Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 52 -
este de asemenea un vector propriu al lui J z
ˆ ,
Rezultă că J j, m
ˆ +
>
corespunzător valorii proprii ( m + 1)h.
Analog se obţin relaţiile:
( ) J j, m ˆ
J j, m j j 1
ˆ Jˆ 2
− > = +
2
h − >
(2.173)
( ) J j, m ˆ
J j, m m 1
ˆ Jˆ z − > = − h − >
(2.174)
Din (2.171) şi (2.172) rezultă că putem defini un vector propriu prin relaţia
următoare (sau din (2.172) şi (2.160) scrisă pentru m + 1:
j, m + 1>
= ( m + 1) j, m + 1 >
J ˆ z h ):
J + j, m > = C j, m + 1>
ˆ
= < +
∗
C 1 m j, Jˆ j, m
< − m
m (2.175)
(2.176)
J j, m C mC
m j, m 1 j, m 1 C m
2
ˆ Jˆ < j, m − + > =
∗
< + + > =
(2.177)
Pe de altă parte, din (2.164) şi (2.165) rezultă:
J j, m [ j ( j 1)
m ( m 1 ) ]
ˆ Jˆ < j, m − +
2
> = + − + h
(2.178)
J j, m [ j ( j 1 ) m ( m 1 ) ]
ˆ Jˆ < j, m + −
2
> = + − − h
(2.179)
Comparând (2.177) cu (2.178) obţinem:
C m = j ( j + 1)
− m ( m + 1)
h
(2.180)
Înlocuind C m în (2.175) obţinem:
J + j, m > = j ( j + 1)
− m ( m + 1)
j, m + 1>
ˆ h (2.181)
Analog se arată că:
J j, m > = D j, m −1
>
ˆ
−
m (2.182)
( j + 1)
− m ( m −1)
j, m −1
>
J − j, m > = j
ˆ h (2.183)
2
Revenind la cazul particular al momentului cinetic orbital, vom exprima Lˆ şi L z
ˆ în
coordonate sferice.
x = r ⋅ sin θ cosϕ
r ≥ 0
y = r ⋅ sinθ
sinϕ
0 ≤ θ ≤ π
z = r ⋅ cos θ
0 ≤ ϕ ≤ 2π
2
L
2 ⎡ 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞
= − ⎢ ⋅ ⎜sin
θ⋅
⎟ +
⎣sinθ
∂θ
⎝ ∂θ
⎠
2
1 ∂ ⎤
⋅ 2 2
sin θ ∂ϕ
⎥
⎦
ˆ h (2.184)
∂
L = − i
∂ϕ
ˆ z h (2.185)
Expresia laplacianului în coordonate sferice este:
2
∂
= 2
∂x
2
∂
+ 2
∂y
2
∂
+ 2
∂z
1 ⎡ ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞
= ⎢ ⎜r
⋅ ⎟ + ⋅ ⎜sin
θ ⋅ ⎟ +
2
r ⎣∂r
⎝ ∂r
⎠ sinθ
∂θ
⎝ ∂θ
⎠
2
1 ∂
⋅ 2
sin θ ∂ϕ
⎤
⎥
⎦
(2.186)
Din (2.184) şi (2.186) rezultă:
∆ =
⎡ ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞
⎢ ⎜ ⋅ ⎟ −
2
⎣∂
⎝ ∂ ⎠
2
L ⎤
2 ⎥
⎦
ˆ
1
r
r r r h
(2.187)
∆ 2