Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 44 -
Dacă ε satisface relaţia (2.92) , Ψ ( ∞)
= 0 , adică probabilitatea de a găsi particula la
∞ este zero. Din (2.81) şi (2.92) rezultă:
2E
⎛ 1 ⎞
= 2n + 1 ⇒ E = hω
⎜n
+ ⎟ , n = 0 , 1,
2 , . . . (2.93)
hω
⎝ 2 ⎠
Relaţia (2.93) arată că energia oscilatorului armonic liniar este cuantificată de
ω
numărul cuantic n . Se constată că există o energie de zero E 0 =
2
h pentru n = 0 (vaabilă şi
la 0 K). Energia de zero a fost pusă în evidenţă experimental la împrăştierea radiaţiilor X pe
cristale, la temperaturi foarte scăzute. Dacă n-ar exista vibraţii ale reţelei cristaline la
temperaturi foarte mici, radiaţia X nu ar interacţiona cu reţeaua cristalină şi astfel nu ar fi
împrăştiată. În realitate se constată că secţiunea transversală de împrăştiere efectivă tinde la o
valoare limită finită la temperaturi scăzute.
Din (2.85) şi (2.91) rezultă:
− ξ2
/ 2
Ψn = C n e H n ( ξ)
(2.94)
C se determină din condiţia de normare:
unde n
1
4
⎛ mω
⎞ 1
C n = ⎜ ⎟ ⋅
(2.95)
n
⎝ πh
⎠ 2 ⋅ n !
Valorile proprii, funcţiile proprii şi densităţile de probabilitate ale unui oscilator
armonic liniar pentru n = 0, 1, 2 sunt reprezentate în graficul de mai jos.
Nivelele de energie ale oscilatorului armonic sunt echidistante, separate printr-un
interval energetic ω
h .
B. Oscilatorul armonic liniar în potenţialul Dirac
Metoda lui Dirac constă în a construi vectorii proprii ai operatorului hamiltonian Hˆ prin aplicarea unor operatori potriviţi asupra unuia din aceştia. Ajungem astfel la rezolvarea
problemei valorilor proprii fără referire la o anumită reprezentare, bazându-ne numai pe
axiomele fundamentale ale spaţiului Hilbert şi pe relaţia de comutare
h
h
[ pˆ , qˆ ] = ⇒ [ pˆ , x]
=
(2.96)
i
i
Dirac a folosit un vector de stare aparţinând spaţiului Hilbert notat cu n > (vectorul
ket). Acestui vector îi corespunde vectorul conjugat < n (vectorul bra). Produsul scalar a doi
vectori n > şi m > este notat cu < n m > .
Introducând mărimile adimensionale H, X şi P prin relaţiile: