![Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei](https://img.yumpu.com/16899601/30/500x640/capitolul-2-elemente-de-mecanica-cuantica-pdf-andrei.jpg)
Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei
Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei
- 55 - Aceste relaţii sunt în acord cu formulele (2.159) şi (2.168) , care sunt valabile în cazul general. Deoarece m l este un număr întreg, rezultă că şi l trebuie să fie tot un număr întreg. l este numit număr cuantic orbital. 2.8.6. Teoria cuantică a atomului de hidrogen Energia potenţială a electronului în câmpul nucleului de sarcină + e are expresia: 2 e V () r = − 4πε0r 2 e 0 = − r (2.207) Deoarece V(r) depinde numai de valoarea absolută a distanţei dintre nucleu şi electron, adică este caracterizată de simetrie sferică ( V este invariant la o rotaţie în jurul originii), este convenabil să folosim coordonatele sferice pentru a trata mişcarea electronului în câmpul central al nucleului de hidrogen. Ecuaţia lui Schrödinger este: 1 ⎡ ∂ ⎛ 2 ∂Ψ ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂Ψ ⎞ r sin 2 ⎢ ⎜ ⋅ ⎟ + ⋅ ⎜ θ ⋅ ⎟ + r ⎣∂r ⎝ ∂r ⎠ sinθ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ 2 1 ∂ Ψ ⎤ ⋅ + 2 2 ⎥ sin θ ∂ϕ ⎦ 2m ⎛ ⎜E 2 ⎜ + h ⎝ 2 e ⎞ 0 ⎟ Ψ = 0 r ⎟ (2.208) ⎠ Înlocuind laplacianul din (2.187) în expresia operatorului hamiltonian H V () r 2m ˆ 2 h = − ∆ + obţinem: (2.209) L e r ˆ 1 H r 2m r r r ˆ 2 h ⎡ ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞ = − ⋅ 2 ⎢ ⎜ ⋅ ⎟ − ⎣∂ ⎝ ∂ ⎠ 2 ⎤ − 2 ⎥ h ⎦ 2 0 (2.210) 2 Deoarece Lˆ din (2.184) depinde numai de θ şi ϕ , iar Hˆ din (2.210) depinde de r 2 şi de Lˆ , rezultă că Hˆ 2 şi Lˆ comută: [ L ] 0 ˆ H, ˆ 2 = (2.211) Deoarece Hˆ 2 , Lˆ şi z Lˆ comută, rezultă că aceşti operatori vor avea un sistem comun de funcţii proprii. Astfel informaţia maximă care se poate obţine asupra stării electronului în atom constă din valorile energiei, ale mărimii momentului cinetic şi a unei proiecţii (proiecţia z) a momentului cinetic orbital. Soluţia ecuaţiei (2.208) se pune sub forma: Ψ ( r, θ, ϕ) = R ( r) ⋅S ( θ, ϕ) unde S ( θ , ϕ) este funcţia sferică. Înlocuind (2.212) în (2.208) obţinem: (2.212) 1 ⎡ ∂ ⎛ 2 ∂R ⎞ R ∂ ⎛ ∂S ⎞ S r sin 2 ⎢ ⎜ ⋅ ⎟ + ⋅ ⎜ θ ⋅ ⎟ + r ⎣ ∂r ⎝ ∂r ⎠ sinθ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ 2 R ∂ S ⎤ ⋅ + 2 2 ⎥ sin θ ∂ϕ ⎦ 2m ⎛ ⎜E 2 ⎜ + h ⎝ 2 e ⎞ 0 ⎟ R S = 0 r ⎟ (2.213) ⎠ r Înmulţind relaţia cu R S 2 şi şinând seama de relaţiile (2.189) şi (2.205) obţinem: 2 2 2 2 1 d ⎛ 2 dR ⎞ 2mr ⎛ e ⎞ 0 1 ∂ ⎛ ∂S ⎞ 1 ∂ S L ⎜r ⎟ + ⎜E ⎟ sin = = ( + 1) 2 ⎜ ⎟ − 2 2 2 R dr dr ⎜ + θ r ⎟ = − l l (2.214) ⎝ ⎠ h ⎝ ⎠ S sinθ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ S sin θ ∂ϕ h Ecuaţia în r este: 2 d ⎛ 2 dR ⎞ ⎡2mr ⎛ ⎜r ⋅ ⎟ + ⎢ E 2 dr dr ⎜ + ⎝ ⎠ ⎢⎣ h ⎝ 2 e ⎞ ⎤ 0 − ( + 1 ) ⎥ R r ⎟ l l ⎠ ⎥⎦ = 0 (2.215) Dar:
