Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 34 -
Din relaţia (2.39) rezultă că operatorul Ĉ este hermitic (mărimea i din această
relaţie are acest rol).
Pentru a demonstra relaţia (2.40) vom utiliza inegalitatea lui Schwarz:
2
Bˆ B Â ,
ˆ B , ˆ
〈 f, f 〉 〈 g, g 〉 ≥
unde:
〈 f, g 〉 ⇒ 〈 Â′
Ψ,
Â′
Ψ 〉 〈 ′ Ψ ′ Ψ 〉 ≥ 〈 ′ Ψ ′ Ψ 〉 (2.41)
′ = − 〈 〉 ′ = − 〈 B 〉 ˆ Bˆ Bˆ Â Â Â ,
(2.42)
Folosind (2.39) rezultă că şi operatorii Â′ şi Bˆ ′ satisfac relaţia
B ] i Ĉ ˆ [ Â′
, ′ =
Punem abaterile pătratice medii sub forma:
(2.43)
∆ A =
∆ B =
〈 Ψ,
2
2
( Â − 〈 Â 〉 ) Ψ 〉 = 〈 Ψ,
Â′
Ψ 〉 = 〈 Ψ,
Â′
Â′
Ψ 〉 = 〈 Â′
Ψ,
Â′
Ψ 〉
〈 ′ Ψ Bˆ B , ˆ
′ Ψ 〉
Am folosit faptul că operatorii Â′ şi B ˆ ′ sunt hermitici. Din (2.41) rezultă:
( ∆ ) ( ∆ ) = 〈 ′ Ψ ′ Ψ 〉 〈 ′ Ψ ′ Ψ 〉 ≥ 〈 Ψ ′ B′ Ψ 〉 = ˆ
B , Â
ˆ B , ˆ
2
2 2
A B Â , Â
⎛ ′ ′
⎞
= ⎜
+ ′ ′ ′ ′ − B′ Â′
〈 Ψ
⎟
⎜
+
⎟
Ψ 〉 =
⎝
2 ⎠
ˆ Bˆ B Â Â
2
ˆ Bˆ Â
,
2
⎛ ′ ′
⎞
⎛ ′ ′ ′ ′
⎞
= ⎜
+ ′ ′
⎟
⎜
+ B Â
Ĉ
〈 Ψ
Ψ 〉 = 〈 Ψ
⎟
⎜
+
⎟
⎜
Ψ 〉 + i 〈 Ψ,
Ψ 〉
⎟
≥
⎝
⎠
⎝ 2
2 ⎠
ˆ Bˆ B Â Ĉ
Â
i
,
2 2
ˆ Bˆ Â
,
≥
Ĉ
〈 Ψ,
Ψ 〉
2
2
=
〈
Ĉ
2
〉
2
⇒
∆A
⋅ ∆B
≥
〈 Ĉ 〉
2
Am folosit faptul că a ib = ( a − ib)(
a + ib)
2 2
+ = a + b >
Dacă B xˆ ˆ
h
h
 = pˆ x , = , atunci ∆ p x∆x
≥ , deoarece [ pˆ x , xˆ ] = = − i h ⇒ Ĉ = − h
2
i
Dacă B t ˆ ∂
h
 = Ê = i h , = , atunci ∆ E∆t
≥ , deoarece ecuaţia lui Schrödinger
∂t
2
dependentă de timp
2
h
∂Ψ
− ∆Ψ + U Ψ = ih
2m
∂t
se poate pune sub forma:
HΨ = ÊΨ
ˆ
unde
∂
Ê = i h
∂t
iar
⎡ ∂ ⎤ ∂
∂Ψ
∂Ψ
∂Ψ
⎢
i h
, t
⎥
Ψ = i h ( tΨ)
− i h t ⋅ = i h Ψ + i h t − i h t = i h Ψ ⇒
⎣ ∂t
⎦ ∂t
∂t
∂t
∂t
2
2
2
b
2
2