Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

λ
1
〈 ψ , ψ
1
1
〉 + λ
λ1
〈 ψ 2 , ψ1
〉 + λ
14243
= 0
2
- 29 -
〈 ψ1,
ψ 2 〉 = 0
14243
= 0
2
〈 ψ
2
, ψ
Deci relaţia λ 1 ψ1
+ λ 2ψ
2 = 0 are loc numai dacă λ 1 = λ 2 = 0 .
Primul postulat: „Fiecărei mărimi fizice i se asociază în spaţiul Hilbert un operator
liniar hermitic. Valorile numerice măsurate ale unei mărimi fizice sunt valorile proprii ale
operatorului asociat acelei mărimi”.
Prin definiţie, operatorul BÂ ˆ Bˆ B] Â ˆ [ Â,
= − se numeşte comutatorul operatorilor Â
şi Bˆ . Dacă doi operatori admit funcţii proprii comune, atunci cei doi operatori comută
( BÂ ˆ Bˆ Â = ). Pentru a demonstra acest lucru considerăm că ψ este o funcţie proprie comună
operatorilor  şi Bˆ , deci:
 ψ = aψ
, ψ = ψ ⇒ ψ = − BÂ) ψ = ˆ Bˆ B] ( Â ˆ
B b [ Â,
ˆ
= Ba ba ab 0
ˆ Âbψ − ψ = ψ − ψ = ⇒ B] ˆ [ Â,
= 0 .
Mărimile fizice pentru care operatorii asociaţi comută (au funcţii proprii comune) pot
fi măsurate simultan. Informaţia maximă care se poate obţine de la un sistem cuantic este dată
de totalitatea valorilor măsurate simultan ale mărimilor independente. Astfel pentru electronii
din atom energia, mărimea momentului cinetic şi o proiecţie a acestuia pot fi măsurate
simultan, cu orice precizie (sunt mărimi compatibile).
Al doilea postulat: „Operatorul cuantic cel mai general fiind o funcţie numai de
operatorii fundamentali pˆ şi qˆ (orice mărime fizică clasică este o funcţie numai de perechile
de variabile conjugate canonic p şi q ), pentru doi operatori oarecare comutatorul este definit
prin cunoaşterea comutatorilor fundamentali:
h
⎧1
, i = k
[ qˆ i , qˆ k ] = 0 , [ pˆ i , pˆ k ] = 0 , [ pˆ i , qˆ k ] = δik
; δik
= ⎨
(2.17)
i
⎩0
, i ≠ k
i , k = 1 , 2 , . . . , f
f fiind numărul gradelor de libertate”.
Relaţiile (2.17) constituie regulile de comutare Heisenberg. Din cele 2f variabile
canonice care determină starea unui sistem cu f grade de libertate, este posibil să se măsoare
exact doar f variabile, celelalte rămânând nedeterminate.
Al treilea postulat: „Fiecare stare fizică a unui sistem este caracterizată de o funcţie de
undă numită funcţie de stare. Operatorii ce acţionează asupra unei funcţii de undă corespund
operaţiei de măsurare (observare)”.
Dacă fiecărei valori proprii îi corespunde o singură funcţie proprie, starea cuantică este
nedegenerată, iar dacă unei valori proprii îi corespund r funcţii proprii diferite, starea este
degenerată, gradul de degenerare fiind r .
Principiul suprapunerii stărilor: „O stare oarecare a unui sistem fizic este o
suprapunere a stărilor proprii, adică funcţia de undă Ψ ce descrie o stare oarecare este o
combinaţie liniară a tuturor funcţiilor proprii Ψ Ψ , . . . , Ψ
n
2
〉
=
0
⇒
⇒
1,
2 n
Ψ = ∑ c kΨk
k = 1
Coeficienţii dezvoltării se calculează astfel:
(2.18)”
⎛ ⎞
〈 Ψ
∗
⎜
∗
⎟ = Ψ
∗
n
, Ψ 〉 = ∫ Ψn
Ψ dV = ∫ ∑c
kΨn
Ψk
dV ∑ c k ∫ n Ψk
dV = ∑c
kδ
nk
⎝ k ⎠
k
k
⇒
λ
1
=
λ
2
0
=
0