- 56 - d ⎛ 2 dR ⎞ ⎜r ⋅ ⎟ dr ⎝ dr ⎠ 2 d = r ⋅ 2 dr ( r R) (2.216) deoarece: d ⎛ 2 dR ⎞ dR ⎜r ⋅ ⎟ = 2r dr ⎝ dr ⎠ dr 2 2 d R + r 2 dr 2 d r ⋅ 2 dr 2 2 ⎡ d ⎛ dR ⎞⎤ ⎡dR d R dR ⎤ dR 2 d R ( r R) = r ⎢ ⎜R + r ⋅ ⎟ = r ⎢ + r ⋅ + = 2r + r ⋅ 2 ⎥ 2 dr dr ⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎣ dr dr dr ⎦ dr dr Înlocuind (2.216) în (2.215) obţinem: 2 d r ⋅ 2 dr 2 ( r R) + r ⎡ 2m ⎛ ⎢ ⎜E 2 ⎜ + ⎢⎣ h ⎝ 2 e ⎞ 0 ⎟ r ⎟ − ⎠ l ( l + 1) ⎤ R 2 ⎥ r ⎥⎦ = 0 sau: 2 d u 2 dr ⎡ 2m ⎛ + ⎢ E 2 ⎜ + ⎢⎣ h ⎝ 2 e ⎞ 0 r ⎟ − ⎠ l ( l + 1) ⎤ u = 0 2 ⎥ r ⎥⎦ (2.217) unde: u = r R (2.218) Relaţia (2.217) se poate pune sub forma ecuaţiei lui Schrödinger unidimensionale: 2 d u 2 dr + ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ 2 2 2m ⎪ ⎡ e0 l ( l + 1 ) h ⎤ ⎪ E u = 0 2 ⎨ − ⎢− + 2 ⎥ ⎬ h ⎪ ⎣ r 2mr 144424443⎦⎪ ⎪ V ⎪ ⎩ ef ⎭ (2.219) unde: V ef ( l + 1) 2 l h = V () r + (2.220) 2 142 2mr43 V este numit potenţial efectiv. Deoarece r ≥ 0 , termenul al doilea din (2.220) este pozitiv şi este numit potenţial centrifugal, întrucât îi corespunde o forţă de respingere a particulei faţă de centru ( F = − dVC / dr ≥ 0 ). Ecuaţia (2.217) poate fi scrisă în funcţie de mărimile adimensionale: 2 r h ξ = , r1 = (2.221) 2 r me Rezultă: ε = du dr 1 E E 1 , E 1 du dξ = = dξ dr 0 me = β 2h 4 0 2 1 du r dξ 1 2 e 0 = β 2r 2 2 d u d ⎛ du ⎞ dξ 1 d u = 2 ⎜ ⎟ = 2 dr dξ ⎝ dr ⎠ dr r dξ 2 1 1 , β = ± 1 C (2.222)
- Page 1 and 2: 2. Elemente de mecanică cuantică
- Page 3 and 4: - 28 - 2.3. Bazele matematice ale m
- Page 5 and 6: - 30 - 〈 Ψ , Ψ 〉 = n n c (2.1
- Page 7 and 8: - 32 - Din ecuaţia lui Schrödinge
- Page 9 and 10: - 34 - Din relaţia (2.39) rezultă
- Page 11 and 12: - 36 - ⇒ C = − D = 0 ⇒ Ψ = 0
- Page 13 and 14: - 38 - ik l a e − kl kl 1 2 + b 2
- Page 15 and 16: - 40 - Se poate verifica relaţia R
- Page 17 and 18: ecuaţia (2.80) devine: 2 Ψ + 2 d
- Page 19 and 20: - 44 - Dacă ε satisface relaţia
- Page 21 and 22: - 46 - Hˆ + 2 + ( â ) = â ( Hˆ
- Page 23 and 24: - 48 - operatorului de creare + â
- Page 25 and 26: - 50 - Deoarece operatorii componen
- Page 27 and 28: - 52 - este de asemenea un vector p
- Page 29: unde z - 54 - Scriind ecuaţia cu v
