![Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei](https://img.yumpu.com/16899601/49/500x640/capitolul-2-elemente-de-mecanica-cuantica-pdf-andrei.jpg)
Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei
Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei
α 2 i = 1 , i = 0 , 1, 2 , - 73 - 3 Operatorul hamiltonian asociat energiei relativiste din (2.292) se scrie sub forma: H c ( ˆ pˆ ˆ pˆ ˆ pˆ ˆ m c) ˆ = α1 1 + α 2 2 + α 3 3 + α 0 0 (2.297) unde ˆα i sunt operatori hermitici (pentru a asigura hermiticitatea lui Hˆ ) care comută cu operatorii impulsurilor şi cei ai poziţiilor, iar conform relaţiilor (2.296’) aceşti operatori sunt anticomutativi. ∂ Înlocuind operatorii pˆ k = i ∂x h în (2.297) obţinem: 3 c 2 H ˆ ˆ k 0m 0c i k 1 x k ˆ ∂ + α = ∂ α = ∑ h Deoarece operatorul Ê este dat de relaţia: ∂ Ê = i h ∂t ecuaţia de mişcare a electronului relativist (ecuaţia lui Dirac) are forma: k (2.298) 3 ⎛ c ∂ 2 ⎞ ∂Ψ ⎜ ˆ ˆ k + α 0m 0c Ψ = i i k 1 x ⎟ ⎝ = ∂ k ⎠ ∂t α h ∑ h (2.299) sau: H i t ˆ ∂Ψ Ψ = h (2.300) ∂ Ecuaţia lui Dirac este invariantă faţă de transformările Lorentz (fiind simetrică în x, y, z şi ict ), este liniară (respectă principiul suprapunerii stărilor) şi este de ordinul întâi în raport cu timpul (respectă principiul cauzalităţii). Calculăm comutatorul: [ L ] = [ c ( αˆ pˆ + αˆ pˆ + αˆ pˆ + αˆ m c) , xˆ pˆ − yˆ pˆ ] = ˆ H, ˆ z 1 x 2 y 3 z 0 0 y x α ˆ pˆ , xpˆ − pˆ , ypˆ + c αˆ pˆ , xpˆ − pˆ , ypˆ = c 1 { [ x y ] [ x x ] } 2{ [ y y ] [ y x ] } + + c α ˆ { [ ] [ ] } ˆ 3 pˆ z , xpˆ y − pˆ z , ypˆ x + c α 0{ [ m 0c, xpˆ y ] − [ m 0c, ypˆ x ] } = α ˆ [ pˆ , x] pˆ − c αˆ [ pˆ , y] pˆ ⇒ c 1 y 2 y x 3 x 12 h i c [ L ] ( ˆ z 1pˆ ˆ y 2pˆ x ) i ˆ H, ˆ = α − α h La fel se arată că [ ] [ L ] ˆ H, ˆ L 0 , ˆ H, ˆ ≠ = (2.301) x ≠ y 0 . Deoarece hamiltonianul relativist nu comută cu momentul cinetic orbital, rezultă că momentul cinetic orbital al electronului nu este o constantă a mişcării. Introducem operatorul: σ ˆ ˆ ˆ z = − i α1α 2 (2.302) şi calculăm comutatorul (ţinând seama de (2.296’): ⎡ ⎤ i ⎢ H, σ ˆ ⎥ = − [ c ( αˆ pˆ ⎣ 2 ⎦ 2 + αˆ pˆ + αˆ pˆ + αˆ m c) , αˆ αˆ ] = ˆ h h z 1 x 2 y 3 z 0 0 1 2
- 74 - ⎧ ⎫ i hc ⎪ ⎪ = − ⎨ [ αˆ αˆ αˆ ] + [ αˆ αˆ αˆ ] + [ αˆ , αˆ αˆ 1, 1 2 pˆ x 2 , 1 2 pˆ y z x y ] pˆ z ⎬ 2 ⎪ 1 44243 4 ⎪ ⎩ = 0 ⎭ = i c = − [ ( αˆ αˆ αˆ − αˆ αˆ αˆ 1 1 2 1 1 2 ) pˆ x 2 + ( αˆ 2αˆ 1αˆ 2 − αˆ 1αˆ 2αˆ 2 ) pˆ y ]= h i hc = − ( 2αˆ 1αˆ 1αˆ 2 pˆ x 2 + 2αˆ ˆ ˆ 2 α 1α 2 pˆ y ) = − i hc ( αˆ 2 pˆ x − αˆ 1pˆ y ) H, ˆ z 2 c ( ˆ ˆ 2pˆ x 1pˆ y ) i ˆ ⎡ h ⎤ ⎢ σ ⎥ = ⎣ ⎦ h α − α (2.303) Adunând (2.301) cu (2.303) obţinem: L ˆ 0 2 ˆ H, ˆ ⎡ ⎤ ⎢ z + σz ⎥ = ⎣ ⎦ h Rezultă că mărimea reprezentată prin operatorul (2.304) L ˆ 2 ˆ Jˆ z = z + h σ z (2.305) este o constantă a mişcării relativiste a electronului liber. Mărimea J z este proiecţia pe axa Oz a momentului cinetic total J r . Astfel termenul ˆ z 2 σ h trebuie să exprime mişcarea de spin a electronului. Din ecuaţiile cu valori proprii L L ˆ J J , ˆ zΨ = zΨ zΨ = zΨ (2.306) Jˆ L ˆ 2 ˆ ⎛ ⎞ ⎜ z + σ z ⎟ Ψ = zΨ ⎝ ⎠ h (2.307) rezultă: ( L ) ( J L ) ˆ Jˆ h σˆ zΨ = z − z Ψ = z − z Ψ 2 Aplicând operatorul ˆ z 2 (2.308) σ h la stânga relaţiei (2.308) obţinem: 2 h σˆ σˆ z zΨ = 4 h 2 σˆ z ( J z − L z ) Ψ = ( J z − L z ) Ψ 2 (2.309) Dar: σ ˆ ˆ i ˆ ˆ ( i ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z σ z = − α1α 2 − α1α 2 = − α1α 2α1α 2 = α 2α1α 1α 2 = 1 Relaţia (2.309) devine: 2 h 2 Ψ = ( J z − L z ) Ψ 4 (2.310) sau: J z = L z ± h 2 (2.311) Ţinând seama că operatorul sˆ z al proiecţiei momentului cinetic de spin are valorile proprii 2 h ± , rezultă că: J z = L z + s z (2.312) Astfel constanta mişcării relativiste care exprimă izotropia spaţiului este momentul cinetic total J.
- Page 1 and 2: 2. Elemente de mecanică cuantică
- Page 3 and 4: - 28 - 2.3. Bazele matematice ale m
- Page 5 and 6: - 30 - 〈 Ψ , Ψ 〉 = n n c (2.1
- Page 7 and 8: - 32 - Din ecuaţia lui Schrödinge
- Page 9 and 10: - 34 - Din relaţia (2.39) rezultă
- Page 11 and 12: - 36 - ⇒ C = − D = 0 ⇒ Ψ = 0
- Page 13 and 14: - 38 - ik l a e − kl kl 1 2 + b 2
- Page 15 and 16: - 40 - Se poate verifica relaţia R
- Page 17 and 18: ecuaţia (2.80) devine: 2 Ψ + 2 d
- Page 19 and 20: - 44 - Dacă ε satisface relaţia
- Page 21 and 22: - 46 - Hˆ + 2 + ( â ) = â ( Hˆ
- Page 23 and 24: - 48 - operatorului de creare + â
- Page 25 and 26: - 50 - Deoarece operatorii componen
- Page 27 and 28: - 52 - este de asemenea un vector p
- Page 29 and 30: unde z - 54 - Scriind ecuaţia cu v
- Page 31 and 32: - 56 - d ⎛ 2 dR ⎞ ⎜r ⋅ ⎟
- Page 33 and 34: - 58 - b) Deoarece potenţialul nu
- Page 35 and 36: - 60 - 6) În spectroscopie, nivele
- Page 37 and 38: - 62 - dP = R n, l ⋅S l, m l 2
- Page 39 and 40: - 64 - eh µ B− P = − (2.259) 2
- Page 41 and 42: - 66 - În cazul mişcării nerelat
- Page 43 and 44: - 68 - ( L = l 1 + l 2 , l 1 + l 2
- Page 45 and 46: - 70 - intensitate de câmp electri
- Page 47: - 72 - Două exemple de efect Zeema
- Page 51 and 52: - 76 - O ilustrare a despicării ni
- Page 53 and 54: - 78 - 4 2 me0z E = − 2 2 2h n ş
- Page 55 and 56: - 80 - 2 2 2 2 2 2 1 2 4 1 E cin =
- Page 57 and 58: unde - 82 - z z − ⋅ r1 − ⋅
- Page 59 and 60: - 84 - şi cum modul de numărare a
- Page 61 and 62: unde g m şi n - 86 - g reprezintă
- Page 63 and 64: - 88 - pe nivelul inferior. Întruc
- Page 65 and 66: - 90 - are o creştere limitată .
