Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 78 -
4 2
me0z
E = − 2 2
2h
n
şi în expresia energiei potenţiale
(2.324)
2
ze0
U = −
r
z cu z + δz
obţinem:
(2.325)
2 4
2 4
4 2 4
m ( z + δz)
e0
mz e0
m2z
( δz)
e0
( δz)
me0
E + δE
= −
= − −
−
2 2
2 2
2 2
2 2
2h
n 2h
n 2h
n 2h
n
(2.326)
2
2
ze0
δz
⋅ e 0
U + δU
= − −
(2.327)
r r
Considerând al doilea termen din (2.327) ca o perturbaţie la potenţialul iniţial, pe
baza relaţiei (2.322) putem scrie corecţia de ordinul întâi la energia E
δ E
=
V
2 1
= − δz
⋅ e0
⋅ 〈 〉
r
n n
(2.328)
Păstrând în (2.326) numai corecţia de primul ordin în ( z)
(2.328) obţinută pe baza teoriei perturbaţiilor rezultă:
− δz
⋅ e
2
0
( δz)
1 mz
⋅ 〈 〉 = − 2
r h n
2
e
4
0
⇒
δ şi egalând-o cu cea din
2
1 mze0
〈 〉 =
(2.329)
2 2
r h n
Pentru z = 1 , n = 1 relaţia (2.329) este aceeaşi cu inversa primei raze Bohr a
atomului de hidrogen.
1
2.11.2.2. Calculul valorii medii 〈 〉 la atomii hidrogenoizi
2
r
La teoria cuantică a atomului de hidrogen am folosit ecuaţia:
2
d u ⎡ 2m
l
( )
( l + 1 ) ⎤
+ E U
u = 0
2
2
2
dr ⎢
− −
⎣
r ⎥
(2.217) = (2.230)
h
⎦
unde
u = rR (2.218) = (2.231)
iar U este dat de relaţia (2.325). La rezolvarea acestei ecuaţii nu se foloseşte faptul că l este
un număr întreg. Rezultatele sunt valabile oricare ar fi numărul pozitiv sau nul l . Singura
cerinţă este ca numărul cuantic radial n r să fie întreg. Modificând l cu δ l , termenul
corespunzător forţei centrifuge din ecuaţia radială devine, până în ordinul întâi în δ l :
( l + δl)(
l + δl
+ 1)
l ( l + 1 )
2l
+ 1
−
≈ − − δl
2
2
2
r
r r
Termenul corectiv poate fi considerat ca o perturbaţie la energia potenţială, scriind
ecuaţia sub forma:
2
d u
2
dr
+
⎡2m
⎢ 2
⎣ h
( E − U)
−
l
( l + 1 )
r
2
2l
+ 1 ⎤
− δl⎥
u = 0
2
r ⎦
⇒