Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 51 -
Din (2.156) şi (2.157) obţinem:
2 2
2
2
z
( ) J z
ˆ Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ 1
J
2
ˆ Jˆ J 2 ˆ J 2 ˆ Jˆ Jˆ Jˆ + − + − + = − ⇒ = + − + − + +
Deoarece [ J ] 0
(2.158)
ˆ J , ˆ 2
2
z = rezultă că Jˆ şi J z
ˆ admit acelaşi set de vectori proprii
2
Scriem ecuaţiile cu valori proprii ale operatorilor J
j,
m > .
ˆ şi J z
ˆ sub forma:
J j, m > = j j + 1 j, m
ˆ 2
2
h (2.159)
( ) >
J j, m > = m j, m >
ˆ z h (2.160)
2
unde valorile proprii ale lui Jˆ trebuie să fie pozitive sau nule, deoarece corespund pătratului
momentului cinetic, care este pozitiv sau nul. Deci în general j este întreg sau semiîntreg:
j ≥ 0 (2.161)
Întrucât pătratul normelor vectorilor proprii J + j, m > ˆ şi J − j, m > ˆ sunt pozitive sau
nule:
J j, m 0
ˆ
J j, m ˆ Jˆ < j, m − + > = + >
2
≥
(2.162)
J j, m 0
ˆ
J j, m ˆ Jˆ < j, m + − > = − > ≥
(2.163)
din (2.156) şi (2.157) rezultă:
J j, m j j 1 m m
ˆ Jˆ Jˆ J j, m j, m
ˆ Jˆ j, m > = <
2 2
− − h > =
2 2 2 2
+ h − h − h ≥ (2.164)
< − +
Jˆ Jˆ < j, m + −
sau:
sau:
j, m
( j + 1)
>
= <
j, m
− ≤ m ≤ j ⎪⎫
⎬
− j ≤ m ≤ j + 1 ⎪⎭
( z z ) ( ) 0
( J ) j, m j ( j 1 ) m m 0
ˆ Jˆ Jˆ 2 2
2 2 2 2
− + > = + h − h + h ≥
z
z
2
h (2.165)
j (j + 1) − m (m + 1) = (j − m) (j + m + 1) ≥ 0 (2.166)
j (j + 1) − m (m − 1) = (j − m + 1) (j + m) ≥ 0 (2.167)
⇒
− j ≤ m ≤ j
(2.168)
Din (2.162) şi (2.168) rezultă că pentru m = j
J j, j 0
ˆ + > =
(2.169)
iar din relaţiile (2.163) şi (2.167) rezultă că pentru m = − j
J j, j 0
ˆ − − > =
(2.170)
Din (2.155) şi (2.159) rezultă:
[ ] J j ( j 1)
ˆ
J j, m ˆ Jˆ J j, m ˆ Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ J 0 ˆ J , ˆ 2
2
2
2
2
⇒ = ⇒
> = > = +
2
+ = + +
+
+
+ h
Rezultă că
proprii ( ) 2
J ˆ
2
J ˆ
+
J j, m ˆ + >
j, m
( + ) J j, m > ˆ 2
j 1
j, m
> = j h +
(2.171)
este un vector propriu al operatorului
j j + 1 h . Din (2.152) şi (2.160) rezultă:
>
⇒
2
Jˆ , corespunzător valorii
[ ] ⇒ − = ⇒ > = ( + ) > = J ( m + ) j, m >
ˆ
J j, m ˆ Jˆ J j, m ˆ Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ J , ˆ h
h
h
h h
z
+ = + z + + z + z +
+ z
+
( + ) J j, m > ˆ m 1
⇒ J + j, m > =
+
ˆ Jˆ z h (2.172)