Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

sau:
- 53 -
2
Ecuaţia cu valori proprii pentru Lˆ se scrie astfel:
L S θ , ϕ = L S θ,
ϕ
ˆ 2
2
( ) ( )
(2.188)
⎡ 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞
⎢ ⋅ ⎜sin
θ ⋅ ⎟ +
⎣sinθ
∂θ
⎝ ∂θ
⎠
2
2
1 ∂ ⎤
L
⋅ ⎥ S ( θ,
ϕ)
= − S ( θ,
ϕ)
2 2
2
sin θ ∂ϕ
⎦
h
(2.189)
Soluţia ecuaţiei (2.189) se obţine folosind metoda separării variabilelor:
S ( θ , ϕ)
= F ( θ)
Φ ( ϕ)
(2.190)
Introducând (2.190) în (2.189) obţinem:
Φ ∂ ⎛ ∂F
⎞
⋅ ⎜sin
θ ⋅ ⎟ +
sinθ
∂θ
⎝ ∂θ
⎠
2
F ∂ Φ
⋅ 2 2
sin θ ∂ϕ
2
L
+ F Φ = 0
2
h
(2.191)
sin θ
Înmulţind această relaţie cu
F Φ
2
rezultă:
2
2
sinθ
d ⎛ dF ⎞ L 2 1 d Φ 2
⋅ ⎜sin
θ ⋅ ⎟ + sin θ = − ⋅ = m
(2.192)
2
2
F dθ
⎝ dθ
⎠ h
Φ ∂ϕ
l
S-a înlocuit derivata parţială cu derivata totală pentru că F depinde numai de θ , iar
Φ depinde numai de ϕ .
2
m
l
este o constantă, întrucât cei doi membri ai relaţiei (2.192) , care depind fiecare
de câte o singură variabilă, trebuie să fie egali pentru orice valori ale lui θ şi ϕ .
Din ultima egalitate din (2.192) rezultă:
2
d Φ 2
+ m ϕ = 0
2
dϕ
l
(2.193)
Soluţia acestei ecuaţii este:
ϕ
Φ = ⋅ l
m i
C e
(2.194)
Întrucât ϕ este o variabilă unghiulară, Φ ( ϕ)
trebuie să satisfacă condiţia de
univocitate (funcţia de undă trebuie să fie continuă în toate punctele spaţiului, pentru că altfel
nu ar fi diferenţiabilă şi deci n-ar putea fi o soluţie a ecuaţiei).
i m ϕ i m ( ϕ + 2π)
2i
m ϕ
Φ ( ϕ)
= Φ ( ϕ + 2π)
⇒ C e l = C e l ⇒ e l = 1 ⇒
cos ( 2m
l
π)
+ i sin ( 2m
l
π)
= 1 ⇒ m
l
= 0 , ± 1 , ± 2 , . . . (2.195)
m
l
se numeşte număr cuantic magnetic orbital. Valorile acestui număr sunt întregi, spre
deosebire de cazul general, când j putea lua şi valori semiîntregi. Conform relaţiei (2.168)
rezultă:
l ≤ m
l
≤ l ≡ m
l
= − l , − l + 1,
. . . . , l −1,
l ≡ m
l
= 0 , ± 1,
± 2 , . . . , ± l (2.196)
Este evident că şi l trebuie să ia numai valori întregi. Constanta C din (2.194) se
determină din condiţia de normare:
2π
∗
∫ Φ Φ dΦ
= 1
0
Deci:
2π
− i m ϕ − i m ϕ
⇒ ∫ C ⋅ e l ⋅ C ⋅ e l dΦ
= 1
0
⇒
2
C ⋅ 2π
= 1 ⇒ C =
1
2π
Φ =
ϕ
⋅ l
π
m i 1
e
2
(2.197)