Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

unde z
- 54 -
Scriind ecuaţia cu valori proprii pentru operatorul z Lˆ sub forma:
L Φ′ = L Φ′
ˆ
z z
(2.198)
L sunt valorile proprii, iar Φ′ sunt funcţiile proprii şi aplicând încă o dată operatorul
L z
ˆ obţinem:
z zΦ′
= z zΦ′
⇒
2
L zΦ′
= L zL
zΦ′
⇒
∂ ⎛ ∂ ⎞ 2
− i ⋅ ⎜−
i ⋅ ⎟ Φ′ = L zΦ′
∂ϕ
⎝ ∂ϕ
⎠
ˆ
L L ˆ Lˆ Lˆ h h
2
2 ∂ Φ′
− h 2
∂ϕ
2
= L zΦ′
⇒
2
∂ Φ′
2
∂ϕ
+
2
L z
Φ′ = 0
2
h
(2.199)
Comparând (2.199) cu (2.193) rezultă:
2
L z 2
= 2
m
l
⇒ Lz
= m h
h
l
; m
l
= 0 , ± 1,
± 2 , . . . , ± l (2.200)
Relaţia (2.200) este de aceeaşi formă cu relaţia generală (2.160) . Rezultă că Φ din
(2.197) sunt funcţiile proprii ale lui L z
ˆ , iar valorile proprii ale operatorului L z
ˆ sunt date de
relaţia (2.200) . Astfel proiecţia momentului cinetic pe axa z este cuantificată.
Ecuaţia în θ din (2.192) este:
2
sinθ
d ⎛ dF ⎞ L 2 2
⋅ ⎜sin
θ ⋅ ⎟ + sin θ − m = 0 : θ
2
F dθ
⎝ dθ
⎠ h
l
2
sin
2
2
1 d ⎛ dF ⎞ ⎛ L m ⎞
⋅ ⎜sin
θ ⋅ + ⎜ −
l
⎟
⎟ F = 0
(2.201)
2
2
sinθ
dθ
⎝ dθ
⎠ ⎜ sin ⎟
⎝
h θ
⎠
Pentru rezolvarea acestei ecuaţii se face substituţia x = cos θ , căutându-se soluţii de
forma:
m
l
2
F ( x)
= ( 1 − x ) 2 ⋅ f ( x)
(2.202)
unde f (x) se dezvoltă în serie de puteri:
∞
n
f ( x)
= ∑ a n ⋅ x
(2.203)
n = 0
Impunând soluţiei (2.202) să verifice ecuaţia (2.201) se obţine o relaţie de recurenţă
între coeficienţii seriei (2.203) , care se analizează în acelaşi mod ca la oscilatorul armonic
liniar. Pentru ca funcţia F să fie mărginită trebuie ca seria să se întrerupă de la un anumit
F cos θ devine un polinom. Astfel se obţin ca soluţii
termen, devenind un polinom. Deci şi ( )
m
P l
l
ale ecuaţiei (2.201) aşa-numitele polinoame Legendre asociate ( cos θ)
ecuaţiei (2.189) este funcţia sferică:
S
m
l
l
( θ,
ϕ)
= N P ( cos θ)
l m
l
i m ϕ
⋅ e l
. Deci soluţia
(2.204)
unde N este un factor de normare. Din condiţia ca soluţiile ecuaţiei (2.201) să fie
l m
l
mărginite rezultă:
2
L = l l + 1 h , l = 0 , 1,
2 , . . .
(2.205)
m
l
( ) 2
≤ l
(2.206)