Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

=
dξ
=
df
ξ =
dξ
=
2
d f
2
dξ
- 43 -
∞
∞
∞
∞
−
∑ ξ ∑ ξ , = ∑ n ∑
+
na
, na
df n 1
n
n
n
n
n
n 2
n 0
n 0
n 0
n 0
∑
n 0
∞
n
[ ( n + 2)(
n + 1)
a − 2n a + ( ε − 1)
a ] ξ = 0
n + 2
n
=
n − 2
( n −1)
a ξ = ( n + 2)(
n + 1)
a ξ ⇒
=
Pentru ca ultima relaţie să fie adevărată oricare ar fi ξ este necesar ca toţi coeficienţii
lui ξ să fie nuli, deci:
2n − ε + 1
( n + 2)(
n + 1 ) a n + 2 = 2n a n − ε a n + a n ⇒ a n + 2 =
a (2.88)
n + 2 n + 1
n
=
( )( ) n
Astfel am obţinut o relaţie de recurenţă între coeficienţii seriei de puteri. Deoarece
primii doi coeficienţi 0 a şi 1 a sunt arbitrari, putem alege fie 0 a = 0, fie 1 a = 0. Pentru a 0 ≠ 0,
a 1 = 0 rezultă o serie pară, iar pentru a 0 = 0, a1 ≠ 0 seria va fi impară.
Din condiţia de mărginire a funcţiei de undă vom obţine faptul că energia oscilatorului
este cuantificată. Din relaţia (2.88) pentru n → ∞ rezultă:
2n 2 a n + 2 2
a n + 2 = a n = a
2
n ⇒
n n a ≈ (2.89)
n n→∞
n
Pentru n → ∞ , atât în cazul seriei pare (n = 2p), cât şi în cazul seriei impare
(n = 2p + 1 ≈ 2p) , raportul a doi termeni succesivi din seria (2.87) este:
n 2
a n 2 ξ 1 2
= ξ
n
a n ξ p
+
+
(2.90)
La acelaşi rezultat se ajunge în cazul raportului a doi termeni consecutivi din
dezvoltarea exponenţialei
2
∞
ξ
e = ∑
n = 0
2n
ξ
n!
2
= 1 + ξ +
4
ξ
2
+ . . . +
2p
ξ
p!
pentru ξ → ∞
2 ( p + 1 )
ξ p!
⋅ 2p ( p + 1 ) ! ξ
=
2
ξ
≅
p + 1
1 2
ξ
p
Astfel seria (2.87) se comportă în cazul ξ → ∞ la fel ca şi
(2.85) rezultă Ψ ( ξ)
≈ e e = e ∞
+
. . .
2
e ξ . Deci ( ξ)
f ∼
2
e ξ , iar din
2
ξ
−
2 ξ2
2
ξ
2
→ , adică în acest caz funcţia Ψ nu este
ξ → ∞
mărginită. Condiţia de mărginire se realizează numai în cazul în care seria (2.87) se întrerupe
la un anumit termen, devenind astfel un polinom. Acestea sunt polinoamele Hermite:
2
n − ξ
n ξ2
d e
f ( ξ ) ≈ H(
ξ)
= ( −1)
e
n
dξ
(2.91)
2
H 0 ( ξ ) = 1,
H1(
ξ)
= 2ξ
, H 2 ( ξ)
= 4ξ
− 2 , H 3(
ξ)
Pentru ca ( ξ)
3
= 8ξ
− 12ξ
,
f să devină un polinom trebuie ca numărătorul fracţiei (2.88) să se
anuleze (coeficientul a n + 2 al seriei (2.87) se anulează):
2 n − ε + 1=
0 ⇒ ε = 2n + 1 , n = 0 , 1,
2 , . . .
(2.92)
. . .