Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 92 -
i
i
i
− ⋅ Ent
− ⋅ E t
E t
da
n
− ⋅ m
n
( 0)
∗ ( 0)
3
( 0)
∗ ( 0)
3
ih
⋅ e h ⋅ = a e h
n Ψn
( 0)
VΨn
( 0)
d r + a me
h Ψn
( 0)
VΨm
( 0)
d r ⇒
dt
1∫
444244443 1∫
444244443 Vn
n
Vn
m
da n
=
dt
⎛
i
⎞
⎜
( E n − E m ) t
1
⎟
⎜a
+
⋅ ⎟
nVn
n a me
h
Vn
m
i h
⎜
⎟
⎝
⎠
(2.413)
( 0)
∗
Dacă înmulţim relaţia (2.411) cu Ψ m ( 0)
şi apoi integrăm, obţinem:
i
i
i
− ⋅ Emt
− ⋅ E t
E t
da
n − ⋅ m
m
ih ⋅ e h ⋅ = a ne
h Vm
n + a me
h Vm
m
dt
⇒
⎛ i
⎜ −
da m 1
⎜e
h
dt i h
⎜
⎝
( E n − E m )
t
⋅ a V
+ a
= n m n m m m
Ecuaţiile (2.413) şi (2.414) pot fi rezolvate cu condiţiile iniţiale:
( 0)
1 , a ( 0)
a n
m
V
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
(2.414)
= = 0
(2.415)
Pentru a simplifica rezolvarea ecuaţiilor (2.413) şi (2.414) vom folosi metoda
aproximaţiilor succesive, rezumându-ne la corecţia de ordinul întâi a teoriei perturbaţiilor. Se
va presupune că în partea dreaptă a ecuaţiilor (2.413) şi (2.414) se poate face aproximaţia:
obţinem:
Notând:
() t 1 , a ( t)
a n
m
≈ ≈ 0
(2.416)
E n − E m
ω 0 =
(2.417)
h
da
dt
n
1
= ⋅ V
i h
n n
da 0
(2.418)
m 1 − i ω t
= ⋅ Vm
n ⋅ e
(2.419)
dt i h
Pentru a rezolva aceste ecuaţii, se presupune că unda electromagnetică incidentă este
sinusoidală cu pulsaţia ω. Astfel:
() t V ( 0)
⋅sin
ωt
Vn n
n n
= (2.420)
() t V ( 0)
⋅sin
ωt
Vm n
m n
= (2.421)
Ţinând seama de această dependenţă de timp a potenţialului perturbator, vom integra
ecuaţiile (2.418) şi (2.419) folosind condiţiile iniţiale (2.415) . Obţinem:
a
n
( 0)
( 0)
t
t
Vn
n
Vn
n
= ∫ sinωt
dt + a n ( 0)
= cos ωt
i h
12
3 i h ω
0
0
= 1
+ 1 =