta care anume
semnale (fig. 3) să fie vizualizate de către osciloscopul conectat la ieşirea blocului Multimeter.
rotorului (wm), fig. 7.

Fig. 6 Masca blocului AC Voltage
Source1
Fig. 7 Masca blocului Machines
Measurement Demux
Se selectează metoda de simulare cu pas variabil ode23tb, pasul maxim de simulare 0.0001 [s].
Se porneşte simularea, iar după atingerea regimului staţionar în gol (Tm = 0), se modifică în
timpul simulării parametrul blocului Constant (cuplul static aplicat la arbore) urmărind evoluţia
vitezei.
Se urmăreşte influenţa parametrilor maşinii asincrone asupra comportării acesteia pe durata
pornirii.
Se selectează şi alte mărimi de vizualizat prin intermediul măştii blocului Machines Measurement
Demux şi se reiau simulările.
5. Continutul referatului
titlul lucr&rii;
scopul lucr&rii;
blocurile din componenţa fiec&rei sub-biblioteci;
observaţii.
91

92
Fig. 3 Selectarea semnalelor de vizualizat prin masca blocului
Measurements
3. Chestiuni de studiat
A. Se vor identifica blocurile din componenţa sub-bibliotecilor Power System Blockset şi
parametrii setabili prin masca acestora.
B. Se va realiza un model simplu utilizând blocuri din componenţa Power System Blockset.
4. Modul de lucru
A. După deschiderea Simulink Library Browser, se deschide Power System Blockset (clickdreapta).
Se deschide un model nou şi se preiau succesiv în acesta blocuri din componenţa
sub-bibliotecilor. Se urmăresc parametri ce pot fi modificaţi prin masca blocurilor. Se
urmăreşte funcţionarea modelelor demonstrative ale bibliotecii (dublu click pe butonul Demos
din bibliotec&).
B. Se realizează un model simplu (fig. 4) al pornirii prin cuplare directă la reţea a unui motor
asincron. Localizarea blocurilor în sub-bibliotecile Power System Blockset şi Simulink este
urm&toarea:
AC Voltage Source, AC Voltage Source1,
AC Voltage Source2 blocuri AC Voltage Source în Electrical
Sources;
Asynchronous Machine SI Units bloc Asynchronous Machine SI
Units în Machines;

Fig. 4 Modelarea pornirii prin cuplare directă la reţea a motorului
asincron cu rotorul în scurtcircuit
Machines Measurement Demux bloc Machines Measurement Demux
în Machines;
Voltage Measurement bloc Voltage Measurement în
Measurements;
Constant bloc Constant în Sources din
Simulink;
Scope, Scope1, Scope2 blocuri Scope în Sinks din Simulink.
În continuare se vor face câteva observaţii referitoare la parametrii modelelor preluate din
sub-bibliotecile Power System Blockset:
Asynchronous Machine SI Units – varianta implicit& (preluat& din subbiblioteca
Machines) reprezintă modelul unui motor asincron cu rotor bobinat. Pentru a utiliza modelul unui
motor asincron cu rotorul în scurt-circuit, prin masca blocului se va modifica tipul de rotor
(parametrul „Rotor type”), selectându-se tipul „Squirell-cage” (fig. 5). Restul parametrilor vor fi
menţinuţi, cu excepţia frecvenţei nominale.
Se va observa tensiunea nominal& a motorului L-L volt. [Vrms] (Line to line voltage) –
Tensiunea nominal& de linie (valoarea eficace) = 220V.
93

94
Fig. 5 Masca blocului Asynchronous Machine
SI Units
Sursele AC Voltage Source, AC Voltage Source1, AC Voltage Source2 trebuie să formeze
un sistem trifazat simetric de tensiuni având valoarea eficace a tensiunii de linie egală cu
tensiunea nominală a motorului. Cum prin masca acestor blocuri se solicită valoarea de vârf a
tensiunii (Peak Amplitude), iar aceste surse reprezintă tensiunile de fază ale sistemului trifazat,
220
rezultă că valoarea de vârf a acestora va trebui să fie 2 ,
adică: sqrt(2)*220/sqrt(3), cu defazaj între ele de 120º (AC Voltage Source: 0, AC Voltage
Source1: -120, AC Voltage Source2: 120) şi frecven_a de 50 Hz. În fig. 6 este exemplificată
masca blocului AC Voltage Source1.
Machines Measurement Demux – varianta implicită (preluată din subbiblioteca
Measurements) reprezintă demultiplexorul de măsură corespunzător motorului sincron simplificat
(Simplified synchronous).
Prin masca blocului se va alege varianta corespunzătoare motorului asincron (Machine type:
Asynchronous) şi vizualizarea doar a curenţilor statorici (is_abc) şi a vitezei
3