- Page 67 and 68: - 92 - i i i − ⋅ Ent − ⋅ E
- Page 69 and 70: - 94 - t t V ( ) − ω ( ) ( ) −
- Page 71 and 72: - 96 - rezultă că în cazul în c
- Page 73 and 74: - 98 - 2 2 2 (ţinând seama de fap
- Page 75 and 76: - 100 - u ν − ν 0 = ν 0 ⋅ c
- Page 77 and 78: - 102 - ∆Ω ∼ α λ α ∼ D
- Page 79 and 80: - 104 - 4 d w dB Bν = = , θ = 0 d
- Page 81: - 106 - Laserul cu He-Ne este folos
- 74 -<br />
⎧<br />
⎫<br />
i hc<br />
⎪<br />
⎪<br />
= − ⎨ [ αˆ<br />
αˆ<br />
αˆ<br />
] + [ αˆ<br />
αˆ<br />
αˆ<br />
] + [ αˆ<br />
, αˆ<br />
αˆ<br />
1,<br />
1 2 pˆ x 2 , 1 2 pˆ y z x y ] pˆ z ⎬<br />
2 ⎪<br />
1 44243<br />
4<br />
⎪<br />
⎩<br />
= 0 ⎭<br />
=<br />
i c<br />
= − [ ( αˆ<br />
αˆ<br />
αˆ<br />
− αˆ<br />
αˆ<br />
αˆ<br />
1 1 2 1 1 2 ) pˆ x<br />
2<br />
+ ( αˆ<br />
2αˆ<br />
1αˆ<br />
2 − αˆ<br />
1αˆ<br />
2αˆ<br />
2 ) pˆ y ]=<br />
h<br />
i hc<br />
= − ( 2αˆ<br />
1αˆ<br />
1αˆ<br />
2 pˆ x<br />
2<br />
+ 2αˆ<br />
ˆ ˆ 2 α 1α<br />
2 pˆ y ) = − i hc<br />
( αˆ<br />
2 pˆ x − αˆ<br />
1pˆ<br />
y )<br />
H, ˆ z<br />
2<br />
c ( ˆ ˆ<br />
2pˆ<br />
x 1pˆ<br />
y )<br />
i<br />
ˆ ⎡ h ⎤<br />
⎢ σ ⎥ =<br />
⎣ ⎦<br />
h<br />
α − α<br />
(2.303)<br />
Adunând (2.301) cu (2.303) obţinem:<br />
L ˆ 0<br />
2<br />
ˆ H, ˆ ⎡<br />
⎤<br />
⎢ z + σz<br />
⎥<br />
=<br />
⎣<br />
⎦<br />
h<br />
Rezultă că mărimea reprezentată prin operatorul<br />
(2.304)<br />
L ˆ<br />
2<br />
ˆ Jˆ z = z +<br />
h<br />
σ z<br />
(2.305)<br />
este o constantă a mişcării relativiste a electronului liber. Mărimea J z este proiecţia pe axa<br />
Oz a momentului cinetic total J r . Astfel termenul ˆ z<br />
2 σ<br />
h<br />
trebuie să exprime mişcarea <strong>de</strong> spin a<br />
electronului.<br />
Din ecuaţiile cu valori proprii<br />
L L ˆ<br />
J J ,<br />
ˆ<br />
zΨ<br />
= zΨ<br />
zΨ<br />
= zΨ<br />
(2.306)<br />
Jˆ L ˆ<br />
2<br />
ˆ ⎛ ⎞<br />
⎜ z + σ z ⎟ Ψ = zΨ<br />
⎝ ⎠<br />
h<br />
(2.307)<br />
rezultă:<br />
( L ) ( J L )<br />
ˆ Jˆ h<br />
σˆ<br />
zΨ<br />
= z − z Ψ = z − z Ψ<br />
2<br />
Aplicând operatorul ˆ z<br />
2<br />
(2.308)<br />
σ<br />
h<br />
la stânga relaţiei (2.308) obţinem:<br />
2<br />
h<br />
σˆ<br />
σˆ<br />
z zΨ<br />
=<br />
4<br />
h<br />
2<br />
σˆ<br />
z ( J z − L z ) Ψ = ( J z − L z ) Ψ<br />
2<br />
(2.309)<br />
Dar:<br />
σ ˆ ˆ i ˆ ˆ ( i ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ<br />
z σ z = − α1α<br />
2 − α1α<br />
2 = − α1α<br />
2α1α<br />
2 = α 2α1α<br />
1α<br />
2 = 1<br />
Relaţia (2.309) <strong>de</strong>vine:<br />
2<br />
h<br />
2<br />
Ψ = ( J z − L z ) Ψ<br />
4<br />
(2.310)<br />
sau:<br />
J z = L z ±<br />
h<br />
2<br />
(2.311)<br />
Ţinând seama că operatorul sˆ z al proiecţiei momentului cinetic <strong>de</strong> spin are valorile<br />
proprii<br />
2<br />
h<br />
± , rezultă că:<br />
J z = L z + s z<br />
(2.312)<br />
Astfel constanta mişcării relativiste care exprimă izotropia spaţiului este momentul<br />
cinetic total J.
Change language