Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 28 -
2.3. Bazele matematice ale mecanicii cuantice. Postulatele şi principiile mecanicii
cuantice
Un spaţiu este liniar dacă orice combinaţie liniară
ψ
=
c
1
ψ
1
+
c
2
ψ
2
+
. . .
de funcţii de pătrat integrabil din acest spaţiu ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ n este tot o funcţie de pătrat
2
integrabil ( dV
∫
unde c 1 şi 2
ψ este convergentă).
Un spaţiu Hilbert este un spaţiu liniar în care se poate defini produsul scalar
, ψ dV
∗
〈 ϕ ψ 〉 = ∫ ϕ
(2.12)
Funcţiile i ψ şi ψ j sunt ortonormate dacă
∗
⎧1
, i = j
〈 ψ , ψ j 〉 = ∫ ψ i ψ j dV = δij
= ⎨
⎩0
, i ≠ j
Un operator  este liniar dacă satisface relaţia:
+
c
n
i (2.13)
( c + c ψ )
 1ψ
1 2 2 = c1Âψ
1 + c 2Âψ
2
(2.14)
c sunt constante.
Un operator  este hermitic dacă:
ψ
n
( Â ) ψ dV )
∗
ϕ
〈 ϕ,
Âψ
〉 = 〈 Âϕ,
ψ 〉 ≡ ( ϕ
∗
∫ Âψ
dV = ∫
Ecuaţia:
(2.15)
 ψ = aψ
(2.16)
în care un operator  reproduce o funcţie ψ până la un factor constant a se numeşte ecuaţie
cu valori proprii. ψ este funcţia proprie a lui  , iar a este valoarea proprie a lui  .
Valorile proprii ale unui operator hermitic sunt reale. Pentru a deduce această
proprietate folosim relaţiile (2.15) şi (2.16) :
〈 ψ,
Âψ
〉 = 〈 Âψ,
ψ 〉
〈 ψ,
aψ
〉 = 〈 aψ,
ψ 〉 ⇒ a 〈 ψ,
ψ 〉 = a
∗
〈 ψ,
ψ 〉
⇒
a
∗
= a
Funcţiile proprii corespunzătoare la două valori proprii diferite ale unui operator
hermitic sunt ortogonale şi liniar independente (nu putem găsi o relaţie de forma
λ ψ + λ ψ = 0 ). Într-adevăr, din (2.15) avem:
1
1
〈 ψ , Âψ
1
2
2
Âψ 1 = a1ψ
1 , Âψ
2 = a 2ψ
Deoarece  este hermitic:
2
〉 = 〈
Âψ
, ψ
1
2
〉
⇒
〈 ψ , a
1
2
ψ
2
〉 = 〈
a ψ , ψ
1
1
2
〉
2
⇒
= a 〈 ψ , ψ 〉 ⇒ ( a − a ) 〈 ψ , ψ 〉 = 0
a
2
〈 ψ , ψ 〉 = a
∗
〈 ψ , ψ 〉 =
1 1 2
2 1 1 2
Întrucât a1 ≠ a 2 rezultă proprietatea de ortogonalitate a funcţiilor 1 ψ şi 2 ψ
( 〈 ψ1
, ψ 2 〉 = 0 ) . Pentru a demonstra a doua parte a proprietăţii vom presupune prin absurd
că există o relaţie de forma ψ + λ ψ = 0
ψ :
λ 1 1 2 2 , pe care o înmulţim scalar cu 1 ψ şi apoi cu 2
1
2
1
1
2