SIMULAREA UNUI CIRCUIT REDRESOR ŞI FILTRU LC
1. Scopul lucrării
Lucrarea are ca scop simularea unui redresor monofazat necomandat, a unui circuit de
filtrare L-C şi o sarcină rezistivă. Se vor realiza modelele Matlab-Simulink (blocuri Simulink) şi
modelul utilizând biblioteca Power System Blockset. Se vor compara modalităţile de obţinere a
modelelor, timpii de execuţie, rezultatele obţinute.
2. Noţiuni teoretice
Se va considera un redresor monofazat bialternanţă necomandat urmat de un filtru L-C, ce
are o sarcină rezistivă. Ca scheme practice de redresoare, este cazul redresorului monofazat cu
punct median sau a redresorului monofazat în punte. Considerând cea de-a doua variantă, schema
sistemului ce trebuie simulat este prezentată în fig. 1. Rezistorul R corespunde rezisten'ei bobinei
de filtrare L
.
Fig. 1 Schema redresorului monofazat cu filtru L-C şi sarcină
rezistivă
Neglijând comutaţiile aferente redresorului, ecua,iile ce caracterizează funcţionarea circuitului
sunt urmă toarele:
u d = us
(1)
i L = iC
+ is
(2)
diL
Ri L + L + uc
dt
= ud
(3)
duc
ic
= C
dt
(4)
uC
is
=
R
(5)
Se va considera ca variabilă de stare tensiunea pe condensatorul C, uC. Ecuaţia diferenţială ce
descrie evoluţia acesteia se ob,ine înlocuind (4) şi (5) în (2):
duC
uC
iL
= C +
(6)
dt R
95

96
Derivând (6) în raport cu timpul şi înlocuind atât rezultatul cât şi (6) în (3) se obţine ecuaţia
diferenţială ce descrie evoluţia tensiunii uC:
d u ⎛ L ⎞ du ⎛ R ⎞
LC + =
dt ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
C + ⎜ RC +
R ⎟
2
s
C +
dt ⎜
⎜1
us
R ⎟
s
ud
Pentru realizarea modelului Simulink al sistemului propus, trebuie explicitată derivata de ordin
cel mai mare al variabilei de stare uC:
2
d u ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤
C 1
L duC
R
= ⎢u
− ⎜ + ⎟ − ⎜ + ⎟
d RC
1 uc
⎥ (8)
2
dt LC ⎣ ⎝ Rs
⎠ dt ⎝ Rs
⎠ ⎦
3. Chestiuni de studiat
Se vor realiza modelele Simulink şi Power System Blockset ale redresorului monofazat
bialternanţă cu filtru LC şi sarcină rezistivă. Se vor compara rezultatele simulărilor şi se va
urmări influenţa valorilor parametrilor filtrului asupra comportării sistemului.
4. Modul de lucru
4.1. Modelul Simulink
Se va realiza un model general, ce să poată fi utilizat indiferent de valorile parametrilor
circuitului. Pentru aceasta, modelul Simulink va fi realizat cu parametri formali, respectiv va fi
implementată ecuaţia literală (8). Înainte însă de a fi pornită simularea, valorile numerice ale
parametrilor circuitului (R, L, C, Rs) vor trebuie iniţializate în spaţiul Matlab.
Se deschide un model nou Simulink şi se realizează schema din fig.2.
Fig. 2 Modelul Simulink al redresorului monofazat cu filtru L-C şi sarcină rezistivă
(7)

