Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 79 -
( l 1 )
2
d u
2
dr
2
⎡ 2m ⎛ h 2l
+ 1 ⎞
+ ⎢ E U
2 ⎜ − − δl
⋅ ⋅ − 2
⎣
2m
r
⎟
h ⎝
⎠
l +
2
r
⎤
⎥ u = 0
⎦
(2.332)
Folosind relaţia (2.322) putem scrie corecţia de ordinul întâi la energia E :
δ E = Vn
n =
2
h
1
( 2l
+ 1)
⋅ δl
⋅ 〈 〉 2
2m
r
Pe de altă parte, corecţia de ordinul îmtâi la energia E este:
( − 2)
( n + l + 1)
2 4
2 4
mz e ⎡
⎤
0 1
mz e0
δ E = − δ⎢
⎥ = − ⋅
⋅ δl
2
2
2
3
2h
⎣(
n + + 1)
⎦ 2h
r l
r
⇒
(2.333)
δ E =
2 4
mz e 0
⋅ δl
2 3
h n
(2.334)
Egalând (2.333) cu (2.334) obţinem:
1 2m
〈 〉 = 2 4 3
r h n
2
z
2
e
4
0
( 2l
+ 1)
(2.335)
2.11.2.3. Corecţie relativistă la atomii hidrogenoizi datorată variaţiei masei cu viteza
În cazul în care efectele relativiste sunt mici, în relaţia
2 2 2 2 4
E = p c + m 0c
⇒
2
E = m 0c
2
p
1+
2 2
m 0c
(2.336)
2 2 2
putem dezvolta radicalul după puterile lui p / m 0c
folosind formula binomială:
n n n −1
n
( )
( n −1
) n − 2 2 n ( n −1)(
n − 2)
n − 3 3
n
a + b = a + na b + a b +
a b + . . . + b
2!
3!
care provine din dezvoltarea în serie Taylor. Dezvoltarea binomială are un număr finit de
1
termeni, dacă n este întreg şi pozitiv. Dacă n este sau − 1 atunci această dezvoltare are
2
un număr infinit de termeni şi este convergentă numai dacă b < a . În cazul nostru a = 1 ,
2 2 2
b = p / m 0c
, n = 1/2 . Rezultă:
2
2 ⎛ 1 p
E ≈ m
⎜ 0 c 1+
2 2
⎝ 2 m 0c
4
1 p ⎞
− + . . .
⎟
4 4
8 m 0c
⎠
2
2 p
E ≈ m 0 c +
2m
0
4
1 p
− ⋅ + . . .
3 2
8 m 0c
(2.337)
Primul termen din membrul al doilea este energia de repaus, care este o constantă
aditivă la energie şi pe care nu o luăm în considerare. Al doilea termen este energia cinetică
nerelativistă, iar al treilea termen reprezintă prima corecţie la energia cinetică, de ordinul
2
1 / c . Ultima corecţie, datorată variaţiei masei cu viteza, poate fi scrisă sub forma:
unde cin
4
1 p
− ⋅ 3 2
8 m 0c
1
= − 2
2m 0c
2 ⎛ p ⎞
⎜
2m ⎟
⎝ 0 ⎠
1
= − 2
2m 0c
2
E cin
(2.338)
E este energia cinetică nerelativistă:
2