Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 50 -
Deoarece operatorii componentelor momentului cinetic orbital nu comută între ei,
rezultă că x y L z
ˆ L , ˆ L , ˆ nu admit funcţii proprii comune şi deci componentele momentului
cinetic L x , L y , L z nu pot avea simultan valori bine determinate, în conformitate cu relaţiile
de nedeterminare ale lui Heisenberg.
Operatorul pătratului momentului cinetic:
2 2 2 2
x y L z
ˆ Lˆ Lˆ Lˆ = + +
(2.144)
comută cu oricare dintre operatorii componentelor momentului cinetic orbital, adică:
[ ] [ ] [ L ] 0 ˆ L , ˆ
L 0 ; ˆ L , ˆ
L 0 ; ˆ L , ˆ 2
2
2
x = y =
z =
(2.145)
Astfel:
= + + = + + + Lˆ Lˆ L , ˆ Lˆ L , ˆ Lˆ Lˆ Lˆ L , ˆ Lˆ L , ˆ Lˆ Lˆ L , ˆ Lˆ L , ˆ Lˆ L , ˆ Lˆ L , ˆ 2
2
2
2
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] =
x
x
x
y
x
z
Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ − h h
h h
= ( i ) − i + i + i = 0
L ˆ
y
z
z
y
x
z
y
y
y
Din relaţiile (2.143) şi (2.145) rezultă că informaţia maximă care se poate obţine
asupra unei stări de moment cinetic orbital dat constă în cunoaşterea mărimii momentului
2
cinetic orbital (determinată de L r ) şi a uneia dintre proiecţii (se alege proiecţia L z pentru că
operatorul corespunzător are expresia cea mai simplă în coordonate sferice), celelalte două
proiecţii rămânând nedeterminate. Această concluzie este o consecinţă a absenţei noţiunii de
traiectorie a unei particule cuantice, aşa cum rezultă din relaţiile de incertitudine ale lui
Heisenberg.
În cazul general al unui moment cinetic oarecare J r putem scrie relaţii asemănătoare
celor din (2.143) şi (2.145) .
[ x y ] Jˆ J , ˆ = z Jˆ
[ y J z ] ˆ J , ˆ = J x
ˆ
[ z x ] Jˆ J , ˆ = J y
ˆ
[ ] [ ] [ J ] 0 ˆ J , ˆ J 0 ; ˆ J , ˆ J 0 ; ˆ J , ˆ 2
2
2
=
=
x
y
x
y
y
L ˆ
z
x
y
i h (2.146)
i h (2.147)
i h (2.148)
= (2.149)
Ca şi în cazul oscilatorului armonic liniar, introducem operatorii de creare şi anihilare:
Jˆ Jˆ +
z
+ = x i y
(2.150)
J ˆ
Jˆ J i ˆ Jˆ = −
Din relaţiile (2.146) – (2.151) rezultă:
= + = + − = Jˆ Jˆ J i i ˆ J i ˆ J , ˆ J i ˆ J , ˆ Jˆ J , ˆ
h h h
(2.152)
− x y
(2.151)
[ z + ] [ z x ] [ z y ] y ( x ) +
[ − ] = [ ] − [ ] = − ( − ) = − J −
ˆ Jˆ J i i ˆ J i ˆ J , ˆ J i ˆ J , ˆ Jˆ J , ˆ
z
z x
z y
y h x h
[ ] [ y x ] [ x y ] ( z ) ( z ) J z
ˆ J 2 ˆ J i i ˆ
J i i ˆ J , ˆ J i ˆ J , ˆ J i ˆ J , ˆ − = − = − h − h = h
[ ] [ ] [ J ] 0 ˆ J , ˆ J 0 ; ˆ J , ˆ J 0 ; ˆ J , ˆ 2
2
2
= − =
z =
= ( + )( − ) = + − [ ] = + + J ⇒ ˆ Jˆ Jˆ Jˆ J , ˆ J i ˆ Jˆ Jˆ J i ˆ Jˆ J i ˆ Jˆ Jˆ 2 2
2 2
+
h (2.153)
+ (2.154)
−
+ (2.155)
x y x y x y x y x y h
Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ 2
+ − = x
2 2 2
+ y + z − z
2
+ h z =
2
− z + h z
(2.156)
= − + = + + = + − Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ J , ˆ J i ˆ Jˆ Jˆ J i ˆ Jˆ J i ˆ Jˆ Jˆ 2 2
2 2
−
+
( )( ) [ ] ⇒
x y x y x y x y x y h
Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ 2 2 2 2
2 2
− + = + + − − h = − − h
(2.157)
x
y
z
z
z
z
z
z
z
x
z
z
z
x
z