-
Localizarea blocurilor în sub-bibliotecile Simulink este următroarea
Us bloc Sine Wave în Sources
Abs bloc Abs (modul) în Math;
I Integrator, Integrator1, … blocuri Integrator în Continuous;
Sum, Sum1 blocuri Sum în Math;
Mux, Mux1 blocuri Mux în Signals&Systems;
C, 1/Rs, 1/LC, … blocuri Gain în Math;
Tensiuni, Curenti blocuri Scope în Sinks.
Parametrii blocului Us se vor seta:
amplitudine: sqrt(2)*220
frecvenţă [rad/sec]: 314.
La ieşirea blocului Abs se obţine tensiunea redresată ud.
La ieşirea blocului 1/LC se obţine membrul drept al ecuaţiei (8). Integrând de două ori se
obţine mărimea de stare uC. Curenţii prin condensator iC, prin bobină iL şi prin sarcină is se
calculează pe baza relaţiilor (4), (2), respectiv (5).
Blocurile Gain realizează funcţiile descrise de numele lor.
Toate integratoarele vor avea condiţii iniţiale nule.
Osciloscoapelor li se vor selecta următoarele proprietăţi:
Scope Time ranger Ymin/zmax
Tensiuni 0,1 -400/400
Curenţi 0,1 -2/12
Ca metodă de integrare (meniul Simulation-Parameters…), se va alege metoda cu pas
variabil ode45, pasul maxim de integrare impunânduse 0.0001 [s], iar timpul final (Stop time) 0.1
[s]. Pasul maxim de 0.0001 a fost ales pentru a putea urmări evoluţia semnalelor în timpul
simulării.
După realizarea modelului, acesta se salvează într-un fişier de tipul mdl, de exemplu L_4.mdl, în
directorul propriu de lucru, şi se închide. Se creează apoi în directorul propriu de lucru un fişier
Matlab (de tip .m), de exemplu l4.m, în care se iniţializează valorile parametrilor circuitului.
Acesta va con'ine liniile:
R=0.1;
L=0.2;
C=0.0002;
Rs=25;
L_4;
La tastarea, în fereastra Matlab, a numelui acestui fişier (l4), se vor încărca în spaţiul Matlab
valorile parametrilor elementelor din circuit, ultima linie a fişierului determinând deschiderea
modelului L_4.mdl. Având valorile iniţializate, se poate acum porni simularea (butonul Start).
Se va urmări, în timpul simulării, evoluţia mărimilor. Rezultatele pentru valorile parametrilor de
mai sus sunt cele din fig.3.
97

98
Fig. 3 Rezultatele rulării modelului din fig.2
4.1. Modelul Power System Blockset
Sistemul din fig. 2 poate fi simplu simulat utilizând blocuri din biblioteca Power System
Blockset. Într-o fereastră nouă Simulink se realizează schema din fig. 4 ce se va salva cu un alt
nume decât L_4 (exemplu L_4_psb).
Fig. 4 Modelul PSB al redresorului monofazat cu filtru L-C şisarcină rezistivă
Localizarea blocurilor în sub-bibliotecile PSB şi Simulink este următoarea:
220V 50Hz bloc AC Voltage Source în Electrical Sources;
T1 bloc Linear Transformer în Elements;
200 mH, 0.1 ohmi bloc Series RLC Branch în Elements;
25 ohmi 200uF bloc Parallel RLC Branch în Elements;
us, ud, uc blocuri Voltage Measurement în Measurements;
Multimeter bloc Multimeter în Measurements;
Mux bloc Mux în Signals&Systems;

Tensiuni, Curenti blocuri Scope în Sinks.
Se vor modifica parametrii blocurilor la următoarele valori:
AC Voltage Source Peak Amplitude: sqrt(2)*220 Frequency [Hz]: 50
T1 Nominal power and frequency: [2000 50]
Winding 1 parameters: [220 0.03 0.02]
Winding 2 parameters: [220 0.03 0.02]
Winding 3 parameters: 0
Magnetization resistance …: [25 25]
Universal Bridge Number of bridge arms: 2
Port configuration: ABC as inputs terminals
Snubber resistance: 250
Snubber capacitance: 0.1e-6
Power electronic device: Diodes
Ron: 0.01
Lon: 0
Forward voltage: 0.8
Measurements: Device currents
200 mH, 0.1 ohmi Resistance: 0.1
Inductance: 0.2
Capacitance: inf
Measurement: Branch current
25 ohmi 200uF Resistance: 25
Inductance: inf
Capacitance: 0.0002
Ca metodă de integrare (meniul Simulation-Parameters…), se va alege metoda cu pas variabil
ode23tb, timpul final (Stop time) 0.1 [s]. Pasul maxim şi cel iniţial nu vor fi modificaţi faţă de
valoarea implicită auto.
Cele două osciloscoape vor avea aceleaşi setări ca şi cele din modelul Simulink (pot fi copiate din
modelul Simulink).
Rezultate ale rulării modelului sunt prezentate în fig. 5.
Fig. 5 Rezultatele rul_rii modelului PSB din fig.4
Se vor observa diferenţele în ceea ce priveşte timpul de execuţie ale celor două modele (Simulink
şi PSB) şi facilităţile modelului PSB (evidenţierea comutaţiilor din redresor, posibilităţile de
vizualizare a semnalelor).
Se vor compara rezultatele obţinute cu cele două modele.
99

100
Se va studia răspunsul sistemului, pentru diferite valori ale parametrilor electrici (L, R, C, Rs).
5. Conţinutul referatului
titlul lucrării;
scopul lucrării;
comparaţie între rezultatele ob'inute cu cele două modele;
observaţii privind influenţele valorilor parametrilor electrici asupra comportării
sistemului.

