Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

unde
- 82 -
z
z
− ⋅ r1
− ⋅ r
3
3
2
( 0)
z a
( ) z
0
0
a 0
Ψ 1 = e , Ψ2
= e
(2.350)
3
3
π a
π a
0
2 4
mz e
E 1 = E 2 = − = E 2
2h
( 0)
( 0)
0
2
a
0 2
me0
H
z
0
(2.351)
2
h
= (2.352)
este raza primei orbite Bohr. În aproximaţia de ordinul zero a teoriei perturbaţiilor
(aproximaţia electronilor independenţi) obţinem:
z ( r1
+ r2
)
−
3 a 0
( 0)
( 0)
( 0)
z e
Ψ = Ψ1
Ψ2
=
3
π a
(2.353)
unde
0
2 4
( 0)
( 0)
( 0)
( 0)
mz e0
E = E1
+ E 2 = 2 E1
= − 2
h
(2.354)
Pe baza relaţiei (2.322) putem scrie corecţia de ordinul întâi la energie
z ( r1
+ r2
)
−
2
6 2 a 0
() 1 ( 0)
∗ e0
( 0)
z e0
e
E = ∫ Ψ ⋅ ⋅ Ψ ⋅ dτ
=
dτ
2 6
1 dτ2
r
π ⋅ a ∫ r
(2.355)
1
2
1
1
12
1
1
1
2
0
dτ = r sinθ
dr dθ
dϕ
, dτ
= r sinθ
dr dθ
dϕ
(2.356)
2
2
Efectuând calculele se obţine:
6 2
5
2
() 1 z e0
5 2 ⎛ a 0 ⎞
() 1 5 ze0
E = ⋅ ⋅ π ⎜ ⎟ ⇒ E = ⋅
(2.357)
2 6
π ⋅ a 0 8 ⎝ z ⎠
8 a 0
Din relaţiile (2.351) , (2.352) , (2.357) rezultă:
() 1 5
E = − zE H
4
( 0)
( 1)
2 5
E = E + E = 2z E H − zE H ⇒
4
⎛ 5 ⎞
E = ⎜2z
− ⎟ zE H
(2.358)
⎝ 4 ⎠
Deoarece E H = −15,53
eV , iar pentru heliu z = 2 , energia atomului de heliu în starea
fundamentală, în ordinul întâi al teoriei perturbaţiilor este
E = − 74,4 eV
Valoarea experimentală a energiei nivelului fundamental este − 78,6 eV . Diferenţa
între cele două valori se datorează faptului că perturbaţia este prea mare, nefiind îndeplinită
condiţia de convergenţă a seriei perturbaţionale.
Am analizat starea fundamentală a atomului de heliu, care este o stare de singlet, ce nu
prezintă degenerare de schimb. În cazul când analizăm o stare excitată, trebuie să luăm în
seamă atât degenerarea de schimb, cât şi influenţa spinului electronic. În ipoteza neglijării
interacţiunii dintre mişcarea orbitală şi cea de spin a electronilor, putem scrie funcţia de undă
2
12
2
2
2