- Page 33 and 34: - 58 - b) Deoarece potenţialul nu
- Page 35 and 36: - 60 - 6) În spectroscopie, nivele
- Page 37 and 38: - 62 - dP = R n, l ⋅S l, m l 2
- Page 39 and 40: - 64 - eh µ B− P = − (2.259) 2
- Page 41 and 42: - 66 - În cazul mişcării nerelat
- Page 43 and 44: - 68 - ( L = l 1 + l 2 , l 1 + l 2
- Page 45 and 46: - 70 - intensitate de câmp electri
- Page 47 and 48: - 72 - Două exemple de efect Zeema
- Page 49 and 50: - 74 - ⎧ ⎫ i hc ⎪ ⎪ = −
- Page 51 and 52: - 76 - O ilustrare a despicării ni
- Page 53 and 54: - 78 - 4 2 me0z E = − 2 2 2h n ş
- Page 55 and 56: - 80 - 2 2 2 2 2 2 1 2 4 1 E cin =
- Page 57 and 58: unde - 82 - z z − ⋅ r1 − ⋅
- Page 59 and 60: - 84 - şi cum modul de numărare a
- Page 61 and 62: unde g m şi n - 86 - g reprezintă
- Page 63 and 64: - 88 - pe nivelul inferior. Întruc
- Page 65 and 66: - 90 - are o creştere limitată .
- Page 67 and 68: - 92 - i i i − ⋅ Ent − ⋅ E
- Page 69 and 70: - 94 - t t V ( ) − ω ( ) ( ) −
- Page 71 and 72: - 96 - rezultă că în cazul în c
- Page 73 and 74: - 98 - 2 2 2 (ţinând seama de fap
- Page 75 and 76: - 100 - u ν − ν 0 = ν 0 ⋅ c
- Page 77 and 78: - 102 - ∆Ω ∼ α λ α ∼ D
- Page 79 and 80: - 104 - 4 d w dB Bν = = , θ = 0 d
- 55 -<br />
Aceste relaţii sunt în acord cu formulele (2.159) şi (2.168) , care sunt valabile în<br />
cazul general. Deoarece m<br />
l<br />
este un număr întreg, rezultă că şi l trebuie să fie tot un număr<br />
întreg. l este numit număr cuantic orbital.<br />
2.8.6. Teoria <strong>cuantică</strong> a atomului <strong>de</strong> hidrogen<br />
Energia potenţială a electronului în câmpul nucleului <strong>de</strong> sarcină + e are expresia:<br />
2<br />
e<br />
V () r = −<br />
4πε0r<br />
2<br />
e 0<br />
= −<br />
r<br />
(2.207)<br />
Deoarece V(r) <strong>de</strong>pin<strong>de</strong> numai <strong>de</strong> valoarea absolută a distanţei dintre nucleu şi electron,<br />
adică este caracterizată <strong>de</strong> simetrie sferică ( V este invariant la o rotaţie în jurul originii), este<br />
convenabil să folosim coordonatele sferice pentru a trata mişcarea electronului în câmpul<br />
central al nucleului <strong>de</strong> hidrogen. Ecuaţia lui Schrödinger este:<br />
1 ⎡ ∂ ⎛ 2 ∂Ψ<br />
⎞ 1 ∂ ⎛ ∂Ψ<br />
⎞<br />
r<br />
sin<br />
2 ⎢ ⎜ ⋅ ⎟ + ⋅ ⎜ θ ⋅ ⎟ +<br />
r ⎣∂r<br />
⎝ ∂r<br />
⎠ sinθ<br />
∂θ<br />
⎝ ∂θ<br />
⎠<br />
2<br />
1 ∂ Ψ ⎤<br />
⋅ +<br />
2 2 ⎥<br />
sin θ ∂ϕ<br />
⎦<br />
2m ⎛<br />
⎜E<br />