MODELAREA ŞI SIMULAREA SISTEMELOR ELECTROMECANICE
Modele MATLAB-SIMULINK pentru surse utilizate în sistemele de acţonare
cu motoarte de c.c; modelul motorului de c.c.
1. Scopul lucrării
Lucrarea are ca scop realizarea modelelor Simulink ale unui represor monofazat complet
comandat, unui variator de tensiune continuă şi a motorului de c.c. cu excitaţie separată, precum
şi interconectarea fiecăreia dintre surse cu modelul motorului.
2. Noţiuni teoretice
2.1. Redresorul monofazat complet comandat
Indiferent de tipul redresorului monofazat complet comandat (cu punct median sau în
punte), expresia valorii instantanee a tensiunii redresate este:
⎧us
ωt
∈(
α,
π + α)
⎫
ud
= ⎨
⎬
(1)
⎩−
us
ωt
∈ ( π + α,
2π
+ α)
⎭
Unde, us este valoarea instantanee a tensiunii alternative de alimentare.
Reprezentarea grafică a expresiei (1) este chiar forma de undă a tensiunii redresate, fig. 1.
Fig. 1 Forma de undă a tensiunii la ieşirea
unui represormonofazatcomplet comandat
2.2. Variatorul de tensiune continuă
În regim de curent neîntrerupt, forma de undă a tensiunii la yesera unui VTC este (fig. 2)
o succesiune de pulsuri dreptunghiulare de amplitudine constantă (tensiunea de c.c. de
alimentare).
101

102
Fig. 2 Forma de undă a tensiunii la ieşirea unui variator
de tensiune continu
Valoarea medie a tensiunii poate fi reglată fie prin modificarea duratei pulsurilor,
frecvenţa fiind constantă, fie păstrând constantă durata pulsurilor, prin modificarea frecvenţei de
comandă.
2.3. Motorul de c.c. cu excitaţie separată
Ecuaţia de tensiune a circuitului indusului unei maşini de c.c. cu excitaţie separată este:
did
ud
= Ra
⋅ia
+ L + e
(2)
dt
în care:
ud – valoarea instantanee a tensiunii de alimentare;
id – valoarea instantanee a curentului din circuitul indusului;
Ra, L – rezistenţa, respectiv inductivitatea totală din circuitul indusului,
L = La + Lf
La – inductivitatea indusului;
Lf – inductivitatea de filtrare;
e – tensiunea electromotoare,
e k Φω (3)
k Φ – constanta t.e.m. = MN/IN
ω – viteza unghiulară a rotorului.
Modelul motorului de c.c. cu excitaţie separată se obţine integrand did/dt din (2), ţinând cont şi de
(3), la care se adaugă expresia cuplului dezvoltat
m k Φid (4)
şi ecuaţia generală a mişcării considerând momentul total de inerţie la arborele motorului, J, ca
fiind constant
dω
m = ms
+ j
(5)
dt

3. Chestiuni de studiat
Se vor realiza modelele Simulink ale
redresorului monofazat complet comandat;
variatorului de tensiune continuă;
motorului de c.c. cu excitaţie separată.
Se vor realiza succesiv modelele sistemelor de acţionare cu motor de c.c. cu excitaţie
separată şi redresor comandat respectiv VTC, urmărindu-se influenţa modificării unghiului de
comandă (redresor), a factorului de comandă (VTC), a valorii bobinei de filtrare.
4. Modul de lucru
4.1. Modelul redresorului monofazat complet comandat
Într-o fereastră nouă Simulink se va realiza modelul din fig. 3.
Fig. 3 Modelul Simulink al redresorului monofazat
complet comandat
Comutatorul Switch transferă la ieşire una din cele două intrări (us, -us), în funcţie de
semnul intrării de comandă, asigurând realizarea expresiei (1). Semnalul de comandă se obţine
din aceeaşi tensiune de alimentare alternativă us, decalată în timp cu unghiul de comandă α. Cum
a doua intrare a blocului Variable Transport Delay (prin care se controlează unghiul de comandă
α) are dimensiune de timp, blocul grd-t realizează transformarea grade-timp corespunzătoare
frecvenţei de 50 Hz a tensiunii us.
Localizarea blocurilor în bibliotecile Simulink este:
us bloc Sine Wave în Sources;
Fcn bloc Fcn în Functions&Tables;
Switch bloc Switch în Nonlinear;
Alfa bloc Constant în Sources;
grd-t bloc Gain în Math;
ud bloc Scope în Sinks.
Se vor seta parametrii osciloscopului şi ai simulării astfel încât să se poată urmări în
timpul simulării influenţa modificării unghiului de comandă asupra formei de undă a tensiunii ud.
4.2. Modelul variatorului de tensiune continuă
103

