Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

More documents

Recommendations

Info

- 47 - Din relaţiile (2.117) şi (2.118) rezultă că stării fundamentale descrise de vectorul de h ω stare 0 > îi corespunde energia . 2 Aplicând operatorul ( ) n H â ˆ + din relaţia (2.110) vectorului propriu 0 > + + + ⎛ ω ⎞ ( ) > = ( ) ( H + n ω) 0 > = ( â ) ⎜ + n ω⎟ 0 > ⇒ ˆ n n n h â 0 â h h obţinem: H ⎝ 2 ⎠ ˆ + H ( â ) ⎛ 0 > = ω ⎜n + ⎝ 1 ⎞ + ⎟ ( â ) 2 ⎠ 0 > ˆ n h n (2.119) Din această relaţie rezultă că vectorul de stare + ( â ) 0 > n ; n = 0 , 1 , 2 , . . . (2.120) este un vector propriu al lui Hˆ ⎛ corespunzător valorii proprii h ω ⎜n + ⎝ 1 ⎞ ⎟ . Notăm cu 2 ⎠ n > (n = 0, 1, 2, ...) vectorii proprii ai lui Hˆ , normaţi la unitate ( < n n > = 1) , care corespund ⎛ valorilor proprii h ω ⎜n + ⎝ 1 ⎞ ⎟ . Aceşti vectori diferă de cei din (2.120) printr-o constantă n 2 ⎠ C care se determină din condiţia de normare: sau: unde: + n ( â ) 0 > n > = C n (2.121) Cu această notaţie, relaţia (2.119) devine (2.112). H n > = E n > ˆ n ⎛ ⇒ E n = h ω ⎜n + ⎝ 1 ⎞ ⎟ ; n = 0 , 1 , 2 , . . . 2 ⎠ (2.122) ⎛ + h ω⎜ â â + ⎝ 1 ⎞ ⎟ 2 ⎠ n > = ⎛ hω ⎜n + ⎝ 1 ⎞ ⎟ 2 ⎠ n > ⇒ + â â n > = n n > (2.123) Aplicând comutatorul: N n > = n n > ˆ (2.124) N ˆ + = â â (2.125) + + + + + + + + + + + + + + + + [ N , â ] = [ â â , â ] = â ââ − â â â = â ( â â + 1) − â â â = â â â + â − â â â ⇒ ˆ + + [ , â ] = â la vectorul de stare n > + [ , â ] obţinem: N ˆ (2.126) N n â n ˆ Nâ n â ˆ N n â n ˆ + + + + > = > ⇒ > − > = > , ( N n > = n n > ˆ ) ⇒ ( n + 1) N â n â n ˆ + + > = > (2.127) + Astfel â n > este un vector propriu al operatorului Nˆ corespunzător valorii proprii (n + 1) . Deoarece nivelele de energie ale oscilatorului sunt echidistante, din relaţia (2.124) putem interpreta n ca numărul de particule identice aflate în starea n . Comparând (2.124) cu (2.127) rezultă că prin aplicarea operatorului de creare la un vector propriu al lui Hˆ se obţine o creştere a numărului de particule n cu o unitate faţă de cazul când nu se aplică acest operator. De aceea Nˆ este numit operatorul numărului de particule. Rezultă că prin aplicarea
- 48 - operatorului de creare + â la un vector de stare n > multiplicativă, un vector de stare n + 1 > : se obţine, până la o constantă + â n > = D n n + 1> (2.128) La fel se demonstrează relaţiile: N , â ˆ = − (2.129) [ ] â ( n − 1) N â n â n ˆ > = > (2.130) â n > = Fn n −1 > (2.131) Din (2.123) , (2.128) şi (2.131) rezultă: + + â â n > = n n > = â Fn n −1 > = Fn D n −1 n > ⇒ Fn D n −1 = n (2.132) + Operatorul â este adjunctul operatorului â deoarece satisface relaţia de definiţie a operatorului adjunct: ( ) ∗ + < n â n −1 > = < n −1 â n > (2.133) ( < n + â ∗ n − 1 > ) = < n − 1 â n > Din (2.128) şi (2.131) rezultă: + â n −1 > = D n −1 n > ; < n −1 â + n > = Fn = ( < n â ∗ n −1 > ) = = ( < n D n − 1 ∗ n > ) = D ∗ n −1 ⇒ Fn = D ∗ n −1 (2.134) Fără a restrânge generalitatea soluţiei, putem alege n F şi D n să fie reale. Din (2.134) şi (2.132) rezultă: D , 2 F = n ⇒ F = n , D = n ⇒ D = n + 1 Fn = n − 1 n n n −1 n Înlocuind în (2.128) şi în (2.131) obţinem: + â n > = n + 1 n + 1 > (2.135) â n > = n n −1 > (2.136) Din (2.121) şi (2.135) obţinem: 0 > = C0 0 > ⇒ C0 = 1 + 1 > = C1 â 0 > = C1 1 > ⇒ C1 = 1 + 2 2 > = C 2 ( â ) 0 > = C 2 2 2 > ⇒ C 2 = 1 2 ...................................................................................................................................................... + n n > = C n ( â ) + n −1 0 > = C n ( â ) + n − 2 1> = C n ( â ) 2 + n − 3 2 > = C n ( â ) 2 3 3 > = = . . . = C n 1⋅ 2 ⋅3 ⋅. . . ⋅ n n > ⇒ C n = 1 n ! (2.137) Înlocuind în (2.121) obţinem: + n ( â ) 0 > n > = n ! (2.138) Se poate arăta că relaţia (2.138) este echivalentă cu relaţia (2.94) . Înlocuind: P d i dX ˆ = h
Page 1 and 2: 2. Elemente de mecanică cuantică
Page 3 and 4: - 28 - 2.3. Bazele matematice ale m
Page 5 and 6: - 30 - 〈 Ψ , Ψ 〉 = n n c (2.1
Page 7 and 8: - 32 - Din ecuaţia lui Schrödinge
Page 9 and 10: - 34 - Din relaţia (2.39) rezultă
Page 11 and 12: - 36 - ⇒ C = − D = 0 ⇒ Ψ = 0
Page 13 and 14: - 38 - ik l a e − kl kl 1 2 + b 2
Page 15 and 16: - 40 - Se poate verifica relaţia R
Page 17 and 18: ecuaţia (2.80) devine: 2 Ψ + 2 d
Page 19 and 20: - 44 - Dacă ε satisface relaţia
Page 21: - 46 - Hˆ + 2 + ( â ) = â ( Hˆ
Page 25 and 26: - 50 - Deoarece operatorii componen
Page 27 and 28: - 52 - este de asemenea un vector p
Page 29 and 30: unde z - 54 - Scriind ecuaţia cu v
Page 31 and 32: - 56 - d ⎛ 2 dR ⎞ ⎜r ⋅ ⎟
Page 33 and 34: - 58 - b) Deoarece potenţialul nu
Page 35 and 36: - 60 - 6) În spectroscopie, nivele
Page 37 and 38: - 62 - dP = R n, l ⋅S l, m l 2
Page 39 and 40: - 64 - eh µ B− P = − (2.259) 2
Page 41 and 42: - 66 - În cazul mişcării nerelat
Page 43 and 44: - 68 - ( L = l 1 + l 2 , l 1 + l 2
Page 45 and 46: - 70 - intensitate de câmp electri
Page 47 and 48: - 72 - Două exemple de efect Zeema
Page 49 and 50: - 74 - ⎧ ⎫ i hc ⎪ ⎪ = −
Page 51 and 52: - 76 - O ilustrare a despicării ni
Page 53 and 54: - 78 - 4 2 me0z E = − 2 2 2h n ş
Page 55 and 56: - 80 - 2 2 2 2 2 2 1 2 4 1 E cin =
Page 57 and 58: unde - 82 - z z − ⋅ r1 − ⋅
Page 59 and 60: - 84 - şi cum modul de numărare a
Page 61 and 62: unde g m şi n - 86 - g reprezintă
Page 63 and 64: - 88 - pe nivelul inferior. Întruc
Page 65 and 66: - 90 - are o creştere limitată .
Page 67 and 68: - 92 - i i i − ⋅ Ent − ⋅ E
Page 69 and 70: - 94 - t t V ( ) − ω ( ) ( ) −
Page 71 and 72: - 96 - rezultă că în cazul în c
Page 73 and 74:
- 98 - 2 2 2 (ţinând seama de fap
Page 75 and 76:
- 100 - u ν − ν 0 = ν 0 ⋅ c
Page 77 and 78:
- 102 - ∆Ω ∼ α λ α ∼ D
Page 79 and 80:
- 104 - 4 d w dB Bν = = , θ = 0 d
Page 81:
- 106 - Laserul cu He-Ne este folos
show all

Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?