Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 84 -
şi cum modul de numărare a electronilor nu poate avea semnificaţie fizică:
ϕ ( 2,
1 ) = e ϕ ( 1,
2)
rezultă
(2.368)
2
ϕ ( 1,
2)
= e ϕ ( 1,
2)
⇒
2
e = 1 ⇒ e = ± 1
Astfel în combinaţia liniară (2.366) trebuie să avem c = d sau c = − d . Aceste
condiţii, împreună cu condiţia de normare:
∗
∫ ϕ ϕ dτ
= 1 ⇒
2
c
2
+ d = 1 ,
2
2c = 1 ⇒ c = d =
1
2
conduc la soluţiile:
1
ϕ sim = ( ϕa
( 1)
⋅ ϕ ( 2)
+ ϕa
( 2)
ϕ ( 1)
)
2 b
b
1
ϕ antisim = ( ϕa
( 1)
⋅ ϕ ( 2)
− ϕa
( 2)
ϕ ( 1)
)
2 b
b
(2.369)
(2.370)
Ţinând seama de orientarea spinului electronic, putem obţine următoarele stări de spin
posibile:
1 χ 2 ↑
() ( ) ↑
() 1 χ ( 2)
↓ ↓
() 1 χ ( 2)
↑ ↓
() 1 χ ( 2)
↓ ↑
χ α α
χβ β
χ α β
χβ α
Primele două stări sunt simetrice, iar din ultimele două putem obţine o funcţie
simetrică:
χ sim
şi o funcţie antisimetrică:
=
1
( χ α ( 1)
χβ
( 2)
+ χβ
( 1)
χ α ( 2)
)
2
(2.371)
χ antisim =
1
( χ α ( 1)
χβ
( 2)
− χβ
( 1)
χ α ( 2)
)
2
(2.372)
Funcţiile de undă antisimetrice, normate la unitate, ale atomului de heliu sunt:
( ( ) ( ) ( ) ( ) ) () ( )
( () ( ) ( ) () ) () ( )
( () ( ) ( ) () ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) )⎪ ⎪⎪
Ψ1
=
Ψ2
=
Ψ3
=
Ψ S =
1
⎫
ϕa
1 ⋅ ϕ 2 − ϕa
2 ϕ 1 χ α 1 χ α 2
⎪
2 b
b
⎪
1
⎪
ϕa
1 ⋅ ϕ 2 − ϕa
2 ϕ 1 χβ
1 χβ
2
⎬ Stări de triplet
2 b
b
1
1
ϕa
1 ⋅ ϕ 2 − ϕa
2 ϕ 1 χ α 1 χβ
2 + χβ
1 χ α 2
2 b
b 2
⎭
1
1
( ϕa
( 1)
⋅ ϕ ( 2)
+ ϕa
( 2)
ϕ ( 1)
) ( χ () 1 ( 2)
() 1 ( 2)
)
2 b
b
α χβ
− χβ
χ α Stare de singlet
2
În starea fundamentală a atomului de heliu a = b , astfel că rămâne numai starea de
singlet:
Ψ S = ϕa
() 1 ⋅ ϕa
( 2)
( χ α ( 1)
χβ
( 2)
− χβ
( 1)
χ α ( 2)
)
2
Întrucât perturbaţia e 0 / r12
nu acţionează asupra spinului, în calculul energiei atomului
de heliu pe baza metodei perturbaţiilor am folosit numai dependenţa funcţiei de undă de
variabilele spaţiale.