Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 94 -
t
t
V ( ) − ω
( )
( ) − ω
i ωt
−
− i ωt
m n 0 i
V 0 e e
0t
m n i 0t
a m = ∫ e ⋅sinωt
dt + a m 0 = ∫ e ⋅
dt =
i h
12
3 i h
2i
0
0
= 0
t
⎡ i
( ) ( ) ( ) ( ) ( ω − ω0
) t − i(
ω + ω0
) t ⎤ t
Vm
n 0 ⎡ i ω − ω0
t − i ω + ω0
t ⎤ Vm
n 0
= − = − ⎢
e
e
+
⎥
∫ ⎢
e − e
⎥
dt
=
2h
⎣
⎦ 2h
⎢ i ( ω − ω ) i ( ω + ω ) ⎥
0
0
0 0
⎣
⎦
astfel că.
Vm
n
= −
2 i h
⎡ i
( ) ( ω − ω0
) t − i ( ω + ω0
0
)
e − 1 e
⎢
⎢
⎣
Dacă ω este foarte apropiat de 0
a
m
a
≈
2
m
−
2 i
V
h
= a
∗
⋅ a
m
( 0)
ω − ω0
+
t ⎤
− 1
⎥
ω + ω ⎥
0
⎦
ω , atunci primul termen din paranteză este dominant,
m n ( 0)
( ω − ω )
2
m
=
0
V
⎛ i
⎜e
⎝
m n
( ω − ω0
) t ⎞
− 1 ⇒
⎟
⎠
2
( 0)
( 1 − e
− i ∆ω
t
− e
i ∆ω
t
+ 1)
=
2
4 h ∆ω
=
Vm
n
2
4 h ∆ω
( 2 − 2cos ∆ωt)
=
Vm
n
2
2 h ∆ω
( 1 − cos ∆ωt)
⇒
a m
2
=
t
2
⎡ ∆ω
⎤
2
V ( 0)
sin
m n ⎢ 2 ⎥
2 ⎢ ⎥
h ⎢ ∆ω
⎥
⎢⎣
⎥⎦
(2.427)
unde
∆ ω = ω − ω 0
(2.428)
Graficul funcţiei f
t
2
⎡ ∆ω
⎤
⎢
sin
2 ⎥
= ⎢ ⎥ în funcţie de ∆ ω prezintă un maxim foarte
⎢ ∆ω
⎥
⎢⎣
⎥⎦
pronunţat în jurul valorii ∆ ω = 0 ( ω = ω0
) . Folosind metoda reziduurilor se arată că:
2
⎡ ∆ωt
⎤
∞ ⎢
sin
2 ⎥
∫ ⎢ ⎥ ⋅ d(
∆ω)
=
− ∞ ⎢ ∆ω
⎥
⎢⎣
⎥⎦
π t
2
(2.429)
Funcţia lui Dirac are proprietatea:
( 0)
2