Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 58 -
b) Deoarece potenţialul nu este simetric, vom analiza şi cazul ξ → ∞ .
Pentru ξ → ∞ ecuaţia (2.224) se reduce la:
2
d u
2
dξ
+ βε u = 0
(2.231)
Soluţia acestei ecuaţii este:
1/
2
i
( ) ( βε)
ξ
u ξ = C e
1/
2
− i ( βε)
ξ
+ C′
e
(2.232)
Pentru E > 0 , β = + 1 soluţia este mărginită pentru orice valoare a lui E ∈ [0, ∞)
întrucât ( ) 2 / 1
βε este un număr real. În acest caz electronul este liber (lipseşte bariera din
dreapta potenţialului), având un spectru de valori proprii continuu. Orbita clasică este o
hiperbolă.
1/
2 1/2
Pentru E < 0, β = −1
, deoarece ( βε ) = i ε rezultă că numai primul termen din
(2.232) este mărginit şi deci trebuie să luăm C ′ = 0 . În aces caz (E < 0) electronul este
legat într-un atom (orbita clasică este o elipsă), mişcarea electronului este limitată de
bariera de potenţial, iar pentru eliberarea lui (E = 0) este necesar un lucru de ionizare
pozitiv. Astfel:
− ε1/2ξ
u ∞ ( ξ)
= C e
(2.233)
Alegând C = 1 şi ţinând seama de (2.228) rezultă că în cazul electronului legat în atom
soluţia ecuaţiei (2.224) pe întregul domeniu ξ ∈ [0, ∞)
este:
( ) 1 − ε1/
2ξ
u ξ = ξ
l +
⋅ e ⋅ f ( ξ)
(2.234)
unde f ( ξ)
se dezvoltă într-o serie de puteri:
∞
k
f ( ξ) = ∑ a kξ
(2.235)
k = 0
Impunând soluţiei (2.234) să verifice ecuaţia (2.224) se obţine o relaţie care este identic
satisfăcută numai dacă egalăm coeficienţii aceleiaşi puteri a lui ξ . Astfel se obţine o relaţie de
recurenţă între coeficienţii seriei (2.235) :
1/2
2 [ ε ( k + l + 1)
− 1]
a k + 1 =
a k
(2.236)
( k + l + 2)(
k + l + 1 ) − l ( l + 1)
Pentru ξ → ∞ termenii cei mai semnificativi ai seriei (2.235) sunt cei pentru care k >> 1.
1/ 2
2ε
ξ
Pentru aceştia raportul între doi termeni consecutivi este . La acelaşi rezultat se ajunge
k
dacă se face raportul între doi termeni consecutivi din dezvoltarea în serie a exponenţialei
ε ξ 2 / 1 2
e care tinde la ∞ pentru ξ → ∞ . Astfel seria (2.235) tinde la ∞ pentru ξ → ∞ . În
acest caz u ( ξ)
nu este mărginită. Dacă însă întrerupem seria la un termen de rang r n k = , se
− ε1/
2ξ
obţine un polinom, astfel că şi pentru ξ → ∞ factorul e din (2.234) asigură
mărginirea funcţiei u ( ξ)
. Dacă polinomul este de ordinul n r , atunci an = 0 şi a 0
r nr
+ 1
= .
În acest caz din (2.236) rezultă:
[ ( ) ]
( ) 2
1/2
1
2 ε n r + l + 1 − 1 = 0 ⇒ ε =
(2.237)
n r + l + 1
Din (2.222) şi (2.237) pentru β = −1
rezultă: