Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 77 -
Această ecuaţie este satisfăcută identic pentru orice β ∈[0,
1] numai dacă în ambii
membri coeficienţii aceloraşi puteri ale lui β sunt egali. Identificând aceşti coeficienţi
obţinem:
( 0)
( 0)
( 0)
H 0 n E n n
ˆ Ψ = Ψ
(2.314)
() ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
V E E
ˆ Hˆ 1
0Ψ
n
0 1 0 0 1
+ Ψn
= n Ψn
+ n Ψn
⇒
H
( )
E E Vˆ ˆ 0
−
1
Ψ =
1
0
− Ψ
(2.318)
( ) ( )
( )
( ) ( )
0
n
n
n
Considerând că orice funcţie poate fi reprezentată întotdeauna sub forma unei
combinaţii liniare de funcţii ortonormate care formează un sistem complet, rezultă că putem
() 1 ( 2)
dezvolta , , . . . Ψ
( 0)
Ψ în serie după funcţiile proprii Ψ :
rezultă:
n
n
Ψ
= ∑ Cn
mΨ
m
m ≠ n
() 1
() 1 ( 0)
n
m
Înlocuind (2.319) în (2.318) şi ţinând seama de relaţia (2.314)
0
( 0)
( 0)
( 0)
m
n
m
n
m
(2.319)
H E ˆ Ψ = Ψ
(2.314’)
( )
() ( ) ()
( − ) ∑ Ψ = E
C
H E ˆ 0
1 0 1
n m m
≠
( ) ( − V) Ψ ⇒ ˆ 0
0 n
n
n
(2.320)
m n
( ) ( ) ()
( )
( )
( 1)
( 0)
( 0)
0 1
C E E E Vˆ 0
∑ n m m − n Ψm
= − Ψ
(2.321)
m
≠
n
Ψ 0
( )∗
Înmulţind (2.321) cu n din stânga, integrând şi ţinând seama de condiţia de
ortonormare a funcţiilor de undă:
( 0)
∗ ( 0)
∫ Ψ 0 ,
n Ψm
dτ
=
n ≠ m
( 0)
∗ ( 0)
∫ Ψn
Ψn
dτ
= 1
rezultă:
( 1)
( 0)
( 0)
( ) ( 0)
∗ ( 0)
∑ C E − E Ψ Ψ τ ( ) ( ) ∗ ( ) ( ) ∗ ( )
= Ψ Ψ τ − Ψ ⋅ Ψ τ
≠
∫ d 1 0 0
0
0
n m m n n m E n ∫ n n d ∫ n V n d
m n
= 0
⇒
n
n
n
n
( 1)
( 0)
∗ ( 0)
E = ∫ Ψ ⋅ VΨ
dτ
= V
(2.322)
Înlocuind în (2.315) obţinem energia în primul ordin al teoriei perturbaţiilor:
( 0)
E n = E n + β Vn
n
(2.323)
(
Înmulţind (2.321) cu Ψ
)∗ 0
m , integrând şi folosind proprietatea de ortonormare a
( 1)
funcţiilor de undă se obţine Ψ n în primul ordin (înlocuind Ψ în (2.315) ).
2.11.2. Aplicaţii ale teoriei perturbaţiilor staţionare
1
2.11.2.1. Calculul valorii medii 〈 〉 la atomii hidrogenoizi
r
La determinarea energiei unui atom format dintr-un nucleu cu sarcina ze şi un
electron cu sarcina − e nu se foloseşte faptul că z este întreg. Este suficient ca z să fie
pozitiv. Înlocuind în expresia energiei
n n
n
n