Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 61 -
2
h
rmax = r1
= = 0,529 Å (raza primei orbite Bohr).
2
me0
În cazul particular analizat numărul cuantic radial n r este nul. Se poate arăta că în cazul în
care numărul cuantic radial n r = 0 , din relaţia n = n r + l + 1 rezultă l = n −1
, iar valoarea
maximă a densităţii de probabilitate corespunde la valori ale lui r care sunt multipli întregi ai
razei primei orbite Bohr:
2
rn = n r
max 1
(2.246)
Dacă în teoria lui Bohr electronul aflat în starea fundamentală a atomului de hidrogen se
deplasează pe un cerc de rază r 1 , în mecanica cuantică riguroasă densitatea de probabilitate
pentru acest electron este diferită de zero atât pentru r ≤ r 1 , cât şi pentru r ≥ r 1 . Astfel în
mecanica cuantică nu putem considera că electronul se poate deplasa pe orbite precise, ca în
teoria lui Bohr. Pentru r n = 1 există o suprafaţă pentru care Π r = 0 , numită suprafaţă nodală.
În general numărul suprafeţelor nodale se identifică cu numărul cuantic radial n r . În cazul în
care l = 0, odată cu creşterea numărului cuantic principal n densitatea de probabilitate
radială Π r oscilează mai rapid, apropiindu-se de forma densităţii de probabilitate
corespunzătoare mişcării clasice în conformitate cu principiul de corespondenţă.
La fel se poate calcula probabilitatea de localizare a electronului în zonele pentru care
θ este cuprins între θ şi θ + dθ
, iar ϕ este cuprins între ϕ şi ϕ + dϕ
, indiferent de distanţa
r faţă de nucleu, integrând probabilitatea dP după toate valorile lui r . Întrucât în (2.241)
i m ϕ
variabila ϕ apare numai în factorul e l , pătratul modulului funcţiei de undă nu va
depinde de ϕ , astfel că distribuţia particulei în planul perpendicular pe axa Oz este complet
simetrică. Densitatea de probabilitate unghiulară se determină cu relaţia:
dPθ,
ϕ
Π θ,
ϕ = , dΩ
= sinθ
dθ
dϕ
(2.247)
dΩ
unde d Ω este elementul de unghi solid.
Deoarece funcţiile proprii radiale sunt normate:
∞
2
∫
0
R
n, l
2
⋅ r dr = 1
obţinem: