Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

me
= εβ ⋅
2h
me
4
4
E = εE1
0
2 = −
2
2h
r
2
n n r + +
( ) ⇒
0
n + l + 1
- 59 -
4
me0
E = − n = 1, 2, . . . , ∞ (2.238)
2 2
2h
n
unde = l 1 este numit număr cuantic principal, iar n r este numit număr cuantic
radial. Deoarece numărul cuantic orbital este este un număr întreg rezultă:
l = 0 , 1,
2 , . . . , n −1
(2.239)
unde valoarea maximă = n −1
n = 0, iar valoarea minimă l = 0
l corespunde lui r
corespunde lui n = n r + 1. Din cele trei numere cuantice (n, n r , l ) numai două sunt
n n r + +
distincte (n şi l ), datorită relaţiei = l 1 .
Prin întreruperea seriei (2.235) la un anumit termen se obţine un polinom numit polinomul
Laguerre generalizat
+ ⎛ 2 ⎞
L
2 1
n + ⎜ ξ⎟
⎝ n ⎠
l l
. Din relaţiile (2.218) , (2.221) , (2.222) şi (2.234)
rezultă funcţia radială:
() ⎟ r
−
nr + ⎛ 2r ⎞
1
R r = N ⋅ r
l
⋅ e ⋅ L
2 l 1
⎜
nl
nl
n + l
(2.240)
⎝ nr1
⎠
Din relaţiile (2.204) , (2.212) şi (2.240) rezultă funcţiile proprii
r
−
⎛ ⎞
ϕ
Ψ ( θ ϕ)
= ⋅
l nr
⋅ ⋅
l + 2r m
⎜
⎟
+
⋅
l
i m
1 2 1
( θ)
⋅ l
nlm
r,
, N
nlm
r e L
n l
P
l
l
l
cos e
(2.241)
⎝ nr1
⎠
unde N
nlm
este un factor de normare.
l
Concluzii
1) Din relaţia (2.238) rezultă că energia electronului în atomul de hidrogen este
cuantificată de numărul cuantic principal n .
2) Pentru un număr cuantic principal dat, numărul cuantic orbital l poate lua valorile
l = 0 , 1,
2 , . . . , n −1
.
3) Pentru fiecare număr cuantic orbital l , numărul cuantic magnetic orbital m
l
poate
lua 2 l + 1 valori: m
l
= − l , − l + 1 , . . . , −1
, 0 , 1,
. . . , l −1
, l .
4) Deoarece energia depinde numai de n, iar funcţia de undă din (2.241) este dependentă
de trei numere cuantice n , l şi m
l
rezultă că stările electronului din atomul de
hidrogen sunt degenerate (unei valori proprii îi corespund mai multe funcţii de undă).
În teoria lui Bohr o stare cuantică era determinată numai de n . Pentru un n dat l
poate lua n valori, iar m
l
poate lua 2 l + 1 valori, pentru un total de
n −1
1 + 2n −1
2
∑ ( 2l
+ 1)
= 1 + 3 + 5 + . . . + [2 (n − 1) + 1] =
n = n stări
l = 0
2
(progresie aritmetică cu raţia 2). Astfel pentru un n dat există n 2 funcţii proprii
diferite, adică pentru o energie dată avem o degenerare de gradul n 2 . Numai starea
fundamentală caracterizată de n = 1, l = 0, m
l
= 0 este nedegenerată (în cazul când
nu considerăm spinul electronului).
5) Deoarece fiecare din aceste stări este caracterizată de un număr cuantic magnetic de
1 1
spin m S care poate lua valorile + sau − , există 2n
2 2
2 stări asociate fiecărui număr
cuantic principal n (există 2n 2 stări degenerate).