Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 27 -
întrucât probabilitatea totală de a găsi particula undeva (oriunde) în spaţiu este egală cu
unitatea. Pentru a fi satisfăcută condiţia de normare (2.6) , funcţia de undă Ψ trebuie să fie
finită (mărginită) în tot spaţiul. De asemenea, Ψ trebuie să fie continuă şi să aibă derivatele
de ordinul întâi în raport cu variabilele spaţiale continue şi finite. Ecuaţia lui Schrödinger
fiind liniară şi omogenă, dacă Ψ este o soluţie a acestei ecuaţii, atunci şi C Ψ este o soluţie,
unde C este o constantă arbitrară, care se determină din condiţia de normare.
2.2. Ecuaţia de continuitate a probabilităţii
Luând complex conjugata ecuaţiei lui Schrödinger (2.4) rezultă:
2
h
− ∆Ψ
∗
2m
+ U Ψ
∗ ∂Ψ
∗
= − ih
∂t
(2.7)
Presupunând că energia potenţială U este o mărime reală, înmulţind din stânga relaţia
(2.4) cu ∗
Ψ , iar relaţia (2.7) cu Ψ şi scăzând membru cu membru relaţiile obţinute, rezultă:
2
h
− Ψ
∗
∆Ψ +
2m
2
h
Ψ∆Ψ
∗
2m
+ U Ψ
∗
Ψ − U ΨΨ
∗ ⎛ ∂Ψ
= ih
⎜ ∗
⎜
Ψ
⎝ ∂t
∂Ψ
∗
+ Ψ
∂t
⎞
⎟
⎠
⇒
h
∂
( ) ( Ψ
∗
Ψ)
Ψ∆Ψ
∗
− Ψ
∗
∆Ψ = i
2m
∂t
Mărimea
⇒
∂ i ( Ψ
∗ h
Ψ)
+ ( Ψ∆Ψ
∗
− Ψ
∗
∆Ψ)
= 0 (2.8)
∂t
2m
r
j =
i h ( Ψ∆Ψ
∗
− Ψ
∗
∆Ψ)
2m
(2.9)
este densitatea fluxului de probabilitate. Deoarece
r
∇ j =
i h ( ∇ Ψ ∇ Ψ
∗
2m
+ Ψ∆Ψ
∗
− ∇ Ψ
∗
∇ Ψ − Ψ
∗
∆Ψ)
relaţia (2.8) devine:
∂ ( ∗
r
Ψ Ψ)
+ ∇ j = 0
∂t
(2.10)
Relaţia (2.10) este ecuaţia de continuitate a probabilităţii în mecanica cuantică.
Integrând (2.10) pe un volum oarecare V , obţinem:
∂
−
dV
t ∫∫∫ Ψ
∗
Ψ =
∂ V ∫∫∫V
r
∇ j dV
Pe baza teoremei lui Gauss-Ostrogradski, termenul din dreapta se poate înlocui prin
integrala pe o suprafaţă S care delimitează volumul V . Astfel:
∂ ∗
r
−
dV j dS
t ∫∫∫ Ψ Ψ =
∂ V ∫∫S
(2.11)
Relaţia (2.11) arată că scăderea în unitatea de timp a probabilităţii ca particula să se
afle în volumul V este egală cu fluxul lui j r prin suprafaţa S care delimitează volumul V .