![Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei](https://img.yumpu.com/16899601/20/500x640/capitolul-2-elemente-de-mecanica-cuantica-pdf-andrei.jpg)
Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei
Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei
- 45 - H H = (2.97) hω X = mω x h (2.98) P = 1 p mhω (2.99) Hamiltonianul H = 2 p 2m + 2 2 mω x 2 (2.100) devine: H h ω = mhω 2 P 2m + 2 mω h 2 1 ⋅ X ⇒ H = 2 mω 2 2 ( P 2 + X ) (2.101) Operatorul asociat hamiltonianului (2.101) se scrie sub forma: H = ˆ 2 ( 2 X ) ˆ Pˆ 1 2 + (2.102) Relaţia de comutare (2.96) devine: [ X] i ˆ P , ˆ = X i ˆ P , m ˆ ⎡ ⎢ ⎣ mh ω h ⎤ ⎥ = ω ⎦ h ⇒ − (2.103) Introducând operatorii ( P) ˆ X i ˆ â = 1 + 2 (2.104) ( P) ˆ X i ˆ + â = 1 − 2 (2.105) obţinem: + [ â , â ] = 1 (2.106) H = ˆ + â â + 1 2 (2.107) Într-adevăr: [ ] ( [ ] [ X] ) 1 ( i i i i ) 1 2 ˆ P , ˆ P i ˆ X , ˆ P 1 i 2 ˆ X i ˆ P , ˆ X i ˆ + [ â , â ] = 1 + − = 2 − + = − ⋅ + ⋅ − = ( )( ) 2 2 ( P ) ˆ Xˆ Pˆ P i ˆ Xˆ X i ˆ P 1 2 ˆ X i ˆ Pˆ X i ˆ + â â = 1 + − = 2 − + + ( )( ) 2 2 ( P ) ˆ Xˆ Pˆ P i ˆ Xˆ X i ˆ P 1 2 ˆ X i ˆ Pˆ X i ˆ + â â = 1 − + = 2 + − + 2 2 2 2 ( ) Pˆ Xˆ Xˆ Pˆ P i ˆ Xˆ X i ˆ Pˆ P i ˆ Xˆ P i ˆ X 2 ˆ â â + â â = 1 2 + − + + − = + 2 + + Hˆ = ( X ) 1 ( ââ â â ) 2 1 ( â â 1 â â ) â â 2 1 2 ˆ Pˆ 1 2 2 2 + = + + + = + + + + + = + Aplicând Hˆ + din (2.107) operatorului â obţinem: Hˆ + ⎛ + â = ⎜â â + ⎝ 1 ⎞ + ⎟ â 2 ⎠ + + = â ââ + 1 + â 2 + ⎛ + = â ⎜â â + 1 + ⎝ 1 ⎞ ⎟ = 2 ⎠ + â ( Hˆ + 1)
- 46 - Hˆ + 2 + ( â ) = â ( Hˆ + + ⎛ + 1 ⎞ + + ⎛ + + 3 + ⎞ + 1) â = â ⎜â â + 1+ ⎟ â = â ⎜â ââ + â ⎟ = ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 + ⎛ + 3 ⎞ + ⎛ + 1 ⎞ + â ⎜â â + 1+ ⎟ = â ⎜â â + + 2⎟ = â ( H ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ˆ + 2) ...................................................................................................................................................... Hˆ ( ) ( ) n n + + â â = ( H ˆ + n) Folosind (2.97) , ultimele relaţii se scriu sub forma: + hω ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎜ + ⎟ ⎝ hω ⎠ ⇒ + + = ( H + hω) ˆ Hâ â ˆ H 1 ˆ H â â ˆ (2.108) + ( ) hω ⎛ ⎞ + = ( ) ⎜ ⎟ ⎜ + ⎟ ⎝ hω ⎠ ⇒ + ( ) + = ( ) ( H + 2hω) ˆ H â â ˆ H 2 ˆ H â â ˆ 2 2 2 2 (2.109) ...................................................................................................................................................... + ( ) hω ⎛ ⎞ + = ( ) ⎜ ⎟ ⎜ + ⎟ ⎝ hω ⎠ ⇒ + ( ) + = ( ) ( H + nhω) ˆ H â â ˆ H n ˆ H â â ˆ n n n n (2.110) Din (2.97) şi (2.107) obţinem: + = ω + ⇒ ⎛ + H = ω ⎜â â ⎝ + 1 ⎞ ⎟ 2 ⎠ ˆ H â â 1 2 ˆ h h (2.111) Ecuaţia cu valori proprii pentru operatorul hamiltonian (2.111) este: H n > = E n > ˆ n (2.112) Aplicând operatorii din relaţiile (2.108) – (2.110) la un vector n > , obţinem: H ˆ + + > = ( + ω) > ⇒ + Hâ + n > = ( E + ω) â n > ˆ H n ˆ â n â n h + ( ) + > = ( ) ( + ω) > ⇒ + H( â ) n > = ( E + + 2 ω)( â ) n > ˆ H 2 n ˆ 2 â 2 n â 2 2 h h (2.113) Hˆ h n (2.114) ...................................................................................................................................................... + + > = + ω > ⇒ + H â n > = E + n ω + â n ˆ H n n ˆ H â n â ˆ n n h n h n (2.115) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) > + Relaţia (2.113) arată că â n > este un vector propriu al operatorului Hˆ cu valoarea proprie En + hω. Operatorul + â este numit operator de creare, pentru că valoarea proprie a lui Hˆ creşte cu h ω faţă de cea din (2.112) . În mod asemănător se arată că are loc relaţia: ( E − ω) H â n â n ˆ > = n h > (2.116) Această relaţie arată că â n > este un vector propriu al operatorului Hˆ corespunzător valorii proprii E n − hω . Operatorul â este numit operator de anihilare, întrucât la aplicarea sa valoarea proprie a operatorului hamiltonian scade cu h ω faţă de cea din (2.112) . Presupunem că există o stare 0 > pentru care â 0 > = 0 (2.117) Din (2.111) şi (2.117) rezultă: H 0 > = ω 2 0 > ˆ h (2.118) n
- Page 1 and 2: 2. Elemente de mecanică cuantică
- Page 3 and 4: - 28 - 2.3. Bazele matematice ale m
- Page 5 and 6: - 30 - 〈 Ψ , Ψ 〉 = n n c (2.1
- Page 7 and 8: - 32 - Din ecuaţia lui Schrödinge
- Page 9 and 10: - 34 - Din relaţia (2.39) rezultă
- Page 11 and 12: - 36 - ⇒ C = − D = 0 ⇒ Ψ = 0
- Page 13 and 14: - 38 - ik l a e − kl kl 1 2 + b 2
- Page 15 and 16: - 40 - Se poate verifica relaţia R
- Page 17 and 18: ecuaţia (2.80) devine: 2 Ψ + 2 d
- Page 19: - 44 - Dacă ε satisface relaţia
- Page 23 and 24: - 48 - operatorului de creare + â
- Page 25 and 26: - 50 - Deoarece operatorii componen
- Page 27 and 28: - 52 - este de asemenea un vector p
- Page 29 and 30: unde z - 54 - Scriind ecuaţia cu v
- Page 31 and 32: - 56 - d ⎛ 2 dR ⎞ ⎜r ⋅ ⎟
- Page 33 and 34: - 58 - b) Deoarece potenţialul nu
- Page 35 and 36: - 60 - 6) În spectroscopie, nivele
- Page 37 and 38: - 62 - dP = R n, l ⋅S l, m l 2
- Page 39 and 40: - 64 - eh µ B− P = − (2.259) 2
- Page 41 and 42: - 66 - În cazul mişcării nerelat
- Page 43 and 44: - 68 - ( L = l 1 + l 2 , l 1 + l 2
- Page 45 and 46: - 70 - intensitate de câmp electri
- Page 47 and 48: - 72 - Două exemple de efect Zeema
- Page 49 and 50: - 74 - ⎧ ⎫ i hc ⎪ ⎪ = −
- Page 51 and 52: - 76 - O ilustrare a despicării ni
- Page 53 and 54: - 78 - 4 2 me0z E = − 2 2 2h n ş
- Page 55 and 56: - 80 - 2 2 2 2 2 2 1 2 4 1 E cin =
- Page 57 and 58: unde - 82 - z z − ⋅ r1 − ⋅
- Page 59 and 60: - 84 - şi cum modul de numărare a
- Page 61 and 62: unde g m şi n - 86 - g reprezintă
- Page 63 and 64: - 88 - pe nivelul inferior. Întruc
- Page 65 and 66: - 90 - are o creştere limitată .
