Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 33 -
Scriind relaţia (2.33) pentru x pˆ
timp, adică:
∂pˆ
x
∂t
rezultă:
= 0
H, pˆ
i pˆ
2m
U, pˆ
ˆ &
x =
i
h
x =
2 ⎡ x
⎢
h ⎣
+
Deoarece:
 = şi ţinând seama că x
⎤ i 2 i
[ ] = [ pˆ , pˆ ] + [ U, pˆ ]
pˆ x
x x
x
i
2mh
⎥
⎦
2mh
= ( pˆ [ pˆ , pˆ ] + [ pˆ , pˆ ] pˆ ) + [ U, pˆ ]
⎡
h
x
∂ ⎤
x
x
h
x
∂Ψ
x
x
h
i
h
x
pˆ nu depinde explicit de
[ U, pˆ x ] Ψ =
⎢
U, Ψ =
⎣ i ∂x
⎥
⎦
⋅ U
i ∂x
− ( UΨ)
=
i ∂x
⎜ U
i ⎝ ∂x
− U
∂x
− Ψ⎟
∂x
⎠
[ pˆ
h ∂U
] = −
U, x
i ∂x
rezultă:
pˆ &
x =
i
[ U, pˆ x ] =
h
i ⎛ h ⎞ ∂U
⎜−
⎟
h ⎝ i ⎠ ∂x
⇒
∂U
pˆ &
x = −
∂x
Efectuând media conform celui de-al patrulea postulat al mecanicii cuantice, obţinem:
d
∂U
〈 p x 〉 = − 〈 〉
dt
∂x
⇒
d
〈 p x 〉 = 〈 Fx
〉
dt
(2.35)
Relaţiile (2.34) şi (2.35) pot fi generalizate la cazul tridimensional:
r
r dr
〈 p 〉 = m 〈 〉
dt
,
r
d〈
p 〉
dt
r
= 〈 F 〉
(2.36)
Astfel înlocuind în relaţiile clasice mărimile prin valorile medii ale operatorilor se
obţin relaţiile cuantice corespunzătoare.
∂
h ⎛
h
∂Ψ
=
∂Ψ
2.7. Relaţia generală de incertitudine a lui Heisenberg
Abaterea pătratică medie a unei mărimi A (incertitudinea), definită prin relaţia:
2
2
2
( Â − 〈 Â 〉 ) 〉 = 〈 ( Â − 2Â〈
 〉 + 〈  〉 )
2
2
∆ A = 〈
〉 = 〈 Â 〉 − 〈 A 〉
(2.37)
descrie modul în care rezultatul unei măsurători deviază de la valoarea medie:
〈 A 〉 = 〈 Ψ,
ÂΨ
〉 = Ψ
∗
∫ ÂΨ
dV
(2.38)
Principiul general de incertitudine arată că dacă doi operatori hermitici  şi Bˆ satisfac relaţia:
B ] i Ĉ ˆ [ Â,
= (2.39)
atunci produsul abaterilor pătratice medii satisface relaţia:
∂U
〈 Ĉ 〉
∆ A ⋅ ∆B
≥
(2.40)
2
⎞