Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 60 -
6) În spectroscopie, nivelele de energie cu n = 1, 2, 3, . . . se notează cu K, L, M, . . .
(pături electronice), iar cele pentru l = 0, 1, 2, . . . se notează cu s, p, d, . . . Electronii
cu acelaşi n ocupă o pătură, iar cei cu acelaşi l ocupă o subpătură. Principiul de
excluziune al lui Pauli interzice ca aceeaşi stare cuantică să fie ocupată de doi
electroni (într-un atom nu pot exista 2 electroni având aceleaşi numere cuantice).
Fiecare stare cuantică permisă este caracterizată de patru numere cuantice
(n, l , m
l
, m S ).
2.8.7. Probabilitatea de localizare a electronului în atomul de hidrogen
Probabilitatea de a găsi electronul într-un element de volum
2
dV = r sin θ dr dθ
dϕ
(2.242)
este:
dP = Ψ
∗
Ψ dV ⇒ dP = Ψ
n, l,m
l
2
dV
Integrând această probabilitate după toate valorile posibile ale lui θ şi ϕ vom obţine
probabilitatea de localizare a electronuluila o distanţă de nucleu cuprinsă între r şi r + dr ,
indiferent de direcţie.
Particularizând pentru starea fundamentală 1s a atomului de hidrogen, pentru care
n = 1 , l = 0, m
l
= 0 , obţinem:
R 1 , 0 =
2
3
r1
− r/r1
e , S0,0
=
1
4π
(2.243)
Ψ 1,
0,
0 = R 1,0 ⋅S
0,
0 =
1
3
π r1
− r/r1
e
Ψ 1,0,0
2
=
1
3
π r1
− 2r/r1
e
(2.244)
dP =
1
3
π r1
− 2r/r1
2
e ⋅ r sin θ dr dθ
dϕ
dPr
=
π 2π
1 − 2r/r1
2
e ⋅ r dr sin θ dθ
dϕ
3
π r ∫ ∫
1
01
4424403 4π
⇒ dPr
=
4 − 2r/r1
2
e ⋅ r dr
3
r1
Densitatea de probabilitate corespunzătoare
dPr dr
= Π r =
4 − 2r/r1
2
e ⋅ r
3
r1
(2.245)
se anulează în origine (r = 0) din cauza factorului 2
r şi la ∞ din cauza exponenţialei
(probabilitatea ca electronul să se afle pe nucleu sau la infinit este nulă). Densitatea de
probabilitate r Π prezintă un maxim pentru o anumită distanţă rmax dintre electron şi nucleu.
Din condiţia de maxim
dΠ r
dr
= 0
rezultă:
d ⎛ − 2r/r1
2 ⎞
⎜e
⋅ r ⎟ = 0
dr ⎝ ⎠
⇒
− 2r/r ⎛ 2 1
2
e ⎜
⎜−
⋅ r
⎝ r1
⎞
+ 2r ⎟ = 0
⎠
⇒