104
Se poate realiza cel mai simplu preluând blocul Pulse Generator din Sources. Prin masca
acestuia (fig. 4) se pot modifica:
Fig. 4 Masca blocului Pulse Generator
perioada de comandă;
factorul de comandă;
amplitudinea (valoarea tensiunii de alimentare).
4.3. Modelul motorului de c.c. cu excitaţie separată
Într-o fereastră nouă Simulink se va realiza modelul motorului de c.c. cu excitaţie separată
descris de ecuaţiile (2), (3), (4) şi (5), ca în fig. 5.
Fig. 5 Modelul Simulink al motorului de c.c. cu excitaţie separată
Toate blocurile utilizate au fost localizate în sub-bibliotecile Simulink pe parcursul lucrărilor
desfăşurate anterior, cu excepţiile următoare:
blocurile ud şi ms – blocuri de tip Input (In1);
blocurile id şi omg – blocuri de tip Output (Out1), toate patru din sub-biblioteca
Signals&Systems.
Blocul lim_0 (de tipul Saturation în Nonlinear) realizează limitarea inferioară la „0” (zero) a
curentului id, ţinând cont de restricţiile fizice ale sistemelor de acţionare cu m.c.c. şi redresor
comandat sau VTC, ce nu pot asigura, datorită elementelor semiconductoare, decât curent pozitiv.
Pragurile de limitare ale blocului vor fi setate la: Upper limit: inf; Lower limit: 0.

Ca valori concrete al parametrilor, se vor utiliza datele uneia din maşinile de c.c. utilizate în
cadrul lucrărilor de laborator de la disciplina
„Maşini electrice”. Un set posibil de valori este:
Ra = 0.66 [Ω];
Lt = Lf + La = 0.1 [H];
J = 0.21 [kgm 2 ];
k Φ= 1.39 [Wb].
Se vor simula (metoda de integrare ode45) diferite regimuri de pornire, prin modificarea
valorii tensiunii de alimentare ud (de la 0 la220 V) şi a cuplului static ms (MN aprox. 17 Nm),
urmărindu-se de fiecare dată evoluţiile curentului şi vitezei.
4.4. Modele ale sistemelor de acţionare cu motor de c.c.
Se vor interconecta succesiv modelele motorului de c.c. cu excitaţie separată cu modelele
redresorului monofazat complet comandat şi al variatorului de tensiune continuă. Se va urmări
influenţa asupra răspunsului şi comportării a modificării unghiului de comandă (redresor), a
factorului de comandă (VTC), a cuplului static, a valorii inductivităţii de filtrare.
Se vor alege convenabil parametrii simulării şi ai osciloscoapelor, pentru a se putea
urmării în timpul simulării diferitele influenţe.
5. Conţinutul referatului
titlul lucrării;
scopul lucrării;
parametrii motorului de c.c.;
observarii.
105

106
1. Scopul lucrării
SIMULAREA UNUI BRAŢ MANIPULATOR
Lucrarea are ca scop realizarea şi utilizarea modelului Matlab-Simulink al unui braţ
manipulator. Se va urmări evoluţia sistemului la modificările parametrilor acestuia şi ale
stimulilor externi (foreţe cupluri).
2. Noţiuni teoretice
Braţul manipulator ce va fi simulat este prezentat schematic în fig. 1.
Fig. 1 Braţ manipulator
Robotul manipulator este format din douăsegmente articulate între ele. Primul poate realiza
doar o mişcare de translaţie pe direcţia axei Ox, sub acţiunea forţei F. Cel de al doilea poate
executa doar o mişcare de rotaţie dupăaxa Oz (perpendicularăpe planul xOy), sub acţiunea
cuplului motor M. În figurăau fost notate:
a – poziţia centrului de greutate al primului segment;
x1 – coordonata centrului de greutate al primului segment (y1, θ1 ≡0);
b – poziţia centrului de greutate al celui de-al doilea segment;
x2, y2 – coordonatele centrului de greutate al celui de-al doilea segment;
θ2 – unghiul dintre cel de al doilea segment şi verticală.
Sistemul, având douăgrade de libertate, poate fi caracterizat prin douăvariabile
independente. Se vor considera ca variabile de stare mărimile x1şi θ2. Toate celelalte variabile
pot fi exprimate în funcţie de acestea astfel:
y1≡0;
θ1≡0;
x2 =x1+b sinθ2+a;
y2 =-b cosθ2
este:
Ecuaţia diferenţialăce caracterizeazăevoluţia sistemului sub acţiunea stimulilor externi
..
..
.
[M ( x )] ⋅[
x]
+ [H(x, x)]
× [ x]
+ [g(
x)]
= [ G ( x)]
⋅[
u] ,
(1)

în care:
⎡x1
⎤
[] x = ⎢ ⎥
⎣θ
2⎦
-vectorul variabilelor de stare;
⎡ ⎤ [] ⎢
⎣
⎥
⎦
..
x , x -derivatele de ordinul întâi, respectiv al doilea ale vectorului variabilelor de stare;
⎡m
+ m m b cosθ
⎤
M -matricea de inerţie, unde:
1 2 2 2
[ ( x)
] = ⎢
2 2 ⎥
⎣m2b
cosθ
2 I 2 + m2b
sin θ 2 ⎦
m1,m2– masele celor douăbraţe;
I2– momentul de inerţie al celui de-al doilea braţ;
.. ⎡ ⎛ ⎞⎤
⎡0 − m2bθ
2 sinθ
2 ⎤
⎢H
⎜ x,
x⎟⎥
= ⎢
⎥ -matricea de impuls;
⎣ ⎝ ⎠⎦
⎣0
0 ⎦
⎡0
⎤
g -vectorul for elor şi cuplurilor datorate gravitaţiei;
[ ( ) ] = ⎢ ⎥
⎣ 2 2 ⎦ sin
x
gm b θ
⎡F
⎤
G vectorul stimulilor externi.
[ ( x)
] × [ u]
= ⎢ ⎥
⎣M
⎦
Pentru realizarea modelului Simulink, ecuaţia (1) ce descrie comportarea sistemului trebuie
adusăsub forma ecuaţiilor de stare, respectiv:
în care,
..
.. ..
⎛ ⎞
⎡ ⎛ ⎞⎤
⎡ ⎤
⎜ x ⎟ = [ C(
x,
u)
] − ⎢A⎜
x,
x⎟⎥
×
⎢
x
⎥
− [ B(
x,
g)
]
(2)
⎝ ⎠
⎣ ⎝ ⎠⎦
⎣ ⎦
Înmulţind ecuaţia (1) la stânga cu [M(x)] -1
şi identificând cu termenii ecuaţiei (2) rezultă:
⎡ ⎛ ⎞⎤
− ⎡ ⎛ ⎞⎤
A (3)
..
..
1
⎢ ⎜ x,
x⎟⎥
= [ M ( x)
] × ⎢H
⎜ x.
x⎟⎥
⎣ ⎝ ⎠⎦
⎣ ⎝ ⎠⎦
−1
[ B ( x g)
] = [ M ( x)
] × [ g(
x)
]
−1
[ C ( x u)
] = [ M ( x)
] × [ G(
x)
× [] u ]
, (4)
, (5)
1
⎡I
+ m b
2
sin
cosθ
⎤
, cu
−1
2 2
2
2
2
[ M ( x)
] = ⎢
⎥
∆ M ⎣m2b
cosθ
2
m1
+ m2
⎦
2
θ
− m b
2
107

