Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 80 -
2
2 2
2 2
2 1 2 4 1
E cin = ( E − U)
= E − 2EU + U = E + 2E ze0
⋅ + z e0
⋅ 2
r r
(2.339)
În cazul în care efectele relativiste sunt mici, putem folosi teoria perturbaţiilor,
considerând mărimea din relaţia (2.338) ca o perturbaţie. În conformitate cu relaţia (2.322) ,
în ordinul întâi, contribuţia perturbaţiei la energia totală este egală cu valoarea medie luată
pentru starea neperturbată:
1
δ E = − 2
2m 0c
2
〈 E cin 〉 ⇒
(2.340)
1
δ E = − 2
2m 0c
⎛ 2
2 1 2 4 1 ⎞
⎜ E + 2E ze0
⋅ 〈 〉 + z e0
⋅ 〈 〉 2 ⎟
⎝
r r ⎠
(2.341)
Înlocuind (2.329) şi (2.335) în (2.341) , punând în loc de m pe m 0 , obţinem:
1
δE
= − 2
2m 0c
2
⎛ 2
2 m 0ze0
⎜
E + 2E ze0
⋅ 2 2
⎝
h n
2 2 4
2 4 2m
0z
e ⎞ 0
+ z e
⎟
0 ⋅ 4 3
h n ( 2l
+ 1)
⎟
⎠
(2.342)
Folosind relaţia (2.324) , în care în loc de m punem m 0 , putem scrie:
( ) ⇒
E
δ E = − 2
2m 0c
2 4
2 4
⎛ m 0z
e0
2m
0z
e0
⎜
− + 2 2
2 2
⎝ 2h
n h n
2 4
4m
z e ⎞
0 0
− ⎟
2
h n 2l
+ 1 ⎟
⎠
δ
2 ⎛ ze ⎞ 0
= − E
⎜
⎟
⎝ hc
⎠
⎡
⎢
3
⎢ −
⎢ 4n
⎢
⎣
E 2
2
⎤
1
⎥
+ ⎥
⎛ 1 ⎞ ⎥
⎜l
+ ⎟ n
⎝ 2 ⎠
⎥
⎦
(2.343)
Pentru un număr cuantic principal dat, nivelul energetic se despică în n subnivele
distincte după cele n valori pe care le poate lua numărul cuanic azimutal l de care depinde
corecţia δ E . Această despicare constituie ceea ce se numeşte structura fină a nivelului. Chiar
pentru valori mici ale lui z relaţia (2.343) nu este bine verificată, deoarece nu am luat în
considerare şi efectul datorat spinului electronului. Cumulând efectul variaţiei masei cu viteza
2
şi efectul spinului electronului, se obţine o expresie bună a corecţiei până la ordinul 1 / c la
energia cinetică.
Corecţiile relativiste la energie pot fi obţinute prin integrarea ecuaţiei lui Dirac, dar
calculul este mult mai dificil.
2.11.2.4. Atomul de heliu
Atomul de heliu este format dintr-un nucleu cu sarcina ze (z = 2) şi din 2 electroni.
Proprietatea de indiscernabilitate a celor doi electroni (particule cuantice) conduce la apariţia
unor forţe de schimb care nu au analog clasic. Teoria lui Bohr nu este aplicabilă atomului de
heliu, deoarece nu ţine seama de forţele de schimb şi nici de spinul electronilor. Întrucât masa
nucleului este mult mai mare decât masa electronului, vom presupune că nucleul este fix,
poziţia lui fiind aleasă ca origine a axelor de coordonate.
Neglijând mişcarea nucleului şi efectele relativiste, putem scrie hamiltonianul
sistemului sub forma:
2
2 2
2 2
ze0
ze0
e0
2 2
H 1
2
, e0
e / 4 0
2m r 2m r r
ˆ h
h
= − ∆ − − ∆ − + = πε
(2.344)
1
2
12
unde r 1 şi r 2 sunt distanţele faţă de nucleu ale celor doi electroni, iar r 12 este distanţa dintre
cei doi electroni.