Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 76 -
O ilustrare a despicării nivelelor de energie datorită interacţiunii spin-orbită este
prezentată în figura care urmează, împreună cu tranziţiile permise de regulile de selecţie
( ∆l = ± 1 ; ∆j
= 0 , ± 1 ; ∆m
= 0 , ± 1 ).
2.11. Teoria perturbaţiilor independente de timp
2.11.1. Principiul metodei
Metoda perturbaţiilor constă în despicarea hamiltonianului Hˆ în două părţi:
Vˆ Hˆ Hˆ = 0 + β
(2.313)
unde 0 Hˆ este hamiltonianul neperturbat, pentru care ecuaţia lui Schrödinger poate fi rezolvată
exact, iar Vˆ β este perturbaţia, care trebuie să fie mult mai mică decât H 0 , pentru a asigura
convergenţa soluţiilor. În cazul perturbaţiilor singulare, divergenţa soluţiilor se datorează
intersecţiei unor nivele de energie în planul complex al parametrului perturbaţional β . În
cazul perturbaţiilor nesingulare, β poate fi un parametru formal, care este folosit pentru
ordonarea termenilor de diferite ordine (la sfârşitul calculelor se ia β = 1) sau poate fi un
parametru real.
Valorile proprii şi funcţiile proprii ale lui H 0
ˆ se determină din ecuaţia cu valori
proprii corespunzătoare hamiltonianului neperturbat:
( 0)
( 0)
( 0)
H 0 n E n n
ˆ Ψ = Ψ
(2.314)
Dezvoltăm funcţiile proprii şi valorile proprii ale hamiltonianului Hˆ în serie după
puterile lui β , în jurul valorilor neperturbate corespunzătoare:
( 0 ) ( 1)
2 ( 2 )
Ψ n = Ψ n
( 0 )
E n = E n
+ β Ψ n
( 1)
+ β E n
+ β
2
+ β
Ψ n
( 2 )
E n
+ . . .
+ . . .
(2.315)
Înlocuind aceste mărimi în ecuaţia cu valori proprii corespunzătoare hamiltonianului
perturbat:
( 0 V) n E n n
ˆ Hˆ obţinem:
+ β Ψ = Ψ
(2.316)
V . . . E E . . .
. . .
ˆ Hˆ + β
0
Ψ
1
+ βΨ
0
+ =
1
+ β +
0
Ψ
1
+ βΨ
+ (2.317)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
n
n
n
n
n
n