108
.. 1
x =
∆
1
∆
m
=
( m + m
1
2
)
( ) ( ) 2
2 2
I + m b sin θ − m b cosθ
2
2
1
2
Făcând calculele matriceale exprimate de relaţiile (3), (4) şi (5) se obţin:
. .
⎡ ⎛ ⎞⎤
⎡ ⎤ 1
⎢A⎜
x,
x⎟⎥
×
⎢
x
⎥
=
⎣ ⎝ ⎠⎦
⎣ ⎦ ∆
1
∆
m
2 2
2
⎡−
( I
⎤
2 + m2b
sin θ 2 ) m2b
sinθ
2 ⋅θ
2
⎢
⎥ ,
2 2
⎢⎣
( m2b)
sin θ 2 cosθ
2 ⋅θ
2 ⎥⎦
2 ⎡−
g(
m b)
sinθ
cosθ
⎤
⎢
⎥
⎣g(
m1
+ m2
) m2b
sinθ
2 ⎦
2
2 2
[ B(
x,
g)
] =
,
[ C(
x,
u)
]
m
1
=
∆
2 2
⎡−
( I
⎤
2 + m2b
sin θ 2 ) F − ( m2b
cosθ
2 ) ⋅ M
⎢
⎥
⎣−
( m2b
cosθ
2 ) F + ( m1
+ m ) M ⎦
m 2
Rezultăîn final expresiile, sub forma ecuaţiilordestareale celor douăvariabile:
M
respectiv,
.. 1
θ 2 =
∆
⎪⎧
( I
⎨
⎪⎩
M
2
+ m b
2
2
2
sin θ ) F − ( m bcosθ
) M −
2
2
2
2 2
2 2 2
2
⎬
[ − ( I 2 + m2b
sin θ 2 ) I 2 + m2b
sin θ 2 ⋅θ
2 ] − [ − g(
m2b)
sinθ1
cosθ
2 ]⎪⎭ ⎡−
( m2b
cosθ
2 ) F +
⎢
⎣−
g(
m1
+ m2
) m2b
sinθ
2
2
2
2
[ − ( m + −
⋅ ] ⎤
1 m2
) M ( m2b)
sinθ
2 cosθ
2 θ 2
⎥⎦
Modelarea braţului manipulator în mediul Matlab-Simulink se va realiza integrând de
douăori ecuaţiile de stare, respectiv expresiile (6) şi (7). Se observăcăexpresiile depind, în afară
de parametrii mecanici ai sistemului, şi de variabila de stare θ2 şi derivata de ordinul I a acesteia,
ceea ce presupune considerarea lor ca reacţii în schema Simulink de integrare a celor
douăvariabile.
3. Chestiuni de studiat
Se va realiza modelul Simulink al braţului manipulator descris de ecuaţiile (6) şi (7).
Se va urmări comportarea acestuia la modificarea separatăa stimulilor externi (forţa F
aplicată ansamblului braţului şi cuplul M aplicat în articulaţia braţului doi).
Se va urmări comportarea sistemului în cazul modificării valorilor parametrilor mecanici ai
sistemului.
4. Modul de lucru
2
⎪⎫
(6)
(7)

Pentru obţinerea unui model general, ce să poatăfi utilizat indiferent de valorile
parametrilor mecanici ai sistemului, modelul Simulink va fi realizat cu parametri formali,
respectiv vor fi implementate ecuaţiile literale (6) şi (7). Înainte însăde a fi pornită simularea,
valorile numerice ale parametrilor mecanici (m1, m2, I2, b, g0) vor trebuie iniţializate în spaţiul
Matlab.
Se deschide un model nou Simulink şi se realizeazăschema din figura 2. Localizarea
blocurilor în sub-bibliotecile Simulink este următoarea:
x_A, x_B, x_C, 1/D,t_A, t_B, t_C, 1/D1 blocuri Fcn în Functions&Tables;
F, M blocuri Constant în Sources;
Sum, Sum1 blocuri Sum în Math;
Mux, Mux1, blocuri Mux în Signals&Systems;
Fig. 2 Schema Simulink pentru simularea bra ului manipulator
Integrator, Integrator1, … blocuri Integrator în Continuous;
rad-grd bloc Gain în Math;
FM, x1, Teta2 blocuri Scope în Sinks.
La ieşirile blocurilor sumatoare Sum şi Sum1 se obţin sumele din expresiile (6) respectiv
(7). Blocurile 1/D şi 1/D1 realizează divizarea cu determinantul matricii [M(x)], obţinându-se
derivatele de ordinul II ale celor douăvariabile de stare. Aceste se integreazăde douăori, obţinând
valorile variabilelor de stare x1 şi θ2. Se observăpreluarea, ca reacţie, a variabilei intermediare θ’ 2
. ⎡ ⎛ ⎞⎤
, necesară pentru calculul termenilor corespunzători din produsul ⎢A
⎜ x,
x⎟⎥
× [] x . De asemenea,
⎣ ⎝ ⎠⎦
variabila finală θ2 este utilizatăîn toate blocurile, fiind preluată ca reacţie. S-a optat pentru
realizarea modelului cu blocuri Fcn, schema rezultată fiind mai compactă. Fiecare dintre aceste
109