- Page 67 and 68: - 92 - i i i − ⋅ Ent − ⋅ E
- Page 69 and 70: - 94 - t t V ( ) − ω ( ) ( ) −
- 45 -<br />
H<br />
H = (2.97)<br />
hω<br />
X =<br />
mω<br />
x<br />
h<br />
(2.98)<br />
P =<br />
1<br />
p<br />
mhω<br />
(2.99)<br />
Hamiltonianul<br />
H =<br />
2<br />
p<br />
2m<br />
+<br />
2 2<br />
mω<br />
x<br />
2<br />
(2.100)<br />
<strong>de</strong>vine:<br />
H h ω =<br />
mhω<br />
2<br />
P<br />
2m<br />
+<br />
2<br />
mω<br />
h 2<br />
1<br />
⋅ X ⇒ H =<br />
2 mω<br />
2<br />
2 ( P<br />
2<br />
+ X ) (2.101)<br />
Operatorul asociat hamiltonianului (2.101) se scrie sub forma:<br />
H = ˆ 2 ( 2<br />
X ) ˆ Pˆ 1<br />
2<br />
+ (2.102)<br />
Relaţia <strong>de</strong> comutare (2.96) <strong>de</strong>vine:<br />
[ X] i ˆ P , ˆ =<br />
X<br />
i<br />
ˆ P ,<br />
m<br />
ˆ<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
mh ω<br />
h ⎤<br />
⎥ =<br />
ω ⎦<br />
h<br />
⇒ −<br />
(2.103)<br />
Introducând operatorii<br />
( P) ˆ X i ˆ â =<br />
1<br />
+<br />
2<br />
(2.104)<br />
( P) ˆ X i ˆ<br />
+<br />
â =<br />
1<br />
−<br />
2<br />
(2.105)<br />
obţinem:<br />
+<br />
[ â , â ] = 1<br />
(2.106)<br />
H = ˆ +<br />
â â +<br />
1<br />
2<br />
(2.107)<br />
Într-a<strong>de</strong>văr:<br />
[ ] ( [ ] [ X] ) 1<br />
( i i i i ) 1<br />
2<br />
ˆ P , ˆ P i ˆ X , ˆ<br />
P<br />
1<br />
i<br />
2<br />
ˆ X i ˆ P , ˆ X i ˆ<br />
+<br />
[ â , â ] =<br />
1<br />
+ − =<br />
2<br />
− + = − ⋅ + ⋅ − =<br />
( )( ) 2<br />
2<br />
( P ) ˆ Xˆ Pˆ P i ˆ Xˆ X i ˆ P<br />
1<br />
2<br />
ˆ X i ˆ Pˆ X i ˆ<br />
+<br />
â â =<br />
1<br />
+ − =<br />
2<br />
− + +<br />
( )( ) 2<br />
2<br />
( P ) ˆ Xˆ Pˆ P i ˆ Xˆ X i ˆ P<br />
1<br />
2<br />
ˆ X i ˆ Pˆ X i ˆ<br />
+<br />
â â =<br />
1<br />
− + =<br />
2<br />
+ − +<br />
2 2<br />
2 2<br />
( ) Pˆ Xˆ Xˆ Pˆ P i ˆ Xˆ X i ˆ Pˆ P i ˆ Xˆ P i ˆ X 2 ˆ<br />
â â + â â =<br />
1<br />
2 + − + + − = +<br />
2<br />
+ +<br />
Hˆ = ( X ) 1 ( ââ<br />
â â )<br />
2<br />
1 ( â â 1 â â ) â â<br />
2<br />
1<br />
2<br />
ˆ Pˆ 1 2<br />
2<br />
2<br />
+ =<br />
+ +<br />
+ =<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+ + = +<br />
Aplicând Hˆ +<br />
din (2.107) operatorului â obţinem:<br />
Hˆ + ⎛ +<br />
â = ⎜â<br />
â +<br />
⎝<br />
1 ⎞ +<br />
⎟ â<br />
2 ⎠<br />
+ +<br />
= â ââ<br />
+<br />
1 +<br />
â<br />
2<br />
+ ⎛ +<br />
= â ⎜â<br />
â + 1 +<br />
⎝<br />
1 ⎞<br />
⎟ =<br />
2 ⎠<br />
+<br />
â ( Hˆ + 1)
Change language