2 ⎜<br />
+<br />
h ⎝<br />
2<br />
e ⎞ 0 ⎟ Ψ = 0<br />
r ⎟<br />
(2.208)<br />
⎠<br />
Înlocuind laplacianul din (2.187) în expresia operatorului hamiltonian<br />
H V () r<br />
2m<br />
ˆ<br />
2<br />
h<br />
= − ∆ +<br />
obţinem:<br />
(2.209)<br />
L e<br />
r<br />
ˆ<br />
1<br />
H r<br />
2m r r r<br />
ˆ<br />
2<br />
h ⎡ ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞<br />
= − ⋅ 2 ⎢ ⎜ ⋅ ⎟ −<br />
⎣∂<br />
⎝ ∂ ⎠<br />
2 ⎤<br />
− 2 ⎥<br />
h ⎦<br />
2<br />
0<br />
(2.210)<br />
2<br />
Deoarece Lˆ din (2.184) <strong>de</strong>pin<strong>de</strong> numai <strong>de</strong> θ şi ϕ , iar Hˆ din (2.210) <strong>de</strong>pin<strong>de</strong> <strong>de</strong> r<br />
2<br />
şi <strong>de</strong> Lˆ , rezultă că Hˆ 2<br />
şi Lˆ comută:<br />
[ L ] 0 ˆ H, ˆ 2<br />
= (2.211)<br />
Deoarece Hˆ 2<br />
, Lˆ şi z Lˆ comută, rezultă că aceşti operatori vor avea un sistem comun<br />
<strong>de</strong> funcţii proprii. Astfel informaţia maximă care se poate obţine asupra stării electronului în<br />
atom constă din valorile energiei, ale mărimii momentului cinetic şi a unei proiecţii<br />
(proiecţia z) a momentului cinetic orbital.<br />
Soluţia ecuaţiei (2.208) se pune sub forma:<br />
Ψ ( r, θ,<br />
ϕ)<br />
= R ( r)<br />
⋅S<br />
( θ,<br />
ϕ)<br />
un<strong>de</strong> S ( θ , ϕ)<br />
este funcţia sferică. Înlocuind (2.212) în (2.208) obţinem:<br />
(2.212)<br />
1 ⎡ ∂ ⎛ 2 ∂R<br />
⎞ R ∂ ⎛ ∂S<br />
⎞<br />
S r<br />
sin<br />
2 ⎢ ⎜ ⋅ ⎟ + ⋅ ⎜ θ ⋅ ⎟ +<br />
r ⎣ ∂r<br />
⎝ ∂r<br />
⎠ sinθ<br />
∂θ<br />
⎝ ∂θ<br />
⎠<br />
2<br />
R ∂ S ⎤<br />
⋅ +<br />
2 2 ⎥<br />
sin θ ∂ϕ<br />
⎦<br />
2m ⎛<br />
⎜E<br />
2 ⎜<br />
+<br />
h ⎝<br />
2<br />
e ⎞ 0 ⎟ R S = 0<br />
r ⎟<br />
(2.213)<br />
⎠<br />
r<br />
Înmulţind relaţia cu<br />
R S<br />
2<br />
şi şinând seama <strong>de</strong> relaţiile (2.189) şi (2.205) obţinem:<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
1 d ⎛ 2 dR ⎞ 2mr ⎛ e ⎞ 0 1 ∂ ⎛ ∂S<br />
⎞ 1 ∂ S L<br />
⎜r<br />
⎟ + ⎜E<br />
⎟<br />
sin<br />
= = ( + 1)<br />
2<br />
⎜ ⎟ − 2 2 2<br />
R dr dr ⎜<br />
+<br />
θ<br />
r ⎟<br />
= −<br />
l l (2.214)<br />
⎝ ⎠ h ⎝ ⎠ S sinθ<br />
∂θ<br />
⎝ ∂θ<br />
⎠ S sin θ ∂ϕ<br />
h<br />
Ecuaţia în r este:<br />
2<br />
d ⎛ 2 dR ⎞ ⎡2mr<br />
⎛<br />
⎜r<br />
⋅ ⎟ + ⎢ E 2<br />
dr dr<br />
⎜ +<br />
⎝ ⎠ ⎢⎣<br />
h ⎝<br />
2<br />
e ⎞ ⎤<br />
0<br />
− ( + 1 ) ⎥ R<br />
r ⎟ l l<br />
⎠ ⎥⎦<br />
= 0 (2.215)<br />
Dar:
Change language