110
blocuri ar putea fi realizat cu elemente discrete din sub-biblioteca Math (Gain, Product), schema
devenind însămult mai puţin clară.
Funcţiile realizate de fiecare bloc, rezultate din separarea termenilor din (6) şi (7), sunt
următoarele:
x_A: -(I2+m2*b^2*(sin(u[2]))^2)*m2*b*sin(u[2])*(u[1]^2);
x_B: -(m2*b)^2*sin(u[1])*cos(u[1])*g0;
x_C: (I2+m2*b^2*(sin(u[3]))^2)*u[1]-(m2*b*cos(u[3]))*u[2];
t_A: (m2*b)^2*sin(u[2])*cos(u[2])*(u[1]^2);
t_B: (m1+m2)*m2*b*sin(u[1])*g0;
t_C: -(m2*b*cos(u[3]))*u[1]+(m1+m2)*u[2];
1/D, 1/D1: u[1]/((m1+m2)*(I2+m2*b^2*(sin(u[2]))^2)-(m2*b*cos(u[2]))^2)
Toate integratoarele vor avea condiţii iniţiale nule, cu excepţia celui ce integrează viteza
unghiulară θ’ 2 pentru obţinerea poziţiei θ2 (Integrator3), căruia i se va impune ca şi condiţie
iniţială valoarea π/4.
Blocul rad-grd de tipul Gain, cu valoarea 180/pi, transformăpoziţia θ2 din radiani în grade,
doar pentru vizualizare.
Ca metodăde integrare (meniul Simulation-Parameters…), se va alege metoada cu pas
variabil ode45, pasul maxim de integrare impunânduse 0.0001 [s], iar timpul final (Stop time) 10
[s]. Pasul maxim de 0.0001 a fost ales pentru a putea urmări în timpul simulării influen a
modificării valorilor stimulilor (for a F, cuplul M) asupra evolu iei sistemului.
Osciloscoapelor li se vor selecta următoarele proprietăţi:
Scope
Time
range
Ymin / Ymax
x1 10 -2.5 / 2.5
Teta2 10 25 / 65
FM 10 -5 / 5
Dupărealizarea modelului, acesta se salveazăîntr-un fişier de tipul mdl, de exemplu
L_3.mdl, în directorul propriu de lucru, şi se închide.
Se creazăapoi în directorul propriu de lucru un fişier Matlab (de tip .m), de exemplu l3.m, în
care se ini ializeazăvalorile parametrilor mecanici. Acesta va con ine liniile:
m1=1;
m2=1;
I2=0.01;
b=0.2;
g0=9.81;
L_3;
La tastarea, în ferestra Matlab, a numelui acestui fişier (l3), se vor încărca în spaţiul
Matlab valorile parametrilor mecanici, ultima linie a fişierului determinând deschiderea
modelului L_3.mdl. Având valorile ini ializate, se poate acum porni simularea (butonul Start).
Se va urmări, în timpul simulării, evolu ia sistemului la modificarea stimulilor externi.
O serie de rezultate sunt exemplificate în fig. 3. Ele corespund aplicării unei forţe F = 2

[Nm] la momentul t = 1 [s] (mişcare uniform acceleratăa ansamblului braţului), ce se
anuleazădupăaproximativ 1 s de la aplicare (deplasare cu vitezăconstantă) şi apoi se aplicăpentru
un interval finit de timp, o forţă negativă, ce determinăfrânarea şi apoi inversarea direcţiei de
mişcare (reducerea poziţiei liniare x1).
Fig. 3 Rezultate ale simulării braţului manipulator
Se vor modifica parametrii mecanici (direct în spaţiul Matlab, nu neapărat în fişierul l3.m),
urmărindu-se efectele asupra comportării sistemului.
5. Conţinutul referatului
titlul lucrării;
scopul lucrării;
calculul cuplului Ms necesar echilibrării statice a braţului 2, în condiţiile iniţiale impuse;
observaţii privind comportarea modelului;
consideraţii privind posibilele ameliorări ale modelului.
111

112
BIBLIOGRAFIE
1. Calin S., Belea C., Sisteme optimale si adaptive, Editura Tehnică,
Bucureşti, 1976.
2. Ionescu V., Popeea C., Optimizarea sistemelor, Editura Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti, 1985
3. Sima V., Varga I., Rezolvarea asistata de calculator a problemelor de optimizare,
Editura Tehnică, Bucureşti, 1986
4. Botan C., Dumbrava S., Grigoras D., Tehnici de optimizare.Indrumar laborator,
Rotaprint, IP, 1991
5. Ionescu V., Varga A., Teoria sistemelor, Ed. All, Bucuresti, 1994.
6. Dumitrache Ioan, Ingineria Reglării Automate, Ed. Polipres, 2007
7. Simularea sistemelor electromecanice, Indrumar de laborator

113

114