Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 49 -
în (2.104) obţinem:
=
⎛ d ⎞
⎜X
+ i ⋅ ⎟ =
⎝ i dX ⎠
1 ⎛
⎜X
+
2 ⎝
d ⎞
⎟
dX ⎠
ˆ â
1 h
2
â 0 > = 0 ⇒ â Ψ0
= 0 ⇒
1 ⎛ d ⎞
⎜X
+ ⎟ Ψ0
= 0
2 ⎝ dX ⎠
⇒
dΨ0
+ X Ψ0
= 0
dX
(2.139)
Soluţia acestei ecuaţii este:
X2
Ψ
/ 2
0 = C e
−
0 , X =
mω
x
h
(2.140)
Ψ 0 din (2.140) este identica funcţiei de undă pentru starea fundamentală din (2.94) .
C se determină din condiţia de normare.
Constanta 0
2.8.5. Teoria cuantică a momentului cinetic
Din expresia operatorului moment cinetic orbital:
i j
r
x y
i i
P
x y
ˆ Pˆ Pˆ i j k
p x y z
ˆ rˆ L ˆ
r r r
r r
r r r
r h h
= × =
= × ∇ =
∂ ∂
x y z
∂ ∂
r
k
z
∂
∂z
(2.141)
se obţin operatorii componentelor momentului cinetic orbital:
= − P =
⎛ ∂
⎜ y
i ⎝ ∂z
∂ ⎞
− z ⎟
∂y
⎠
ˆ P z ˆ L y ˆ
x z y
h
=
⎛ ∂
− P = ⎜z
i ⎝ ∂x
∂ ⎞
− x ⎟
∂z
⎠
ˆ P x ˆ L z ˆ
y
h
x z
(2.142)
= − P =
⎛ ∂
⎜ x
i ⎝ ∂y
∂ ⎞
− y ⎟
∂x
⎠
ˆ P y ˆ L x ˆ
z y x
h
Calculăm comutatorul (ţinând seama de situaţiile în care variabilele x, y, z sunt
constante în raport cu operatorul comutator, precum şi de faptul că pentru două componente
ale lui Pˆ comutatorul este nul):
= − − = − − − Pˆ P , x ˆ P z ˆ P y ˆ P , z ˆ P z ˆ P y ˆ P x ˆ P , z ˆ P z ˆ L y ˆ L , ˆ
[ ] [ ] [ ] [ ] =
x
y
z
y
x
z
= [ , z ] − [ z , z ] − [ y , x ] + [ z , x ] =
y z x
y x
z z
y z
P ˆ
P ˆ
P ˆ
P ˆ
2
= [ , z ] − z [ , ] − yx [ , ] + x [ z , ] =
y z x
y x
z z
y z
P ˆ
P ˆ
P ˆ
P ˆ
= [ , ] + y [ , z]
+ xz [ , ] + x [ z , ] =
yz z x
z x
y z
z y
P ˆ
P ˆ
P ˆ
P ˆ
Lˆ L i ˆ Pˆ P x ˆ P y ˆ
P x ˆ h ⎛ h ⎞ h
h
y + − = − = − = h
= x ⎜ ⎟ y ( x
i ⎝ i ⎠ i
Analog se calculează [ y z ]
y )
i
z
z
Lˆ L , ˆ şi [ z L x ] ˆ ,
[ x Ly ] ˆ L , ˆ = z Lˆ i h
[ y z ] Lˆ L , ˆ = L x
ˆ
[ , ] Lˆ i h
P ˆ
z
P ˆ
P ˆ
P ˆ
P ˆ
P ˆ
L x
ˆ = y
z L ˆ
y
x
P ˆ
P ˆ
P ˆ
P ˆ
z
P ˆ
P ˆ
y
L ˆ , care pot fi scrise prin permutări circulare:
i h (2.143)
z