Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

2
h
- 31 -
− ∆Ψ + U Ψ =
2m
E Ψ
este analoagă ecuaţiei cu valori proprii:
H Ψ = E Ψ ˆ (2.23)
dacă operatorul asociat energiei totale, notat cu H ˆ (operatorul hamiltonian) are expresia:
H U
2m
ˆ
2
h
= − ∆ +
(2.24)
Comparând operatorul asociat energiei cinetice din (2.24) cu operatorul corespunzător
energiei cinetice nerelativiste obţinem operatorul asociat impulsului:
2
2
h pˆ
− ∆ =
2m 2m
⇒
pˆ
2
2
= − h ∆
Componentele operatorului impuls sunt: x =
h ∂
,
i ∂x
Operatorul asociat momentului cinetic orbital este:
p r
i i
ˆ rˆ L ˆ r r r r h h
= × = × ∇ =
⇒
h
pˆ = ∇
i
pˆ y
z
r
i
x
∂
∂x
r
j
y
∂
∂y
r
k
z
∂
∂z
Componentele operatorului moment cinetic orbital sunt:
⎛ ∂ ∂ ⎞
L = ⎜ y − z ⎟
i ⎝ ∂z
∂y
⎠
ˆ h
x
⎛ ∂ ∂ ⎞
L = ⎜z
− x ⎟
i ⎝ ∂x
∂z
⎠
ˆ h
y
L =
⎛ ∂
⎜ x
i ⎝ ∂y
∂ ⎞
− y ⎟
∂x
⎠
ˆ z
h
Operatorul asociat pătratului momentului cinetic orbital este:
2 2 2
L x y
ˆ + +
2
z
pˆ
h ∂
= , pˆ
i ∂y
h ∂
= .
i ∂z
(2.25)
(2.26)
(2.27)
Lˆ Lˆ Lˆ = (2.28)
2.5. Derivarea operatorilor în raport cu timpul. Mărimi conservative
Pentru o funcţie de undă normată ( 〈 Ψ,
Ψ 〉 = 1 ), valoarea medie a unui operator  este:
〈 Â 〉 = 〈 Ψ,
ÂΨ
〉 = Ψ
∗
∫ ÂΨ
dV
(2.29)
unde dV este elementul de volum din domeniul de definiţie al funcţiei Ψ . Derivăm această
expresie în raport cu timpul:
〈 Â 〉 =
d
∂Ψ
∗
∂Â
 dV  dV
dV
∗ ∂Ψ
 dV
dt ∫ Ψ
∗
Ψ =
∗
∫ Ψ +
t ∫ Ψ Ψ +
t ∫ Ψ
∂
∂
∂t
&
(2.30)