Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

⎛
i ⎞
i ⎜ω
0 − ω + ⎟ t
⎝ 2 τ
E
⎠ ∞
0e
=
=
⎛
i ⎞
i ⎜ω
0 − ω + ⎟ 0
⎝ 2 τ ⎠
i
E e
0
i
- 97 -
( ω0
− ω)
t
−
t
⋅ e 2 τ
1
( ω0
− ω)
−
i ( ω0
− ω)
2 τ
∞
0
=
−
E
0
1
−
2 τ
E ( ν ) =
E 0
i ( ω − ω0
) +
1
2 τ
, ω = 2 π ν , ω0
= 2 π ν 0
(2.445)
Intensitatea undei
2
I ( ν) dν
∼ E ( ν) ⋅ dν
corespunde intervalului de frecvenţă ν , ν + dν
radiaţiei este:
I ( ν) ∼
I ( ν ) ∼ ( ) 2
E
( ω − ω0
)
2
1
ν ∼
2
⎛ 1 ⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ 2 τ ⎠
,
i
1
( ω − ω0
)
⇒
(2.446)
. Astfel densitatea spectrală a intensităţii
1
+
2 τ
ω = 2 π ν ,
ω
2
0
⇒
= 2 π ν
0
(2.447)
Factorul de proporţionalitate se alege astfel ca intensitatea totală să fie egală cu o
valoare dată I 0 :
∞
I 0 = ∫ I ( ν)
dν
(2.448)
− ∞
Putem ajunge la acelaşi rezultat fără a folosi transformata Fourier. Elongaţia
oscilatorului amortizat din (2.440) satisface ecuaţia diferenţială de ordinul întâi:
dz ⎛ 1 ⎞
+ ⎜−
i ω0
+ ⎟ z = 0
(2.449)
dt ⎝ 2 τ ⎠
deoarece
t
z t
−
⎛ 1 ⎞
z ⎛ 1 ⎞
i ω t
= ⎜ ω − ⎟ ⇒ = ⎜ ω − ⎟ ⇒ = ⋅ 2 τ
∫ ∫ i dt ln i t z z e e
z 0⎝
2 τ ⎠
z ⎝ 2 τ ⎠
z
dz 0
0
0
0
(2.440)
0
0
Astfel dacă înmulţim din stânga relaţia (2.449) cu complex conjugatul operatorului
care se aplică lui z în aceeaşi ecuaţie ajungem la ecuaţia diferenţială de ordinul doi din
(2.435) . Într-adevăr:
⎡ d ⎛ 1 ⎞⎤
⎡ d ⎛ 1 ⎞⎤
⎡ d ⎛ 1 ⎞⎤
⎡dz
⎛ 1 ⎞ ⎤
⎢ + ⎜i
ω0
+ ⎟⎥
⎢ + ⎜−
i ω0
+ ⎟⎥
⋅ z = 0 ⇒ ⎢ + ⎜i
ω0
+ ⎟⎥
⎢ + ⎜−
i ω0
+ ⎟z⎥
= 0 ⇒
⎣dt
⎝ 2 τ ⎠⎦
⎣dt
⎝ 2 τ ⎠⎦
⎣dt
⎝ 2 τ ⎠⎦
⎣ dt ⎝ 2 τ ⎠ ⎦
2
d z ⎛ 1 ⎞ dz ⎛ 1 ⎞ dz ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
+ ⎜−
i ω + ⎟⋅
+ ⎜i
ω + ⎟⋅
+ ⎜i
ω + ⎟ ⎜−
i ω + ⎟ z = 0
2
0
0
0
0
dt ⎝ 2 τ ⎠ dt ⎝ 2 τ ⎠ dt ⎝ 2 τ ⎠ ⎝ 2 τ ⎠
⇒
1 ⎛ 2 i ω0
i ω0
1 ⎞
& z&
+ z&
+ ⎜ω
0 + − + ⎟ z = 0
2
τ ⎝ 2 τ 2 τ 4 τ ⎠
⇒
2 2
&z
& + 2 δ z&
+ ( ω0
+ δ ) z = 0 (2.435)