Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

w
A
- 87 -
n m
= (2.382)
g m hνn
m / kT
Bm
n ⋅ e − Bn
m
g n
2
8πν
Din formula lui Rayleigh-Jeans ( w = ⋅ kT ) rezultă că w tinde la infinit dacă
3
T → ∞ . Relaţia (2.382) satisface această situaţie limită dacă îşi anulează numitorul.
Rezultă:
g m hνn
m / kT
Bm
n ⋅ e = Bn
m
g n
Deoarece pentru T → ∞ exponenţiala poate fi aproximată cu unitatea
hνn
m / kT
( e ≈ 1)
, obţinem o relaţie simplificată între coeficienţii B m n şi B n m :
g B = g B
(2.383)
m
m n
n
n m
Înlocuind în (2.382) şi egalând cu formula lui Planck obţinem:
A n m
⎛ hνn
m / kT
B
⎞
n m ⋅⎜
e − 1⎟
⎝
⎠
3
8πh
ν n m
= ⋅ 3
c hνn
m / kT
e − 1
⇒
A n m
B
3
8πhν
n m
= 3
c
(2.384)
n m
Astfel am obţinut o legătură între coeficienţii A n m şi B n m . Relaţiile (2.383) şi
(2.384) nu depind de alegerea materialului din care este constituit sistemul cuantic şi nici de
perechile de stări care se analizează. Coeficientul A n m nu reprezintă altceva decât inversul
timpului mediu de viaţă după care populaţia nivelului superior scade de e ori:
A n m =
1
t
− 8 − 7
, t sp ≈ 10 −10
s
(2.385)
N
sp
( 0)
−
t
t
sp
n = N n e
(2.386)
Radiaţia spontană se comportă ca o sursă de zgomot, datorită modului haotic (fără nici
o corelare de fază) în care au loc tranziţiile spontane.
Condiţia necesară (dar nu şi suficientă) pentru amplificarea radiaţiei, în cazul în care
neglijăm emisia spontană, este aceea ca intensitatea radiaţiei emise stimulat să o depăşească
pe cea a radiaţiei absorbite:
− I > 0
Ist abs
( B n m N n Bm
n N m ) w ⋅ hν
n m > 0 ⇒ Bn
mN
n > Bm
n N m
− (2.387)
La acelaşi rezultat se ajunge dacă folosim relaţia (2.377) în care impunem ca
dN / dt < 0 . Din relaţiile (2.383) şi (2.387) obţinem:
g m
Bm
n N n
g n
> Bm
n N m ⇒
N n
g n
>
N m
g m
(2.388)
În cazul nivelelor nedegenerate ( g n = g m ) obţinem inegalitatea
N > N
(2.389)
n
m
Astfel condiţia necesară pentru amplificarea unei unde electromagnetice care trece
printr-un mediu este aceea ca numărul de atomi de pe nivelul superior să depăşească pe cel de