Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 57 -
( l + 1)
1
2
r1
2
d u
2
dξ
2
⎡2m
⎛ εe0
+ ⎢ ⎜ β ⋅ 2
⎢⎣
h ⎝ 2r1
+
2
e ⎞ 0
⎟ −
r1ξ
⎠
l
2 2
r1
ξ
⎤
⎥ u = 0
⎥⎦
⇒ (2.223)
2
d u
2
dξ
⎡
+ ⎢ βε
⎣
+
2
ξ
−
l ( l + 1)
⎤
u = 0
2 ⎥
ξ ⎦
(2.224)
Pentru a obţine soluţia generală, se determină soluţii particulare mărginite pentru
r → 0 şi pentru r → ∞ , adică pentru ξ → 0 şi ξ → ∞ .
a) Pentru ξ → 0 cei mai importanţi termeni din (2.224) devin cei cu puterea mai mare a lui
ξ la numitor. În acest caz, pentru l ≠ 0 , ecuaţia (2.224) devine:
2
d u
2
dξ
−
l ( l + 1)
u = 0
2
ξ
(2.225)
Căutăm o soluţie de forma:
α
u = ξ
(2.226)
Impunând ca această soluţie să verifice ecuaţia (2.225) obţinem:
α − 2 l
( )
( l + 1)
α
2
α α − 1 ξ − ξ = 0 ⇒ α − α − l ( l + 1 ) = 0
2
ξ
α1
, 2
1 ±
=
1 + 4l
( l + 1)
2
1 ± ( 1 + 2l)
=
2
⇒
⎧α1
⎨
⎩α
2
= l + 1
= − l
(2.227)
Din relaţia (2.218) scrisă sub forma
u () r = r R () r ⇒
şi din (2.226) , (2.227) rezultă:
u ( ξ)
= ξ R ( ξ)
R =
u
ξ
=
α
ξ
ξ
α −1
= ξ ⇒ R 1 = ξ
l
, R
− −1
2 = ξ
l
⇒ R 0 = C1R
1 + C 2R
2
Deoarece R 2 =
1
ξ
l + 1 → ∞ , această soluţie nefiind mărginită este eliminată, luând
ξ → 0
C 2 = 0 . Alegând C1 = 1 rezultă că pentru valori mici ale lui ξ soluţia ecuaţiei (2.224)
este:
u R
1
0 = ξ
+
0 = ξ
l
(2.228)
Pentru l = 0 termenul dominant în (2.224) este 2 / ξ în cazul ξ → 0.
În acest caz
ecuaţia (2.224) devine:
2
d u
2
dξ
+
2
u = 0
ξ
(2.229)
Alegând ca soluţie o serie de forma:
2
u = a1
ξ + a 2ξ
+ . . .
(2.230)
rezultă:
u ( 0)
= 0
R =
u
ξ
= a1
+ a 2ξ
+ . . . → a (valoare finită în vecinătatea originii).
1
ξ → 0
La acelaşi rezultat se ajunge dacă se impune unei soluţii de forma (2.226) să verifice ecuaţia
(2.224) şi se egalează cu zero coeficientul termenului dominant.