Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 63 -
Electronul studiat se va găsi cu o anumită probabilitate într-un punct din interiorul
acestui tub de curent elementar. Intensitatea curentului care străbate torul este:
r rr
dI = J ⋅ dA = Ju
ϕdA
(2.253)
Tubul elementar de curent îmbrăţişează o suprafaţă de arie S = π ( r ⋅ sin
2
θ ) =
2 2
= π r ⋅sin
θ.
Momentul magnetic elementar generat de curentul de intensitate dI este:
( ) 2
rr
dM z = dI ⋅S
= Ju
ϕdA
π r ⋅ sinθ
(2.254)
Din relaţiile (2.252) şi (2.254) rezultă:
rr
1
dM z = Ju
ϕ ⋅ 21
π42
r ⋅ sin43
θ4dA
⋅ r ⋅ sinθ
2
dV
1 r r
dM z = r ⋅sinθ
J ⋅ u ϕ dV
2
(2.255)
Componenta după axa z a momentului magnetic generat de mulţimea tuturor
torurilor elementare parcurse de curenţi cuantici de intensitate dI , în care putem împărţi
spaţiul fizic, se obţine integrând relaţia (2.255):
1 r r
M z = ∫∞
r ⋅sinθ
J ⋅ u ϕ dV
2
Exprimând pe J
(2.256)
r în coordonate sferice şi şinând seama de faptul că:
r
∇ = u r
∂
∂r
r 1 ∂
+ u θ
r ∂θ
r 1 ∂
+ u ϕ
r ⋅sin
θ ∂ϕ
(2.257)
obţinem:
J r
i eh
⎛ ∂Ψ
∗
∂Ψ
⎞
= − ⎜
∗ ⎟
⎜
Ψ − Ψ
2m
⎟
⎝ ∂r
∂r
⎠
J θ
i eh
⎛ ∂Ψ
∗
∂Ψ
⎞
= − ⎜
∗ ⎟
⎜
Ψ − Ψ
2mr
⎟
⎝ ∂θ
∂θ
⎠
J ϕ
i eh
⎛ ∂Ψ
∗
∂Ψ
⎞
= − ⎜
∗ ⎟
⎜
Ψ − Ψ
2mr ⋅sin
θ
⎟
⎝ ∂ϕ
∂ϕ
⎠
Deoarece funcţia de undă (2.251) este reală în raport cu variabilele r şi θ , rezultă
J r = 0 , J θ = 0 . Derivând Ψ
nlm
în raport cu ϕ obţinem:
l
∂Ψ
∗
nlm
∂Ψ
l
nlm
= i m Ψ
l
= − Ψ
∗
∂ϕ
l nlm
,
i m
l ∂ϕ
l nlm
l
r r r r
i eh
e m
J u J u u J
( i m
∗
i m
∗
h
⋅ = = = − − ΨΨ − Ψ Ψ)
= −
l
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
2mr ⋅sin
θ l l mr ⋅sin
θ
Înlocuind în (2.256) obţinem:
Ψ
2
∫ ∫∞
Ψ
− =
∞ ⎟ 1 ⎛ ehm
M = r ⋅sinθ
⎜ −
l
z
2 ⎜
⎝ mr ⋅sin
θ
Ψ
2 ⎞
dV
⎠
ehm
l
2m
2
dV
Conform condiţiei de normare, integrala extinsă pe întreg spaţiul fizic este egală cu
unitatea şi deci:
Mz = −
ehm
l
2m
⇒
z
B P m M =
l
⋅µ
−
(2.258)
unde: