Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 46 -
Hˆ + 2 + ( â ) = â ( Hˆ + + ⎛ + 1 ⎞ + + ⎛ + + 3 + ⎞
+ 1) â = â ⎜â
â + 1+
⎟ â = â ⎜â
ââ
+ â ⎟ =
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
= ( ) ( ) ( ) 2
2
2 + ⎛ + 3 ⎞ + ⎛ + 1 ⎞ +
â ⎜â
â + 1+
⎟ = â ⎜â
â + + 2⎟
= â ( H
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
ˆ + 2)
......................................................................................................................................................
Hˆ ( ) ( ) n
n +
+
â â
= ( H ˆ + n)
Folosind (2.97) , ultimele relaţii se scriu sub forma:
+
hω
⎛ ⎞
+
= ⎜ ⎟
⎜
+
⎟
⎝ hω
⎠
⇒
+ +
= ( H + hω)
ˆ
Hâ â ˆ
H
1
ˆ
H
â â
ˆ
(2.108)
+ ( )
hω
⎛ ⎞
+
= ( ) ⎜ ⎟
⎜
+
⎟
⎝ hω
⎠
⇒
+ ( ) +
= ( ) ( H + 2hω)
ˆ
H â â ˆ
H
2
ˆ
H
â â
ˆ 2
2
2
2
(2.109)
......................................................................................................................................................
+ ( )
hω
⎛ ⎞
+
= ( ) ⎜ ⎟
⎜
+
⎟
⎝ hω
⎠
⇒
+ ( ) +
= ( ) ( H + nhω)
ˆ
H â â ˆ
H
n
ˆ
H
â â
ˆ n
n
n
n
(2.110)
Din (2.97) şi (2.107) obţinem:
+
=
ω
+ ⇒
⎛ +
H = ω ⎜â
â
⎝
+
1 ⎞
⎟
2 ⎠
ˆ
H
â â
1
2
ˆ
h
h
(2.111)
Ecuaţia cu valori proprii pentru operatorul hamiltonian (2.111) este:
H n > = E n >
ˆ
n (2.112)
Aplicând operatorii din relaţiile (2.108) – (2.110) la un vector n > , obţinem:
H ˆ
+
+
> = ( + ω)
> ⇒
+
Hâ +
n > = ( E + ω)
â n >
ˆ
H n ˆ
â n â
n h
+ ( ) +
> = ( ) ( + ω)
> ⇒
+
H( â ) n > = ( E
+
+ 2 ω)(
â ) n >
ˆ
H 2 n ˆ
2
â
2
n â
2
2
h
h (2.113)
Hˆ h n
(2.114)
......................................................................................................................................................
+
+
> = + ω > ⇒
+
H â n > = E + n ω
+
â n
ˆ
H n n ˆ
H â n â
ˆ n
n
h
n
h
n
(2.115)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) >
+
Relaţia (2.113) arată că â n > este un vector propriu al operatorului Hˆ cu valoarea
proprie En + hω.
Operatorul
+
â este numit operator de creare, pentru că valoarea proprie a
lui Hˆ creşte cu h ω faţă de cea din (2.112) . În mod asemănător se arată că are loc relaţia:
( E − ω)
H â n
â n
ˆ > = n h >
(2.116)
Această relaţie arată că â n > este un vector propriu al operatorului Hˆ corespunzător
valorii proprii E n − hω
. Operatorul â este numit operator de anihilare, întrucât la aplicarea
sa valoarea proprie a operatorului hamiltonian scade cu h ω faţă de cea din (2.112) .
Presupunem că există o stare 0 > pentru care
â 0 > = 0
(2.117)
Din (2.111) şi (2.117) rezultă:
H 0 > =
ω
2
0 >
ˆ h
(2.118)
n